工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)課件第一章

1、第三節(jié)第三節(jié) 行列式按行行列式按行(列列)展開展開，1記ijjiijMA定義定義在在n階行列式階行列式D中，劃掉元素中，劃掉元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列后留下的列后留下的n 1階行列式稱為元素階行列式稱為元素aij的的余子式余子式。記作。記作Mij.稱為稱為aij的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式.例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 定理定理.1.1 n階行列式階行列式D=|aij|n等于它的任意一行等于它的任意一行（列）的各

2、元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。即和。即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 定理定理3.2 n階行列式階行列式D中某一行（列）的各個(gè)元中某一行（列）的各個(gè)元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即

3、之和等于零。即., 02211kiAaAaAainknikik., 02211kjAaAaAanjnkjkjk或或證明證明 我們只證第一個(gè)式子。等號(hào)左端的表達(dá)式可視我們只證第一個(gè)式子。等號(hào)左端的表達(dá)式可視為一個(gè)行列式按第為一個(gè)行列式按第i行的展開式，該行列式的特點(diǎn)行的展開式，該行列式的特點(diǎn)是：第是：第i行的元素就是行的元素就是D中第中第k行的元素，而且它的行的元素，而且它的第第i行與行與D的第的第i行對(duì)應(yīng)的元素有相同的代數(shù)余子式。行對(duì)應(yīng)的元素有相同的代數(shù)余子式。于是知該行列式為于是知該行列式為nnnnknkkknkknaaaaaaaaaaaaB21212111211ik由于由于B中第中第i行與

4、第行與第k行相同，則行相同，則B0，故，故., 02211kiAaAaAainknikik., 02211kjAaAaAanjnkjkjk同理可證同理可證證畢證畢把把定理定理3.1及及定理定理3.2結(jié)合起來(lái)結(jié)合起來(lái),便得到了兩個(gè)重要便得到了兩個(gè)重要公式：公式：設(shè)設(shè)n階行列式階行列式D，則，則;,0,1kikiDAantitkt當(dāng)當(dāng);,0,1kjkjDAanttjtk當(dāng)當(dāng)0532004140013202527102135 D例例1 計(jì)算行列式計(jì)算行列式解解0532004140013202527102135 D66027013210 6627210 .1080124220 53241413252

5、53204140132021352152 13rr 122 rr 例例2 計(jì)算行列式計(jì)算行列式D=|aij|n，其中其中aij=|i j|.解：寫出此行列式觀察其特征解：寫出此行列式觀察其特征043211543240123310122210113210nnnnnnnnnnnn=( 1)n+1(n 1)2n-2.例例3計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式xaaaaxxxDnnn12110001001解解按第按第1列展開列展開111) 1() 1(nnnnnaxDDnnaxD1nnnaaxDx)(12nnnaxaDx122nnnnaxaxaDx12211xaD11nnnnnnaxaxaxaxD12211而而

6、所以所以練習(xí)練習(xí)：計(jì)算：計(jì)算aaaaaaaaa110001100011000110001 行列式的展開定理行列式的展開定理3.1可以進(jìn)一步推廣。為此我可以進(jìn)一步推廣。為此我們將元素的余子式和代數(shù)余子式的概念加以推廣。們將元素的余子式和代數(shù)余子式的概念加以推廣。定義定義 在在n階行列式階行列式D中選取中選取k行、行、k列列(1 k n) ，由這些行、列相交處的元素所構(gòu)成的由這些行、列相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式，階行列式，稱為稱為D的的k階子式階子式。記作。記作N。在行列式。在行列式D中去掉中去掉k階子式階子式N所在行、列以后得到的所在行、列以后得到的n k階行列式稱階行列式稱為該為該k階子式

7、的階子式的余子式余子式。記作。記作M。若。若N所在的行所在的行序數(shù)為序數(shù)為i1,i2,ik，所在的列序數(shù)為，所在的列序數(shù)為j1,j2,jk，那那么么Mkkjjii11) 1(稱做稱做N的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式。 定理定理3.3 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理設(shè)在設(shè)在n階行列式階行列式D中任意選取中任意選取k個(gè)行（列）個(gè)行（列） (1 k n-1) ，找出位于這找出位于這k行（列）中的一切行（列）中的一切k階子式階子式N1,N2,Nt及及其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式A1,A2,At，則有，則有 其中其中,12211tiiittANANANAND.knCt 例例4計(jì)算五階行列式

8、計(jì)算五階行列式5100065100065100065100065D解解利用定理利用定理3.3，把行列式，把行列式D按前二行展開，按前二行展開，前二行共有前二行共有 C52=10 個(gè)二階子式，但其個(gè)二階子式，但其中不為中不為0的只有三個(gè)的只有三個(gè) 1951651N3061052N3665063N與與N1, N2, N3對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為,65510651065) 1(21211A332211ANANAND19306519665所以所以,19510650061) 1(31212A, 0510650060) 1(32213A例例5計(jì)算計(jì)算2n階行列式階行列式dcdcdcba

9、babaDn2解法解法1按第一行展開有按第一行展開有ddcdcbabaaDn00002ocdcdcbababn000) 1(21) 1(2112) 1(2) 1(nnnDbcadD) 1(2)(nDbcad) 1(22)(nnDbcadD)2(22)(nDbcad以此作遞推公式，即可以此作遞推公式，即可得得21)(Dbcadndcbabcadn 1)(nbcad)(解法解法2利用定理利用定理3.3，按第，按第n,n+1行這兩行展行這兩行展開行列式，立即可得開行列式，立即可得) 1(22nnDdcbaD) 1(2)(nDbcad)2(22)(nDbcad21)(Dbcadnnbcad)(例例6 計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式)!2(2222232222222221nn例例7 計(jì)算計(jì)算2n階行列式階行列式.00001111111111112nnnnnnnnnnnnnbbbbaaccaaccD例例3證明證明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 證明證明對(duì)階數(shù)對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結(jié)論成立結(jié)論成立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?nnDD 得得展展開開按按最最后后一一行行現(xiàn)現(xiàn)將將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數(shù)數(shù)等等于于下下證證對(duì)對(duì)的的