圓錐曲線幾何問(wèn)題地轉(zhuǎn)換

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換一、基礎(chǔ)知識(shí)：在圓錐曲線問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到幾何條件與代數(shù)條件的相互轉(zhuǎn)化，合理的進(jìn)行幾何條件的轉(zhuǎn)化往往可以起到“四兩撥千斤”的作用，極大的簡(jiǎn)化運(yùn)算的復(fù)雜程度，在本節(jié)中，將列 舉常見(jiàn)的一些幾何條件的轉(zhuǎn)化。1、在幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化中，向量是一個(gè)重要的橋梁：一方面，幾何圖形中的線段變?yōu)橛邢蚓€段后可以承載向量；另一方面，向量在坐標(biāo)系中能夠坐標(biāo)化，從而將幾何圖形的要素轉(zhuǎn)化為 坐標(biāo)的運(yùn)算，與方程和變量找到聯(lián)系2、常見(jiàn)幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：(1)角度問(wèn)題：若與直線傾斜角有關(guān)，則可以考慮轉(zhuǎn)化為斜率k若需要判斷角是銳角還是鈍角，則可將此角作為向量的夾角，從而利用向量數(shù)量積的符號(hào)進(jìn)行判定(2)點(diǎn)與圓

2、的位置關(guān)系 可以利用圓的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心距離與半徑的聯(lián)系，但需要解出圓的方程，在有些題目中計(jì)算量較大 若給出圓的一條直徑，則可根據(jù)該點(diǎn)與直徑端點(diǎn)連線的夾角進(jìn)行判定：若點(diǎn)在圓內(nèi)，T TT T/ACB為鈍角(再轉(zhuǎn)為向量：CA CB <0 ；若點(diǎn)在圓上，則/ACB為直角(CACB=0)；T T若點(diǎn)在圓外，則 NACB為銳角(CA CB >0)(3)三點(diǎn)共線問(wèn)題 通過(guò)斜率：任取兩點(diǎn)求出斜率，若斜率相等，則三點(diǎn)共線通過(guò)向量：任取兩點(diǎn)確定向量，若向量共線，則三點(diǎn)共線(4)直線的平行垂直關(guān)系：可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)向量的平行與垂直問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)運(yùn)算：444 4a = (xi, yi )b =(X2

3、, y2 ),則 a,b共線 u xy2 = x?yi ； a -L bX1X2 + yy2 = 0(5)平行(共線)線段的比例問(wèn)題：可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)乘關(guān)系(6)平行(共線)線段的乘積問(wèn)題：可將線段變?yōu)橄蛄?，從而轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問(wèn)題(注意向量的方向是同向還是反向)文案大全3、常見(jiàn)幾何圖形問(wèn)題的轉(zhuǎn)化(1)三角形的“重心”：設(shè)不共線的三點(diǎn)A(X，yi )B(X2，y2 "必心卜則|_ABC 的重心 G/+X2 +X3 yi + y2 + y3'(2)三角形的“垂心”:伴隨著垂直關(guān)系,即頂點(diǎn)與垂心的連線與底邊垂直，從而可轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零(3)三角形的“內(nèi)心”:伴隨著角平分線,由

4、角平分線性質(zhì)可知(如圖）：IP _L AC,IQ _L AQAI ACAI ABI在/BAC的角平分線上 二 AP = AQ = I = TACAB(4) P是以DA, DB為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn)=DP =DA DB(5) P是以DA,DB為鄰邊的菱形的頂點(diǎn)：P在AB垂直平分線上(6)共線線段長(zhǎng)度的乘積：若 A,B,C共線，則線段的乘積可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，(要注意向量的夾角)例如：AC AB = AC AB,AC BC二一AC BC、典型例題:22例1：如圖：A,B分別是橢圓C:：+匕a2 b2= 1(a >b >0 )的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，2是AF , FB

5、的等差中項(xiàng)， J3是AF , FB的等比中項(xiàng)(1)求橢圓C的方程(2)已知P是橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)A且垂直于x軸，若過(guò)F作直線FQ _L AP ,并交直線l于點(diǎn)Q。證明：Q,P,B三點(diǎn)共線解：(1)依題意可得:A(f0),B(a,0),Fg0)AF =c+a, BF =a -c：2是AF , FB的等差中項(xiàng)二 4 = AF + FB = a + c + a c = 2aa =2:, J3是|AF|, FB的等比中項(xiàng).(V3 j =|AF FB| =(a + cXa _c)=a2_c2 = b2_2_ 2_ 2_3 x 16kx 16k -12 =06 -8k24k2 3-y11

