微積分第三版課后習(xí)題答案

1、微積分第三版課后習(xí)題答案【篇一：微積分下冊練習(xí)題（含答案）】> n?1?n的部分和數(shù)列?sn? 的極限存在是級數(shù)?un?1?n收斂的 充要條件。2 、判斷級數(shù)?n?1?nsin32nn的斂散性。nsin3解：nn?1?n ，而 limn?1?1 ，故收斂。n?n22n2nn23 、級數(shù)n?1?xn的收斂半徑為r?22n4 、冪級數(shù)?n?1?1?x?3n的收斂區(qū)間為?1 。?5、將函數(shù)f?x?ln?1?x? 展開成 x 的冪級數(shù)是?x? 121314x?x?x?234,x?1,1? 。6、微分方程 dy?y?sin?x2?c? 。 dx x7 、求微分方程y?y?e 的通解。解： y?e?

2、dx?exe?dxdx?c?exx?c?x4?c1x2?c2x?c3 。 8、微分方程y?sinx?6x 的通解是y?cosx?49 、微分方程y?y?2y?e 的通解。2解：特征方程為r?r?2?0 ，解得 r,r2?2 ，另外特解是y?1?1?x1xe，2從而通解為y?c1e?x1 ?c2e2x?ex2x10、微分方程y?y?e?x?1? 的特解可設(shè)為y?ex?ax?b? 。n?11. 級數(shù) ?un 收斂的必要條件是limun?0 .n?112. 交換二次積分的次序?0dy?0f(x,y)dx=?0dx?xf(x,y)dy 13. 微分方程 y?4y?4y?2xe2x 的特解可以設(shè)為y*?

3、x2(ax?b)e2x. 14. 在極坐標(biāo)系下的面積元素d?rdrd?. 15. 級數(shù) ?(?1)n?1?n?11y111n32為( a ) .a. 絕對收斂; b. 條件收斂; c. 發(fā)散 ; d. 收斂性不確定. 16.冪級數(shù) ?(?1)n?1?n?nn1的收斂半徑為( r? ).3xy17. 設(shè) z?sin(x?y)?e, 求 dz.(?y?)xe 解： zx?cosx(?y?)yexy zy?cosxdz?cosx(?y?)ye?xyxyd?xcos?x(y?x)yxedy(?1)n(x?1)n 的收斂域. 18. 求冪級數(shù)?nn?1解 r?1當(dāng) x?2 時收斂 當(dāng) x?0 時發(fā)散收斂

4、域為(0,2.119.將 f(x)? 展開為麥克勞林級數(shù). 22?x?x?11?11? 解： ?22?x?x3?1?x?x?2?1?2?2分?11?31?x6(1?x)2n3分1?n1?x?x?(?1)n?3n?06n?0?2?5分1?1?1?(?1)nn?1?xn3n?0?2?6分x?17分20. 求微分方程y?2xy?4x 在初始條件yx?0?3 下的特解.解 y?e?2xdx?c?4xexdxx22?5分3分 4分?e?ce?x2c?2?ed(x2)?x2?2將 yx?0?3 代入上式得c?1所求特解為y?e?x26分?27分【篇二：微積分3 習(xí)題答案】?3?x)?f(x0)?3a?x?

5、0?x2 函數(shù)f?x?xx 在點 x?0 處的導(dǎo)數(shù)f?0? 01 設(shè) f(x0)?a ，則 lim3 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，函數(shù)f?x?xx? 在點 x?1 處的導(dǎo)數(shù)f?1? 不存在 4函數(shù) f?x?sinx 在點 x?0 處的導(dǎo)數(shù)f?0? 不存在5設(shè)函數(shù)f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)?(x?n) (其中 n 為正整數(shù))，則f(0)?1T ?kk?127 設(shè) f?x?x2 ，則 f?f?x? 2xf(x0)?f(x0?2h)?3，則 dy|x?x0?9dx 8 設(shè) y?f(x) ，且 limh?06h9 y?x2?e?x ，則 y(0)? 36 曲線 y?1?x?e 在點 x?0 處的切線方

