第2章桿件結(jié)構(gòu)有限單元法

1、廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE2.1 2.1 結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)離散2.2 2.2 單元的剛度矩陣單元的剛度矩陣2.3 2.3 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換2.4 2.4 結(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程2.5 2.5 支座約束處理支座約束處理2.6 2.6 剛度方程求解及內(nèi)力計(jì)算剛度方程求解及內(nèi)力計(jì)算例例1. 1. 桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例例例2. 2. 剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例 第第2 2章章 桿件結(jié)構(gòu)分

2、析的有限單元法桿件結(jié)構(gòu)分析的有限單元法廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE2.1 2.1 結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)離散n離散化要點(diǎn)：離散化要點(diǎn)：n桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、自由端、集中載荷作用桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、自由端、集中載荷作用點(diǎn)、支承點(diǎn)以及沿桿長截面突變處等均可設(shè)置成點(diǎn)、支承點(diǎn)以及沿桿長截面突變處等均可設(shè)置成結(jié)點(diǎn)。結(jié)構(gòu)中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間的每一個(gè)等截面直桿可結(jié)點(diǎn)。結(jié)構(gòu)中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間的每一個(gè)等截面直桿可以設(shè)置為一個(gè)單元。以設(shè)

3、置為一個(gè)單元。n變截面桿件可分段處理成多個(gè)單元，仍按等截面變截面桿件可分段處理成多個(gè)單元，仍按等截面桿單元計(jì)算，截面剛度取自各段中點(diǎn)處截面。桿單元計(jì)算，截面剛度取自各段中點(diǎn)處截面。n對曲桿結(jié)構(gòu)，可細(xì)分，用兩點(diǎn)之間的直線代替曲對曲桿結(jié)構(gòu)，可細(xì)分，用兩點(diǎn)之間的直線代替曲線。線。 n在有限元法計(jì)算中，載荷作用到結(jié)點(diǎn)上。當(dāng)結(jié)構(gòu)在有限元法計(jì)算中，載荷作用到結(jié)點(diǎn)上。當(dāng)結(jié)構(gòu)有非結(jié)點(diǎn)載荷作用時(shí)，應(yīng)該按照靜力等效的原則有非結(jié)點(diǎn)載荷作用時(shí)，應(yīng)該按照靜力等效的原則將其變換為等效結(jié)點(diǎn)載荷。將其變換為等效結(jié)點(diǎn)載荷。n建立單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系。建立單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系。廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑

4、工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE桿系結(jié)構(gòu)離散化示意圖桿系結(jié)構(gòu)離散化示意圖 2.1 2.1 結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)離散xyxy廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE 2.1 2.1 結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)離散n符號規(guī)定：符號規(guī)定：n線位移及相應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正；轉(zhuǎn)線位

5、移及相應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正；轉(zhuǎn)角位移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若角位移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標(biāo)軸正向相一致時(shí)為正。與坐標(biāo)軸正向相一致時(shí)為正。n基本未知量：基本未知量：n鏈桿單元，平面每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)線位移，空間每鏈桿單元，平面每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)線位移，空間每個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)3個(gè)線位移個(gè)線位移n梁單元，平面每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)線位移和一個(gè)轉(zhuǎn)角梁單元，平面每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)線位移和一個(gè)轉(zhuǎn)角位移，空間每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移，空間每個(gè)節(jié)點(diǎn)3個(gè)線位移和三個(gè)轉(zhuǎn)角位移個(gè)線位移和三個(gè)轉(zhuǎn)角位移n節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移要一一對應(yīng)節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移要一一對應(yīng)廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIV

6、IL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE 平面剛架的梁單元平面剛架的梁單元e e： Teiiiijjjjuvuv 平面桁架的鏈桿單元平面桁架的鏈桿單元e e： eTeixiyiixjyjjejFFFFMFFMF Teiiijjjuvuv eTeixiyixjyjejFFFFFFF2.1 2.1 結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)離散廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL EN

7、GINEERING AND ARCHITECTURE6v單元?jiǎng)偠确匠谭从硢卧墓?jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之單元?jiǎng)偠确匠谭从硢卧墓?jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系間的關(guān)系; ;v單元?jiǎng)偠染仃嚳筛鶕?jù)剛度系數(shù)的物理意義，由單元?jiǎng)偠染仃嚳筛鶕?jù)剛度系數(shù)的物理意義，由力和變形之間的關(guān)系確定。力和變形之間的關(guān)系確定。v單元?jiǎng)偠染仃囈部梢杂晌灰坪瘮?shù)和虛功原理或單元?jiǎng)偠染仃囈部梢杂晌灰坪瘮?shù)和虛功原理或最小勢能原理計(jì)算。（具有一般性）最小勢能原理計(jì)算。（具有一般性）2.2 2.2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?返回廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARC

