2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學綜合題專題復習【直角三角形的邊角關(guān)系】專題解析及答案解析

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學綜合題專題復習【直角三角形的邊角關(guān)系】專題解析及答案解析一、直角三角形的邊角關(guān)系1 .如圖（9）所示（左圖為實景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽能熱水器：先安裝支架AB和CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在AD上.為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定：AD與水平面夾角為1,且在水平線上的射影AF為1.4m.現(xiàn)已測量出屋頂斜面與水平面夾角為2,并已知tan11.082,tan20.412.如果安裝工人確定支架AB高為25cm,求支架CD的高（結(jié)果精確到【答案】解；過點且作匈7，CD于P，AE4鴕女C于Fa在於聲中，=1,4x1.082=1.5148

2、（zk）,Q在REAP1中，左F=AFtan理=1.4滸0.412=0,576g（啕（2分）二口因二口尸一后尸=15148-03762=0932（喀）（1分）又可證四邊形ABCS為平行四邊形，故有CE=25二酬（2分）六C0二D五十=938+25=1188期119g（2分）答：支架CD的高妁為11%陽.11分）/【解析】過A作AFCD于F,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用%、例表示出DF、EF的值，又可證四邊形ABCE為平行四邊形，故有EC=AB=25cm再再根據(jù)DC=DE+ECS行解答即可.2 .如圖（1）,在平面直角坐標系中，點A（0,-6）,點B（6,0）.RtACDE中，/CDE=90,

3、76;CD=4,DE=4/3，直角邊CD在y軸上，且點C與點A重合.RtCDE沿y軸正方向平行移動，當點C運動到點O時停止運動.解答下列問題：（1）如圖（2）,當RtACDE運動到點D與點。重合時，設(shè)CE交AB于點M,求/BME的度數(shù).（2）如圖（3）,在RtACDE的運動過程中，當CE經(jīng)過點B時，求BC的長.（3）在RtACDE的運動過程中，設(shè)AC=h,OAB與CDE的重疊部分的面積為S,請寫出S與h之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值.(2BC=4后;(3)hW2時,S=-事h2+4h+8,4當h>2時，S=18-3h.【解析】試題分析：(1)如圖2,由對頂角的定義知,/BME=Z

4、CMA,要求/BME的度數(shù)，需先求出/CMA的度數(shù).根據(jù)三角形外角的定理進行解答即可；(2)如圖3,由已知可知/OBC=/DEC=30,又OB=6,通過解直角BOC就可求出BC的長度；(3)需要分類討論：hW2時，如圖4,作MNy軸交y軸于點N,作MFLDE交DE于點F,S=SEDC-SAefm；當h>2時，如圖3,S=Sxobc.試題解析：解：(1)如圖2,圖22 .在平面直角坐標系中，點A(0,-6),點B(6,0).OA=OB,ZOAB=45；3 /CDE=90,°CD=4,DE=4再,/OCE=60,°/CMA=ZOCE-/OAB=60-45=15；/BME=

5、ZCMA=15:如圖3,S3/CDE=90,°CD=4,DE=4g,/OBC=ZDEC=30,°,.OB=6,4 BC=4月；(3)hW2時，如圖4,作MNy軸交y軸于點N,作MF,DE交DE于點F,圄45 .CD=4,DE=4石，AC=h,AN=NM,.CN=4-FM,AN=MN=4+h-FM,.CMNACEDcv-=.CDDE"EV4+b-EV解得FM=4一正二!心,-12，S=Sxedc-SaEFM=qX4>3x(4j?4h)X(4力)=-h2+4h+8,三224如圖3,當h*時，11_S=SxOBC=-OCXOB=(6-h)X6=183h.考點：1、