6、程為y? 2x?1 n!x n d2y?1?10 設(shè) x?a(t?sint) ， y?a(1?cost) ，則 dx2a(1?cost)2 11arcsinx?)dx 11 設(shè) 0?x?1 ，則 d(xarcsinx)? (2x2?x ?x?1?t212求曲線?在 t?2 處的切線方程y?8?3(x?5) 3?y?t113設(shè) y?2x?1 ，則其反函數(shù)x?x(y) 的導(dǎo)數(shù) x?(y)?2dy12arctan4 14 設(shè) y?x?1)?arctan2x ，則導(dǎo)數(shù)在點x?4 處的值為?dx417115設(shè)需求函數(shù)q?a?bp ，則邊際收益r?q?a?2q?b516某商品的需求量q 與價格 p 的關(guān)系

7、為q?p ，則需求量q 對價格p 的彈性是17 設(shè)某商品的需求函數(shù)為q?1000?2p ，其中 p 為價格，q 為需求量，則該商品的收er1000?2q? 益彈性1000?qeq18某商品的需求函數(shù)為q?1000?2p ，其中 p 為價格，q 為需求量，則銷售該商品的a?2bp邊際收益為r?q? 500?qa?bper?19 某商品的需求量q 與價格 p 之間的關(guān)系為q?a?bp ，則該商品的收益彈性ep二、單項選擇題f(x0?h)?f(x0)?1 ，則 f(x0) 為 1 設(shè) f(x) 是可導(dǎo)函數(shù)，且limh?02h12一1一2 2.設(shè)f(x)在x?1處可導(dǎo)，且f(1)?2 ,則lim f(

8、1?x)?f(1?x)?x?0x 1 2 4 33函數(shù)f?x?x 在 x?0 處滿足下列哪個結(jié)論3極限不存在 極限存在，不連續(xù)連續(xù)，不可導(dǎo)可導(dǎo)4函數(shù) f?x? 在區(qū)間 ?a,b? 內(nèi)連續(xù)是f?x? 在 ?a,b? 內(nèi)可導(dǎo)的充分但非必要條件必要但非充分條件充分必要條件既非充分又非必要條件5 設(shè) f(x) 為奇函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)f?(x) 的奇偶性為奇函數(shù)偶函數(shù) 非奇非偶奇偶性不定6 設(shè)函數(shù)f(x) 可導(dǎo)，記g(x)?f(x)?f(?x) ，則導(dǎo)數(shù)g?x? 為奇函數(shù) 偶函數(shù)非奇非偶奇偶性不定1與 ?x 等價的無窮小與 ?x 同階的無窮小，但不等價與 ?x 低階的無窮小與 ?x 高階的無窮小?xx?0?

9、8 函數(shù) f(x)?1?e1 ，在 x?0 處 x?x?0?0不連續(xù)連續(xù)但不可導(dǎo)可導(dǎo)，且f(0)?0可導(dǎo)，且f(0)?19設(shè)f(x)?xlnx 在 x0 處可導(dǎo)，且f?(x0)?2 ，則 f(x0)? 7 設(shè)函數(shù)y?f(x) 有 f(x0)?0e1e 10 .設(shè)ee2x2x2為 f(x) 的導(dǎo)函數(shù)，則f?(x)? 2e2x 4e2x 011 設(shè) f?(0)?2 ，則當(dāng) x?0 時， f(x)?f(0) 是 x 的 低階無窮小量同階無窮小量高階無窮小量等價無窮小量三、求下列導(dǎo)數(shù)或微分dy1 設(shè)y?x?x?x ，求 (dx2 設(shè)y?1?2x?1?2x?x?x?2x?x1?) ?xsindy1111

10、1 ，求()sin?cosdxxx2xx2x3 y?ex?sinx?cosx? ，求4 y?x?sinlnx?coslnx? ，求 dy( 2coslnxdx ) 5 y?x2 ，求 dy(6 設(shè) y?3?x?xx3sin3xyx?0 ( =2)xdxx?x2)sin3x? ) x?1127 設(shè) y?x?arctan?ln?x ，求 y ( arctan )xx?11?x?1?x?18設(shè) y?( x?1 )，求 dy( (x?1?x?1)? ?dx)x?1?x?1?2x?12x?1?9設(shè) f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100) ，求 f?(0) ( =100！)，求 y? ( y?3