8、HITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE7單元?jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ㄒ唬﹩卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ㄒ唬?對于一般平面剛架梁單元，單元?jiǎng)偠确匠蹋簩τ谝话闫矫鎰偧芰簡卧?，單元?jiǎng)偠确匠蹋?()()(eeeK KF Fn單元的剛度方程：描述單元的結(jié)點(diǎn)位移單元的剛度方程：描述單元的結(jié)點(diǎn)位移(e)與結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)力F (e)之間的關(guān)系之間的關(guān)系. 結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)位移iuivijujvjij結(jié)點(diǎn)力結(jié)點(diǎn)力xiFyiFiMyjFjMxjFijl 對于兩結(jié)點(diǎn)平面梁單元：對于兩結(jié)點(diǎn)平面梁單元：Tjjjiiievuvu)(TjyjxjiyixieMFFMFF)(F單元的

9、剛度矩陣單元的剛度矩陣K(e)為為6*6的方陣的方陣對于平面桁架的鏈桿單元，對于平面桁架的鏈桿單元，K(e)為為4*4的方陣。的方陣。廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE8平面剛架兩結(jié)點(diǎn)梁單元的剛度方程平面剛架兩結(jié)點(diǎn)梁單元的剛度方程 n根據(jù)單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義根據(jù)單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義, ,由梁單元受力和變形及等截由梁單元受力和變形及等截面直桿的剛度方程可以給出。面直桿的剛度方程可以給出。 )()()(

10、eeeK KF F* 注意：所有力與位移的正負(fù)號均決定于坐標(biāo)系方向。注意：所有力與位移的正負(fù)號均決定于坐標(biāo)系方向。平面剛架兩節(jié)點(diǎn)梁單元：平面剛架兩節(jié)點(diǎn)梁單元：iiijjjuvuv xiyiixjyjjFFMFFM111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkF(e)K(e)第第i列元素的物理意義列元素的物理意義: 代表代表ui=1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)引單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)引起的六個(gè)桿端力大小。起的六個(gè)桿端力大小。第第krs元素的物

11、理意義元素的物理意義: 代表代表us=1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)引單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)引起的第起的第r個(gè)桿端力個(gè)桿端力Fr大小。大小。(e)lEAlEA0000ui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 xiFyiFiMxjFyjFjMui=1llEA1iulEAxy平面梁單元的平面梁單元的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噯为?dú)作用下單獨(dú)作用下返回00312lEI312lEI26EIl26EIlui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 平面梁單元的平面梁單元的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噚iFyiFiMxjFyjFjMvi=1l312lEI312lEI26lEIx26lEIy1jvlE

12、AlEA0000單獨(dú)作用下單獨(dú)作用下返回0026 E Il26 E IllEI4lEI2ui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 xiFyiFiMxjFyjFjMl26lEI26lEIlEI4xlEI2y1ilEAlEA000000312lEI312lEI26lEI26lEI平面梁單元的平面梁單元的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噯为?dú)作用下單獨(dú)作用下返回1i0000lEAlEAui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 xiFyiFiMxjFyjFjMuj=1llEA1julEAxylEAlEA000000312lEI312lEI26lEI26lEI0026lEI26lE

13、IlEI4lEI2平面梁單元的平面梁單元的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噯为?dú)作用下單獨(dú)作用下返回00312lEI312lEI26EIl26EIlui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 xiFyiFiMxjFyjFjMvj=1l1jv312lEI312lEI26lEIx26lEIylEAlEA000000312lEI312lEI26lEI26lEI0026lEI26lEIlEI4lEI20000lEAlEA平面梁單元的平面梁單元的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噯为?dú)作用下單獨(dú)作用下返回ui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 xiFyiFiMxjFyjFjMl26lEI26l

14、EIlEI2xlEI4y1j0026EIl26EIllEI4lEI200312lEI312lEI26EIl26EIllEAlEA000000312lEI312lEI26EIl26EIl0026 E Il26 E IllEI4lEI20000lEAlEA平面梁單元的平面梁單元的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噯为?dú)作用下單獨(dú)作用下1j廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE15平面一般梁單元的單元?jiǎng)偠确匠虨槠矫嬉话懔簡卧?/p>

15、的單元?jiǎng)偠确匠虨? : 323222323222000012612600646200000012612600626400 xiiyiiiixjjyjjjjEAEAllEIEIEIEIFullllFvEIEIEIEIMllllFuEAEAllFvEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllll桿端力桿端力向量向量 F (e)單元桿端位移單元桿端位移向量向量(e)單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嘖(e)廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND

16、ARCHITECTURE16梁單元的單元?jiǎng)偠染仃嚍榱簡卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚍? : n單元?jiǎng)偠染仃嚦Ｓ米訅K形式表示單元?jiǎng)偠染仃嚦Ｓ米訅K形式表示: : 323222( )323222000012612600646200K000012612600626400eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll)()()()()(ejjejieijeiieK KK KK KK KK Kn其中每個(gè)都是其中每個(gè)都是33的方陣，子塊的方陣，子塊 Kij(e) 表示桿端表示桿端j 作用一單作用一單位位移時(shí)位位移時(shí), 桿桿i 端引起的桿端力。端