6、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形3.在等腰4ABC中，/B=90°,AM是4ABC的角平分線，過點M作MNLAC于點N,ZEMF=135.。將/EMF繞點M旋轉(zhuǎn)，使/EMF的兩邊交直線AB于點E,交直線AC于點F,請解答下列問題：(1)當/EMF繞點M旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時，求證：BE+CF=BM(2)當/EMF繞點M旋轉(zhuǎn)到如圖，圖的位置時，請分別寫出線段BE,CF,BM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在(1)和(2)的條件下，tan/BEM/,AN=、,2+1,貝UBM=,CF=.【解析】【分析】(1)由等腰ABC中，ZB=90°,AM是ABC的角平分線，過點M

7、作MNXAC于點N,可得BM=MN,/BMN=135,又/EMF=135°,可證明的BME0NMF,可得BE=NFNC=NM=BM進而得出結(jié)論；(2)如圖時，同(1)可證BMENMF,可得BE-CF=BM,如圖時，同(1)可證BMENMF,可得CF-BE=BM;在RtAABM和RtAANM中，,'蜩=AM可得RtAABMRtAANM,后分別求出AB、ACCN、BM、BE的長，結(jié)合(1)(2)的結(jié)論對圖進行討論可得CF的長.【詳解】(1)證明：ABC是等腰直角三角形，ZBAC=ZC=45； .AM是/BAC的平分線，MNLAC,.BM=MN,在四邊形ABMN中，/,BMN=36

8、0-90-90-45=135°,/ENF=135,°,/BME=ZNMF, .BMEANMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45,°.NC=NM=BM,.CN=CF+NF .BE+CF=BM;(2)針對圖2,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45,°,.NC=NM=BM, NC=NF-CF, .BE-CF=BM;針對圖3,同（1）的方法得，BMENMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45；.NC=NM=BM,.NC

9、=CF-NF,.CF-BE=BM；（3）在RtMBM和RtAANM中，朋-NM即AMRtAABMRtAANM（HL.）,.AB=AN=x/2+1,在RtAABC中，AC=AB=e+1,.AC=AB=2+,.CN=AC-AN=2+2-（V2+D=1,在RtCMN中，CM=y/2CN=/2，.BM=BC-CM=+1-=1,在RtABME中，tan/BEM整福=反，DEDEbe=,.由（1）知，如圖1,BE+CF=BM八V3.CF=BM-BE=13由（2）知，如圖2,由tan/BEM=J5,，此種情況不成立；由（2）知，如圖3,CF-BE=BM,J3I.CF=BM+BE=1+等,故答案為1,1+空或

10、1-空.【點睛】本題考查三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)與三角形全等的綜合，難度較大，需綜合運用所學知識求解.4.問題背景：如圖（a）,點A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關(guān)于l的對稱點B'連接AB與直線l交于點C,則點C即為所求.（1）實踐運用：如圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點A在。O上，/ACD=30,B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為.（2）知識拓展：如圖（c）,在RtABC中，AB=10,/BAC=45,/BAC的平分線交BC于點D,E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.【

11、答案】解：（1）272（2）如圖，在斜邊AC上截取AB'=AB連接BB'.AD平分/BAC點B與點B關(guān)于直線AD對稱.過點B作B'HAB,垂足為F,交AD于E,連接BE.則線段B'的長即為所求（點到直線的距離最短）.在RtAAFB/中，ZBAC=4更aB="AB="10,BT=AB'或口4>=ABsin4.BE+EF的最/、值為5#【解析】試題分析：（1）找點A或點B關(guān)于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置，根據(jù)題意先求出/C'AE再根據(jù)勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值

12、：如圖作點B關(guān)于CD的對稱點E,連接AE交CD于點P,此時PA+PB最小，且等于A.作直徑AC,連接C'F根據(jù)垂徑定理得弧BD=MDE.仃、/ACD=30,°/AOD=60；/DOE=30：/AOE=90,°/CAE=45°又AC為圓的直徑，.1./AEC=90°./C'AC，AE=45，C'E=AE=AC'2T2.AP+BP的最/、值是272(2)首先在斜邊AC上截取AB'=AB連接BB',再過點B作B'1AB,垂足為F,交AD于E,連接BE,則線段B'的長即為所求.5 .如圖，某公園內(nèi)有