11、xln3?3x2?xsin3x?3cos3xlnx?xsinxsinx?xcosx?x2cosx10設(shè) y? ，求 dy ( dx) 21?x(1?x)dyxexexx2?ex11 . y?,求()x2dxx?exx?ex?13x2112設(shè) y?arctan( ( |x|?1 )，求 y?()x?2)?ln?x?11?(x3?2)2x2?16x2?613 設(shè) y?x6(x2?1)3(x?2)2 ，求 y? ( x6(x2?1)3(x?2)?2?)xx?2x?1?314 設(shè) y?(x?1)2x?2(x?2)2(x?1)2x?2?212?，求 y? ( ?x?14(x?2)3(x?2)?) 2?(

12、x?2)1x 1?lnx) 2x2xsinx?2sinx?22sinx16設(shè) y?(1?x) ，求 dy ( (1?x)cosxln(1?x)?dx ) 2?1?x?2x?y(x2?y2)exy22xy17 由ln(x?y)?e?1 確定 y 是 x 的函數(shù)y(x) ，求 y?(x)y? 22xy2y?x(x?y)e15 設(shè)y?x ( x?0 )，求 y? ( x?1xyex?ey18 已知 ye?xe ，求 y(y)xe?exy?y?xlny?xy19 已知 y?x ，求 y()xx?ylnx220 已知 y?cot(x?y) ，求 y ( sec(x?y) )121 已知 y?ln?y?x

13、?0 ，求 y () y?x?1xy22由 ex2?y2?sin(xy)?5 確定 y 是 x 的函數(shù) y(x) ，求 y(x)y?2xex2ye2?y2?ycos(xy)?xcos(xy)x2?y223設(shè)函數(shù)y?y(x) 由方程 ln(y?x2)?x3y?sinx 確定，求dy( =1 ) dxx?0dy1?y224設(shè)方程x?y?arctany?0 確定了 y?y(x) ，求 ( y? ) 2dxyay?x225 .求由方程x?y?3axy?0 (a?0)確定的隱函數(shù)y?y(x)的微分 dy2dxy?axy26 .已知y(x)是由方程siny?xe?0 所確家的隱函數(shù)，求 y?,以及該方程所

14、表示的曲線33ey在點 (0,0)處切線的斜率。(?， ?1 )cosy?xeyf?27設(shè) y?y(x) 由方程 y?fx?g(y) 所確定，其中f 和 g 均可導(dǎo)，求y?()1?f?g?d2y28函數(shù) y?y(x) 由方程 e?e?xy?0 確定，求dx2xyxyx?0 解 對方程兩邊關(guān)于x 求導(dǎo)，得e?ey?y?xy?0 ，兩邊關(guān)于x 再求導(dǎo)，得ex?eyy?2?eyy?y?y?xy?0d2y又當(dāng) x?0 時， y?0 ，于是 y?(0)?1 ，故dx2?2x?0?x?e2tcos2tdysin2t?sint?cost29 設(shè) ?，求 ()22t2dxy?esintcost?sint?co

15、st?30設(shè) y?y(x) 由 x?(1?s)212和?s2dy) y?(1?s) 所確定，試求(?2dx?s122?x?ecos2tdy31 設(shè)?，求(= 1) 2dxy?esint?x?etcost2dyet(2sint?cost)32 設(shè)?，求()222tdxy?esintcost?2tsint?x?e2tdy3t?033 若參數(shù)方程為?，求在時的值。()2dx2?y?t?3t?2?x?2sin3td2yet(cos3t?3sin3t)34 設(shè)?，求()t3236cos3tdx?y?e?ln2?x?e?td2y35 設(shè)?，求(3?2t)e3t ) t2dx?y?te?x?e2t1?4t3

16、?5td2y?e?e ) 36設(shè)?，求(?t224dx?y?t?e?x?t?sint?2d2y37設(shè)曲線方程為?，求此曲線在點x?2 處的切線方程，及2dx?y?t?cost 解 當(dāng) x?2 時， t?0 ， y?1 ，dy1?sintdy1? ， ? ， dx1?costdxt?021d2yd?dy?1sint?cost?1? 切線方程：y?1?(x?2) ； ?2dx2dt?dx?dx(1?cost)3dt38設(shè) y?(1?x)(2?3x)2(4?5x)3 ，求 y(5)(0) ( =63900 ) 四、應(yīng)用題1 設(shè)生產(chǎn)某商品的固定成本為20000 元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，成本增加100