6、2k4k2 3另一方面，因?yàn)镕Q AP.P '6-8k212k、'14k2+3,4k2+3kFQ = k.b2 =322, 、一 x y橢圓方程為：一+1=143(2)由(1)可得：A(2,0 )B(2,0 ),F(1,0)設(shè)AP:y = k(x+2),設(shè)P(x1,y ),聯(lián)立直線與橢圓方程可得:3x2 4y2 =12= 4k2 y = k x 216k2 -12xAx1 二21 x1A 1 4k2 31一 1， 、一, FQ : y = (X1 聯(lián)立方程:k1一1J x 二2'：B 2,00-3 k2 - -234k12k0k 0 4k2 3 -12k0P . 6-8

7、k2 16k24k24k2 3二B,Q,P三點(diǎn)共線2 X例2:已知橢圓3 a24 = 1(a Ab0)的右焦點(diǎn)為F, M為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 b2 OMF的面積為1 ,且橢圓的離心率為 紅 22(1)求橢圓的方程;(2)是否存在直線l交橢圓于P , Q兩點(diǎn)， 且使點(diǎn)F為乙PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.斛：(1 ) Somf=-bc =22a : b : c = .2:1:12, 22a =b c 2，橢圓方程為:22 y2 :1設(shè) P(X，y3 Q(X2,y2),由(1)可得：M (0,1),F(1,0)kMF = -1 F F為乙PQM的垂心MF -PQ

8、設(shè) PQ : y = x m由F為 PQM的垂心可得：MP 1 FQMP - X1,y1 -'1 , FQ - X2 -'1,y2, MP FQ = %(x2 1)+(y1 -1)y2 =0 因?yàn)镻,Q在直線y=x+m上y1= x1m _-. 11，代入可得:y2= x2 mx1x2 -1 - x1 m -1x2m = 02即 2x1x2 +(x +x2)(m1)+m m=0 考慮聯(lián)立方程:y =x +m999得 3x2 +4mx+2m2 -2 =0x2 2y2 =2-16m2 -12 2m2 -2 0= m2 二324m2m -2,x1 +x2 = ,x1x2 =.代入可得:

9、2m2 -22 3334m m -1 1 -,34斛得：m = 一一或m =13當(dāng)m=1時(shí)， PQM不存在，故舍去4一一4當(dāng)m = 一一時(shí)，所求直線l存在，直線l的萬(wàn)程為y = x -一33小煉有話說(shuō)：在高中階段涉及到三角形垂心的性質(zhì)，為垂心與三角形頂點(diǎn)的連線垂直底邊,所以對(duì)垂心的利用通常伴隨著垂直條件，在解析幾何中即可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算(或是斜率關(guān)系)2 x例3:如圖，橢圓嗔 a2+ J=1(abA0)的一個(gè)焦點(diǎn)是 b2F (1,0) , O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形,橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不垂直x軸的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)

10、動(dòng)，恒有222OA 十 OB < AB求a的取值范圍解：(1)由圖可得：M 'o,-b I 由正三角形性質(zhì)可得:,3冗. MFO = -,kMF6kMIF1cb 003 二0 - 1 一一 3.b = .3. a2 = b2 c2 = 422，橢圓方程為：工+L = 143(2)設(shè) l : y = k(x1A(Xi，y-%B(X2，y2 )'JOA2 +|OB2 <|AB2.cos._ AOB =2 i2oa| +|ob| -|ab2 OA OB，/AOB為鈍角OA OB = x1x2 y1 y2 : 0聯(lián)立直線與橢圓方程:y =k x -1 b2x2 a2y2 ;

11、 a2b2,2n b2x2+a2k2(x1)2 =a2b2,整理可得:a2k2 b2 x2 -2a2k2x a2k2 -a2b2 =02, 22a kx1 x2 = 2 2 , , x1x2 二a k b2, 22. 2a k -a b 22,2. 2y-y2 = k x- -1 x2 -1 =k x-x2 - k x-x?k=k22, 22, 2a k -a b2. 2,2a kb2, 222a k 2 k 2 22 ka2k2b22 22 2 2k b -a b kxx2y1y2 =2. 22,2. 2, 22, 2. 2a k - a b k b -a b k2. 2,2a kb:二 0