13、一座古塔AB,在塔的北面有一棟建筑物，某日上午9時太陽光線與水平面的夾角為32°,此時塔在建筑物的墻上留下了高3米的影子CD.中午12時太陽光線與地面的夾角為45。，此時塔尖A在地面上的影子E與墻角C的距離為15米（B、E、C在一條直線上），求塔AB的高度.（結(jié)果精確到0.01米）參考數(shù)據(jù)：sin32°=0.5299cos32°弋0.84§0tan32°=0.6249/1.4142.BEC【答案】塔高AB約為32.99米.【解析】【分析】過點D作DHLAB,垂足為點H,設(shè)AB=x,則AH=x-3,解直角三角形即可得到結(jié)論.【詳解】解：過點D作D

14、HXAB,垂足為點H.由題意，得HB=CD=3,EC=15,HD=BC,ZABC=/AHD=90；/ADH=32.設(shè)AB=x,則AH=x-3.一AB在RtABE中，由ZAEB=45；得tanAEBtan45-1EBEB=AB=x.HD=BC=BE+EC=x+15.在RtAHD中，由/AHD=90；得tanADHAHHD即得tan32x3x15解得x15tan32332.99.1tan32AB約為32.99米.本題考查的是解直角三角形的應用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.6 .某條道路上通行車輛限速60千米/時，道路的AB段為監(jiān)測區(qū)，監(jiān)測點P到AB的距離PH為50米（如圖

15、）.已知點P在點A的北偏東45方向上，且在點B的北偏西60°方向上，點B在點A的北偏東75。方向上，那么車輛通過AB段的時間在多少秒以內(nèi)，可認定為超速？（參考數(shù)據(jù)：331.7J2=1.4.【答案】車輛通過AB段的時間在8.1秒以內(nèi)，可認定為超速【解析】分析：根據(jù)點到直線的距離的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，然后利用解直角三角形的應用，解直角三角形即可.詳解：如圖，由題意知/CAB=75,/CAP=45,/PBD=60,/PAH=ZCAB-/CAP=30,50/PHA=ZPHB=90；PH=50,.AH=33=5073,tanPAHV1.AC/BD,/ABD=180CAB=105/PBH=/A

16、BD/PBD=45,°貝UPH=BH=50,.AB=AH+BH=50.+50,.50,一.60千米/時=以米/秒，時間t=350.350即車輛通過AB段的時間在8.1秒以內(nèi),點睛：該題考查學生通過構(gòu)建直角三角形,實際路程，并進行判斷相關(guān)的量。-5Q=3+3J3=8.1（秒）,3可認定為超速.利用某個度數(shù)的三角函數(shù)值求出具體邊長，即7.在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點O0,0，點A3,0，點C0,4,連接OB,以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOCB,旋轉(zhuǎn)角為0360,得到矩形ADEF，點O,C,B的對應點分別為D,E,F.（I）如圖，當點D落在對角線OB上時，求點D的坐標;（

17、n）在（I）的情況下，AB與DE交于點H.求證BDEDBA;求點H的坐標.（m）為何值時，F(xiàn)BFA.（直接寫出結(jié)果即可）.251）；_5472【答案】（I）點口的坐標為（，）；5）證明見解析；點H的坐標為（3,2525（出）60或300【解析】【分析】（I）過A、D分別作AMOB,DNOA,根據(jù)點A、點C的坐標可得出OA、OC的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB、OB的長，在RtAOAM中，利用/BOA的余弦求出OM的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=AD,利用等腰三角形的性質(zhì)可得OD=2OM,在RtODN中，利用/BOA的正弦和余弦可求出DN和ON的長，即可得答案；（n）由等腰三角形性質(zhì)可得/DOA=/OD