17、元，總收益12x (假設(shè)產(chǎn)銷平衡)，試求邊際成本、邊際收益及邊際利潤。2( c?(x)?100 ， r?(x)?400?x ， l?(x)?300?x )42 . 一人以2m/秒的速度通過一座高 20m的橋，此人的正下方有一 小船以m/秒的速度與橋3函數(shù)為 r(x)?400x?垂直的方向前進，求第5 秒末人與船相離的速率。解 設(shè)在時刻t人與船的距離為s,則1?4?s?202?(2t)2?t?3600?52t2，3?3?2ds52tds26( m/s )?2dt33600?5tdtt?52126答：第 5 秒末人與船相離的速率為(m/s )21五、分析題1 設(shè)曲線 f(x) 在 0,1 上可導(dǎo)，

18、且y?f(sin2x)?f(cos2x) ，求( y?f?(sin2x)?f?(cos2x)sin2x )2 設(shè)曲線方程為x3?y3?(x?1)cos(?y)?9?0 ，試求此曲線在橫坐標(biāo)為 x?1 的點處的切線方程和法線方程。(y?2?(x?1) ， y?2?3(x?1) )3 設(shè)f(x)?3|a?x| ，求 f?(x)dy dx13?3a?xln3x?a( f?(x)?x?a ，且 f(x) 在點 x?a 處不可導(dǎo))?3ln3x?a?sinxx?04 討論函數(shù)f(x)? 在 x?0 處的可導(dǎo)性。x?1x?0?( f(x) 在 x?0 處不連續(xù)，不可導(dǎo))?k?ln(1?x)x?05 設(shè) f(

19、x)? ，當(dāng) k 為何值時，點x?0 處可導(dǎo)；此時求出f?(x) 。sinxx?0?e1?x?0?(當(dāng) k?1 時， f(x) 在點 x?0 處可導(dǎo)；此時f?(x)?1?x )sinx?ecosxx?0f(x)6 若 y?f(x) 是奇函數(shù)且在點x?0 處可導(dǎo)，則點x?0 是函數(shù) f(x)? 什么類型的x間斷點？說明理由。解由f(x)是奇函數(shù)，且在點x?0處可導(dǎo)，知f(x) 在點 x?0 處連續(xù)，f(0)?f(0) ，則 f(0)?0 ，于是 limf(x)?limx?0x?0f(x)?f(0)?f?(0) 存在，x?0故點 x?0 是函數(shù) f(x) 第一類間斷點(可去)。?2ex?ax?07

20、 試確定常數(shù)a,b 的值，使得函數(shù)f(x)?2 處處可導(dǎo)。?x?bx?1x?0f(x)?limf(x)?f(0) ，即 解 為使 f(x) 在點 x?0 處連續(xù)，必須 lim?x?0x?0x?0?limf(x)?2?a ， limf(x)?f(0)?1 ，所以 a?1 ， ?x?0?(0)?f?(0) ，即 為使 f(x) 在點 x?0 處可導(dǎo)，必須f?f(x)?f(0)2(ex?1)f?(0)?lim?lim?2，?x?0?x?0x?0xf(x)?f(0)x2?bxf?(0)?lim?lim?b ，所以 b?2x?0?x?0?x?0x2?x?t3dy?2?0 8 驗證?( ?1?t?1 )，

21、滿足方程y2dx?y?t【篇三：微積分(曹定華)(修訂版)課后題答案第三章習(xí)題詳解】/p> 1 設(shè) s=1 2 dsgt ,求 2dtt?2121g 解：dst?g?4dt?lims(t)?s(2)2t?2?limt?2t?t?2t?2?lim1t?22g(t?2)?2g 2 設(shè) f(x)=1x,求 f?(x0) (x0 豐 0)解：f?(x)?(1x)?(x?1)?1x2f?(x0)?1x2(x0?0) 03 (1 )求曲線y?x2 上點( 2， 4)處的切線方程和法線方程；( 2)求過點(3， 8)且與曲線y?x2 相切的直線方程；( 3)求y?ex 上點( 2， e2)處的切線方程