12、2, 22, 21 2, 22, 2, 2a k -a b +kb -a b k <0 恒成立即 k2(a2 +b2 a2b2 )<a2b2恒成立2,22,2C , , 1 22-1a b - a b <0,b=a二 2a2 -1-a2(a2 -1)<0解得:1.5>2二a的取值范圍是 11 4君,依222例4：設(shè)A,B分別為橢圓x2 +4 a b= 1(aAb>0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距,且橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為1(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)P為直線X =4上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn),若直線AP,BP分別與橢圓相交于異于A,B的

13、點(diǎn)M ,N ,證明：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)解：(1)依題意可得a=2c,且到右焦點(diǎn)距離的最小值為a - c = 1可解得：a=2,c=1, b =、,322二橢圓方程為=143(2)思路：若要證 B在以MN為直徑的圓內(nèi)，只需證明 /MBN為鈍角，即/MBP為銳 角，從而只需證明BM BP >0,因?yàn)锳,B坐標(biāo)可求，所以只要設(shè)出 AM直線(斜率為k),聯(lián)立萬(wàn)程利用韋達(dá)te理即可用k表不出M的坐標(biāo)，從而 BM 舊P可用k1表示。即可判斷TBM BP的符號(hào)，進(jìn)而完成證明解：由(1)可得A(2,0 ),B(2,0),設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k , M(x1,y1),則AM : y = k(

14、x+2 ) 聯(lián)立AM與橢圓方程可得:y = k x 23x2 4y2 =12消去y可得:4k2 3 x2 16k2x 16k2 -12 = 0xAx116k2 -124k2 3二 x1二6 -8k24k2 368k212k 、4k2 +3, 4k2 +3 ,h2,6k ,BM'-16k212k、4k2 +3,4k2 +3，,BP BM-32 k24k2 36k12k4k2 340k24k2 312k 一, y =kx1 +2k =-2，即 M4k2 3設(shè)P（4,y0,因?yàn)镻在直線AM上，所以y0 = k（4 + 2）= 6k，即P（4,6k）|AF| |CFAFBF=BFDFDFp，不

15、妨設(shè)CFAFBFDFCF，/MBP為銳角，二/M BN為鈍角二M在以MN為直徑的圓內(nèi)例5：如圖所示，已知過(guò)拋物線x2 = 4y的焦點(diǎn)F的直線l與拋物3 o 3 o線相父于A,B兩點(diǎn)，與橢圓一y2 + x2 =1的交點(diǎn)為C,D，是否 42存在直線l使彳#|AF ,CF| = BF| ,DF|?若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：依題意可知拋物線焦點(diǎn) F （0,1）,設(shè)l : y = kx +1則 AF 二鼠DF = 'FC設(shè) A X,% ,B X2N2 ,C X3* ,D x4,y4AF = ”,171 ,FB = x2,y2 -1CF= -X3,1 73 ,FD = x4

16、,y4 -1y = kx +12二x = 4y2x - 4kx-4 = 0Lx = ' X2二f 2可信：一一% =x° (4 x° ),解得：*0=0(舍)或*0=8、2 考慮聯(lián)立直線與拋物線方程:-X3 ; X4x1 x2 = 1 - * )x2 = -4kx1x2 - - 1 x2 = -4，消去Xz可得:一九y = kx 1_224聯(lián)立直線與橢圓萬(wàn)程：6 66= 6x1 -3(kx + 1) =4 ,整理可得:6x2 3y2 = 43k2 6 x2 6kx -1 = 06kx3 刈=1 _ ' ； 乂 =-23k2 621x3x4 = - 1 x4

17、= -23k2 6221 - _36k_ _ T_2"一 3k 6由可得:-4k2-|k,解得：k2=1= k=±1 3k2 6所以存在滿足條件的直線，其方程為:例6：在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線21x =2py(p>0 )的準(zhǔn)線方程為y = 3,過(guò)點(diǎn)M (4,0 )作拋物線的切線 MA ,切點(diǎn)為A (異于點(diǎn)O ),直線l過(guò)點(diǎn)M與拋物線交于兩點(diǎn) P,Q ,與直線OA交于點(diǎn)N(1)求拋物線的方程(2)試問(wèn)MNMNMPMQ的值是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，、一p 1 斛：(1)由準(zhǔn)線方程可得： 一一=一一二p = 1222二拋物線方程：x2 =