18、A,根據(jù)銳角互余白關(guān)系可得ABDBDE,利用SAS即可證明DBA0BDE;根據(jù)DBABDE可得/BEH=/DAH,BE=AD,即可證明BHEADHA,可得DH=BH,設(shè)AH=x,在RtADH中，利用勾股定理求出x的值即可得答案；（出）如圖，過F作FOLAB,由性質(zhì)性質(zhì)可得/BAF=,分別討論0VW180寸和180<<360的兩種情況，根據(jù)FB=FA可彳導OA=OB,利用勾股定理求出FO的長，由余弦的定義即可求出/BAF的度數(shù).【詳解】(I)點A3,0，點C0,4,.OA3,OC4.四邊形OABC是矩形,.AB=OC=4,;矩形DAFE是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到的ADAO3.在RtOA

19、B中，ob，OA2AB25,過AD分別作AMOB,DNOA在RtAOAM中，cosBOAOM5.AD=OA,AM±OB,-18.OD2OM在RtAODN中：sinBOAOMOA3OAOB5DN4ON3,cos/BOA=-j-=DN72255425點d的坐標為547225,25(n)矩形DAFE是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到的,OAAD3,ADE90,DEAB4.ODAD.DOAODA.又DOAOBA90,BDHADO90ABDBDE.又BDBD, 出DEADBA.3,由ABDEADBA,得BEHDAH,BEAD又BHEDHA，出HEADHA.DH=BH,設(shè)AHx,則DHBH4x,在RtAA

20、DH中，AH2AD2DH2，即x2324x，得x25Q，AAH258一，一一八25，點H的坐標為3,8（出）如圖，過F作FOXAB,當0<oc<18c 點B與點F是對應點，A為旋轉(zhuǎn)中心，/BAF為旋轉(zhuǎn)角，即ZBAF=oc,AB=AF=4,FA=FBFOXAB, .OA=1AB=2,2OA1cos/BAF=,AF2 ./BAF=60,°即a=60°,當180°<3360的,同理解得：/BAF=6Q°，旋轉(zhuǎn)角。=360-60=300°.wE綜上所述：a60或300.【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角

21、三角函數(shù)的定義等知識，正確找出對應邊與旋轉(zhuǎn)角并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵8 .水庫大壩截面的迎水坡坡比(DE與AE的長度之比)為1:0.6,背水坡坡比為1:2,大壩高DE=30米，壩頂寬CD=10米，求大壩的截面的周長和面積.【答案】故大壩的截面的周長是(6J34+30J5+98)米，面積是1470平方米.【解析】試題分析：先根據(jù)兩個坡比求出AE和BF的長，然后利用勾股定理求出AD和BC,再由大壩的截面的周長=DC+AD+AE+EF+BF+BC梯形的面積公式可得出答案.試題解析：二.迎水坡坡比(DE與AE的長度之比)為1:0.6,DE=30m,，AE=18米，在RTAADE中，AD=JD

22、E2AE2=6734米背水坡坡比為1：2,，BF=60米，在RTABCF中，BC=JCF2BF2=30揮米,.周長=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+30而+88=(6734+3075+98)米，面積=(10+18+10+60)X30+2=1470平方米).故大壩的截面的周長是(6734+3075+98)米，面積是1470平方米.9 .如圖，已知，在eO中，弦AB與弦CD相交于點E,且AcBD.(1)求證：ABCD;(2)如圖，若直徑FG經(jīng)過點E,求證：EO平分AED;(3)如圖，在(2)的條件下，點P在CG上，連接FP交AB于點M,連接MG,若ABCD,MG平分PMB,MG2

23、,FMG的面積為2,求eO的半徑的長.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)eO的半徑的長為J10.【解析】【分析】(1)利用相等的弧所對的弦相等進行證明；(2)連接AO、DO,過點。作OJAB于點J,OQCD于點Q,證明AOJDOQ得出OJOQ,根據(jù)角平分線的判定定理可得結(jié)論；(3)如圖，延長GM交eO于點H,連接HF,求出FH2,在HG上取點L,使HLFH,延長FL交eO于點K,連接KG,求出FL2亞，設(shè)HMn,則有LKKG-n,FKFLLK22,再證明22_KGHFKFGEMGHMF,從而得到tanKFGtanHMF,，再代入FKHMLK和FK的值可得n=4,再求得FG的長，最后得到