22、和法線方程；( 4)求過點(2， 0)且與 y?ex 相切的直線方程。解：略。4.下列各題中均假定f' (x/在，按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限，指出 a 表示什么：(1) f(x0?x)?f(x0)?limx?0?x=a;(2) f(x0)=0, xlimf(x)?x0x?x=a； 0(3) limf(x0?h)?f(x0?h)h?0h=a 解： (1)?f(x0?x)?f(x0)fx0?(?limx?0?x?lim?x)?f(x0)?x?0?x?f?(x0) ?a?f?(x0) (2)?limf(x)x?limf(x)?f(x0)x?x00?xx?x?f?(x0x?x0)1?a?f?(x

23、0)f(x0?h)?f(x0?h)h?0hf(x0?h)?f(x0)?f(x0?h)?f(x0)?limh?0hf(x0?h)?f(x0)fx0?(?h)?f(x0)?lim?limh?0?h?0h?h(3)?lim?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0) ?a?2f?(x0) 5 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y(2) y； (3) y12解：(1)?y?x121?1 ?y?(x)?x2?2 (2)?y?x?23235?1?2?22 ?y?(x)?x3?x3?33?23?5216(3)?y?x?x?x162?x1?5?y?(x)?x6?66 討論函數(shù)yx=0 點處的連續(xù)性和可導(dǎo)性解： ?0?

24、f(0)x?f(x)?f(0)0 lim?lim?x?0x?0x?0x?0x ?函數(shù) y 在 x?0 點處連續(xù)但不可導(dǎo)。7 .試由倒數(shù)定義，證明：若f(x)為可導(dǎo)的奇(偶)函數(shù)，則 f'(魅偶(奇)函數(shù)。證： ?f(x) 為偶函數(shù)?f(?x)?f(x)2f(x)?f(0)f(?x)?f(0)?f?(0)?limx?0x?0?limx?0x?0?limf(?x)?f(0)x?0?x?0?f?(0) ，即 2f?(0)?0 故 f?(0)?08 求下列函數(shù)在x0 處的左、右導(dǎo)數(shù)，從而證明函數(shù)在x0 處不可導(dǎo)：(1) y = ?sinx,x?0,?x3,x?0,x0?0 ；(2) y=x?1

25、,?x?x2,x?1,0?1 解： (1)?ff(x)?f(0)3?(0)?limx?0?x?0?limx?0x?0?x?lim2x?0?x?0 f?(0)?limf(x)?f(0)sinx?x?0 ?x?0?lim0x?0?x?1?f?(0)?f?(0)? 函數(shù)在 x?0 處不可導(dǎo)。(2) ?ff(x)?f(1)2?(1)?limx?1?x?1?limx?1x?1?x?1?lim(x?1?x?1)?2f?(1)?limf(x)?f(1)x?1?lim11x?1?x?1?x?1?x?1?2 ?f?(1)?f?(1)? 函數(shù)在 x?1 處不可導(dǎo)。9 設(shè)函數(shù)f(x)= ?x2,x?1,x?1.?a

26、x?b, 為了使函數(shù)f(x) 在 x=1 點處連續(xù)且可導(dǎo)，a， b 應(yīng)取什么值?解：為使f(x) 在 x?1 處連續(xù)，必須f(1?0)?f(1?0)?f(1) ，f(1?0)?limx?1?f(x)?lim(x?1 ?ax?b)?a?b f(1?0)?limf(x)?limx2x?1?x?1?1 ， f(1)?1 ?a?b?1?b?1?a (1) 為了使 f(x) 在 x?1 處可導(dǎo)，必須f?(1)?f?(1) ff(x)?f(1)?(1)?limx?1 ?x?1?limax?b?1x?1?x?1?limax?ax?1?x?1?a 32f(x)?f(1)x?1?lim?lim(x?1)?2 f?(1)?limx?1?x?1?x?1x?1?x?1?a?2 ，代入(1 )式得 b?1? 當(dāng) a?2 ， b?1 時 f(x) 在 x?1 處連續(xù)且可導(dǎo)。10.證明：雙曲線xy = a上任一點處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三 角形的面積都等于22a 證：設(shè) p(x0,y0) 是雙曲線xy?a2 上任一點，則x0y0?a2 ，該雙曲線在 p(x0,y0)處切線的斜率k?y?2x?x0xyya2?2?020?0 該雙曲線在p(x0,y0)x0x0x0y0