18、2y, 一一1 2(2)設(shè)切點(diǎn)A x0,y0 ,拋物線為y= x22, .二y = x 一 切線斜率為k = x0. 1 2二切線萬(wàn)程為：y - yo =xo (x /)，代入M (4,0 )及yo =鼻乂。,A 8,32 OA: y = 4x設(shè) PQ : x = my 4M M ,P, N,Q共線且M在x軸上|MN| |MN| yN Qn1。1、 Yp 十 Yq+= yN + =yNMP MQyp yQ、yp y ,YpYqx2 = 2y 2-1聯(lián)立PQ和拋物線方程：x y = (my+4) =2y ,整理可得：x = my 42 2m y 8m - 2 y 16 = 02-8m16yP y

19、Q =2-，yP yQ 2mm八 ，、一 y =4x16再聯(lián)立OA,PQ直線方程：4 y= yN ='6-x = my 41 - 4m2-8mMN|MN|Yp+Yq 16m2化簡(jiǎn)可得：=1 y = 026。y y yNm2MPMQypyq1 -4m162m例7：在ABC中，AB的坐標(biāo)分別是J2,0 ),(J2,0 ),點(diǎn)G是|_ABC的重心，y軸上一點(diǎn) M 滿足 GM / AB ,且 MC = MB（1）求LABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程（2）直線l : y =kx +m與軌跡E相交于P,Q兩點(diǎn)，若在軌跡 E上存在點(diǎn)R,使得四邊形OPRQ為平行四邊形（其中 O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的取值范圍

20、g x yG 3,3解：（1）設(shè)C（x, y）由G是l_ ABC的重心可得:由Y軸上一點(diǎn)M滿足平行關(guān)系，可得 M .'o,- j ,3由MCMB可得:x2 I1y- 3y=*0_%/2 i +y2 J22xy. 一二C的軌跡E的方程為：十 = 1 (y o 0 )26(2)/四邊形OPRQ為平行四邊形OR 二加 OQ設(shè) P xi,yi ,Q x2,y2R x x?,小 »Rr在橢圓上3 xix2y1y2=62222(3x1 + y1 ) + (3x2 + y2 ) + 6x1x2 +2y1y2 =6 22 一一廣3x1y1 = 6口因?yàn)镻,Q在橢圓上，所以 ；2，代入可得:3

21、x2 y2 = 66x1x2+2y1y2+12 =6= 3x1x2 + y1y2 =-3 聯(lián)立方程可得:y = kx m_: k 3 x 2kmx m -6 = 03x2 y2 = 6- xix22 kmm2 - 62 , xix2 = -23 k2 k2 3, 22y1y2=kx1mkx2m = kx1 x2km x1x2廣 m3m2 - 6k2k2 3代入可得:222c m -6 3m -6k2 , 2 3 1一7 = 3= 2m = k 3k2 3k2 3.2-22(k +3 )x +2kmx+m -6 = 0有兩不等實(shí)根可得:& =4k2m2 -4(k2 +3)(m2 -6)&

22、gt;0,即3m2 +6k2 +18a0,代入 k22m2 -3-3m2 6 2m2 - 3 18 0= m2 0另一方面：2m2-3=k2 ;0 m2/=m上«或mW-« 222221例8：已知橢圓C:與+ yr=1(a>b>0)的離心率為1,直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0),B(0,2), a36 AP =35 AM AN列出關(guān)于k的方程。對(duì)于AM AN，盡管可以用兩點(diǎn)間距離公式表示出 AM , AN ,但運(yùn)算較為復(fù)雜。觀察圖形特點(diǎn)可知A,M , N共線，從而可想到利AM,AN同向，所以 AM AN = AM AN。寫(xiě)出 b22且與橢圓C相切于點(diǎn)P(1)求橢圓C的方程

23、(2)是否存在過(guò)點(diǎn)A(4,0)的直線m與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M , N ,使得一一 _ 2 一36 Api =35 AM AN ?若存在，求出直線 m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由C 1解(1) e = =. a:b:c=2:、3:1a 222x y 222，橢圓方程化為： ：+j=1n 3x +4y =12c4c 3c'；l 過(guò) A(4,0),B(0,2 ).x y ,1_二設(shè)直線 l :- +- =1= y = _x + 2 4 223x2+4y2 =12c2/ 1、2聯(lián)立直線與橢圓方程：11消去y可得：3x2 +4l-1x + 2 =12c2|y = -x+2I222整理可得：x2