24、圓的半徑為屈.【詳解】解：(1)證明：AcBd,AcCb?dCb,如Cd,ABcd.(2)證明：如圖，連接AO、DO,過點O作OJAB于點J,OQCD于點Q,1_1_AJODQO90,AJABCDDQ,又.AODO,AOJDOQ,OJOQ,又OJAB,OQCD,EO平分AED.(3)解：CDAB,AED90,，一1由(2)知，AEFAED45,如圖，延長GM交eO于點H,連接HF,FG為直徑，H90,Smfg-MGFH2, MG2,FH2,在HG上取點L,使HLFH,延長FL交eO于點K,連接KG,HFLHLF45,KLGHLF45, FG為直徑，K90, KGL90KLG45KLG,.LKK

25、G,在RtFHL中，F(xiàn)L2FH2HL2，F(xiàn)L2亞，設(shè)HMn,HLMG2, GLLMMGHLLMHMn,在RtLGK中，LG2LK2KG2,LKKGn,2FKFLLK2拒n,2 GMPGMB,PMGHMF,HMF1AEFAED45,2MGFEMGKFGEMGMEF45,MGFHMF,KFGHLF45tanKFGtanHMF,2KGHF2n2FK而2行與n2HGHMMG6,.10.在RtHFG中，F(xiàn)G2FH2HG2,FG2>/i0,FO即eO的半徑的長為Ji0.【點睛】考查了圓的綜合題，本題是垂徑定理、圓周角定理以及三角函數(shù)等的綜合應用，適當?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵.10.在RtABC中，/

26、ACB=90°,CD是AB邊的中線，DELBC于E,連結(jié)CD,點P在射線CB上（與B,C不重合）（1）如果/A=30°,如圖1,/DCB等于多少度；如圖2,點P在線段CB上，連結(jié)DP,將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段DF,連結(jié)BF,補全圖2猜想CP、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖3,若點P在線段CB的延長線上，且/A=a（0°<av90。），連結(jié)DP,將線段DP繞點逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DF,連結(jié)BF,請直接寫出DE、BF、BP三者的數(shù)量關(guān)系（不需證明）【答案】（1）/DCB=60°.結(jié)論：CP=BF.理由見解析；（2）結(jié)

27、論：BF-BP=2DE?tan”理由見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，結(jié)合ZA=30°,只要證明4CDB是等邊三角形即可；根據(jù)全等三角形的判定推出4DC百DBF,根據(jù)全等的性質(zhì)得出CP=BF,(2)求出DC=DB=AD,DE/AC,求出ZFDB=ZCDP=2a匕PDB,DP=DF,根據(jù)全等三角形的判定得出ADC國DBF,求出CP=BF,推出BF-BP=BC,解直角三角形求出CE=DEtan”即可.【詳解】(1)./A=30°,/ACB=90°,/B=60°,.AD=DB,-.CD=AD=DB, .CDB是等邊三角形，/DCB=6

28、0:如圖1,結(jié)論：CP=BF,理由如下：圖1 ./ACB=90；D是AB的中點，DELBC,ZDCB=60°, .CDB為等邊三角形./CDB=60°二線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60得到線段DF, /PDF=60；DP=DF,/FDB=/CDP,在DCP和4DBF中DCDBCDPBDF,DPDF.,.DCFADBF, .CP=BF.(2)結(jié)論：BF-BP=2DEtana.理由：/ACB=90°,D是AB的中點，DELBC,/A=a,-.DC=DB=AD,DE/AC,/A=/ACD=a,/EDB=/A=a,BC=2CE,/BDC=/A+ZACD=2a,/PD已2%/FDB=/CDP=2a廿PDB,二線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DF,.DP=DF,在DCP和4DBF中DCDBCDPBDF,DPDF.,.DCFADBF,.CP=BF,而CP=BC+BP.BF-BP=BC,在RtACDE中,/DEO90°,CEtan/CDE=,DE.CE=DEtan/.BC=2CE=2DEtan,a即BF-BP=2DEtana.【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應用，能推出DC®DBF是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強