24、-2x 4 -3c2 =07l與橢圓相切于p 2=4 - 4 4 - 3c =0= c = 1P13,222一一、一 x y一 r二橢圓方程為：一 +工=1 ,且可解得43(2)思路：設(shè)直線m為y = k(x-4 ),一一，口3M (x,y1 ”小.)，由(1)可得：P.J,-卜一，一一一一 245 用向量數(shù)量積表示線段的乘積。因?yàn)樵儆葾(4,0 )可知AP| =-,若要求得k (或證明不存在滿足條件的k),則可通過(guò)等式AM,aN的坐標(biāo)即可進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，然后再聯(lián)立m與橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理整體代入即可得到關(guān)于k的方程，求解即可解：由題意可知直線 m斜率存在，所以設(shè)直線m： y =k x -4

25、,M x，y1，N x2，y2由（1）可得：P 11,3,222=1-4'/ A, M, N共線且36_ - 02aM,aN同向454二 AMAN=AM' ANAM f x -4,y1，AN f x2 -4,丫2AM AN = x1 -4 x2 -4 y1y2=x1x2 y1y2 f 4 x1 x216聯(lián)立直線m與橢圓方程:3x2 4y2 =12-2222消去 y 并整理可得：（4k2 +3）x2 32k2x+64k2 12 = 0 y = k x-432k2為“ =記飛.“_2-64k -124 k2 3,2,Y1 y =k X -4 x2，36k2一4 :24k2 3AM

26、an =64k2 -12 4k 336k2/ 32k2 廿 36 k2 12- -42- 16 :一24k 3 4k 3 4k 3；36 AP2 =35 AM | AN| ,代入 AP2;生 AM。"二44k 3“ 45 八36 = 354236 k2 14k2 32可解得：k21.2=一= k=±,另一萬(wàn)面, 84若方程（4k2 +3反232k2x+64k212 = 0有兩不等實(shí)根c 2cc貝U 3 32k-4 4k 3 64k -120解得:一一：二 k :二一.k =二2符合題意4二直線m的方程為:=卓.4),即:,2 一、y = x 一 v2 或 y42 x例9:設(shè)

27、橢圓C :七a24 = 1（a >b a0 ）的左，右焦點(diǎn)分別為F3F2,上頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A b與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸與點(diǎn)Q，且2F1F2+F2Q =0（1）求橢圓c的離心率(2)(3)在（2）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn) 52作斜率為k的直線l與橢圓C交于M ,N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m,0 ）使得以PM , PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出 m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)依題意設(shè) A(0,b ),F1(-c,0 ),F2(c,0 Q(x0,0 )I 4F1F2 = 2c,0 ,F2Q = x°-c,0'：2F1F2 FQ=0- 4c

28、x0 - c = 0= x0 =-3c.Q -3c,0L _b L kAQ -, kAF23cb一 由AQ_LAF2可得: ckAQ kAF2b23c22_ 2=-1= b =3c若過(guò)A,Q,F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l :x-J3y -3 = 0相切，求橢圓C的方程22,2=3c = a = 4c1)可得：a:b:c = 2:、3:1，A,Q,F2的外接圓的直徑為 QF2,半徑設(shè)為rQ -3c,0 ,F2 c,01,二 r = -QF2 = 2c ,圓心（c,0）,一 , 一1-c - 3|由圓與直線相切可得：d =尸 =2c= |c + 3 = 4c解得：c=1, a=2b=j322橢圓方程為

29、=143(3)由(2)得 Fi(-1,0)F2(1,0)：設(shè)直線 l : y=k(x-1)設(shè)M (x,y1 ),N (x2, y2 ),若PM ,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形則P為MN垂直平分線上的點(diǎn)3x1 4 y1=12222222： 3 X1 - X2 , 4 y - y2 = 03x2 4y2 =123 % X2 X1 -X24 y1 一2 % - y2 =0設(shè) M,N 中點(diǎn)(X0,y0 )3xo 4kyo -0= yo4k1rr,八二 MN 的中垂線萬(wàn)程為：y -y0 =一一(xx0 ),即 x + ky ky0 x0 = 0k代入 P(m,0)可得： mky0X0=0n m =km 二-