17、引起的桿端力。返回廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE17平面桁架鏈桿單元平面桁架鏈桿單元 n平面桁架單元只有軸向變形平面桁架單元只有軸向變形, 桿端力只有軸力；桿端力只有軸力； 0iyjyFFFFxiyixjyjFFFFlEAKe0000010100000101)(矩陣表示：矩陣表示： 1:,1:,ixixjjxixjEAEAuFFllEAEAuFFll iijjuvuv000000000000EAEA

18、llEAEAll返回( )Teiijjuvuv( )FTexiyixjyjFFFF廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE1 1） 單元位移函數(shù)選用準(zhǔn)則單元位移函數(shù)選用準(zhǔn)則a)a) 單元位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度數(shù)，單元位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度數(shù)，它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。b)b) 位移函數(shù)中包含單元的剛體位移和常應(yīng)變狀態(tài)。位移函數(shù)中包含單元的剛

19、體位移和常應(yīng)變狀態(tài)。c)c) 單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰單單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰單元之間的位移協(xié)調(diào)性。元之間的位移協(xié)調(diào)性。單元?jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ﹩卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ?根據(jù)結(jié)構(gòu)分析類型選取單元類型和位移場，根據(jù)單元類根據(jù)結(jié)構(gòu)分析類型選取單元類型和位移場，根據(jù)單元類型采用對應(yīng)的單元位移模式，位移函數(shù)能反映真實(shí)結(jié)構(gòu)型采用對應(yīng)的單元位移模式，位移函數(shù)能反映真實(shí)結(jié)構(gòu)的位移分布規(guī)律，保證計(jì)算精度及解的收斂性。的位移分布規(guī)律，保證計(jì)算精度及解的收斂性。選用的單元位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下列要求選用的單元位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下列要求: 廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院

20、COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE形函數(shù)在其對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的值為形函數(shù)在其對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的值為1，在其他節(jié)點(diǎn)的值為，在其他節(jié)點(diǎn)的值為0。0,;,;ijxuuxluu12,jiiuuul( )(1)ijiuijujxxu xuNN ull1,iujuxxNNll (0)1,()0;(0)0,()1iuiujujuNxNxlNxNxl2 2）軸向拉壓桿（鏈桿）單元的位移的函數(shù)）軸向拉壓桿（鏈桿）單元的位移的函數(shù) 12( )u xx 由單元結(jié)點(diǎn)位移，代入位移函數(shù)中確定

21、待定系數(shù)項(xiàng)：由單元結(jié)點(diǎn)位移，代入位移函數(shù)中確定待定系數(shù)項(xiàng)：軸向位移形函數(shù)：軸向位移形函數(shù)：軸向位移形函數(shù)：軸向位移形函數(shù)：單元?jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ﹩卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ?廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE梁單元撓度函數(shù)：梁單元撓度函數(shù)： ,iijjvv342321)(xxxxv123243231221iiijijijijvvvllvvll3 3） 梁單元平面彎曲的位移函數(shù)梁單元平面彎曲的位移函數(shù) 梁單元平

22、面彎曲包括四個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量：梁單元平面彎曲包括四個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量：0,;,;iijjdvdvxvvxlvvdxdx 由單元結(jié)點(diǎn)位移，代入位移函數(shù)中確定待定系數(shù)項(xiàng)：由單元結(jié)點(diǎn)位移，代入位移函數(shù)中確定待定系數(shù)項(xiàng)：單元?jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ﹩卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ?廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE2323232232323232211,3211,ivijvjNxxNxxxllllNxxNxxllll ( )ivii

23、ijvjjjv xN vNN vN 000000eiujuivijvjNNuNNNNv eNu稱為形函數(shù)矩陣。稱為形函數(shù)矩陣。 N梁單元撓度函數(shù)：梁單元撓度函數(shù)： 梁單元位移模式：梁單元位移模式： 3 3） 梁單元平面彎曲的位移函數(shù)梁單元平面彎曲的位移函數(shù) 單元?jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ﹩卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ?廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE4 4）平面剛架梁單元的應(yīng)力應(yīng)變）平面剛架梁單元的應(yīng)力應(yīng)變 平面剛架

24、梁單元內(nèi)任一點(diǎn)的軸向線應(yīng)變由兩部分平面剛架梁單元內(nèi)任一點(diǎn)的軸向線應(yīng)變由兩部分組成。組成。lxdudx22bxd vydx 22lbxxxdud vydxdx exB則則 232232161246161226, ,Byxyxyxyxllllllllll B 平面剛架梁單元的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣。 exxBEE軸向應(yīng)變：軸向應(yīng)變：彎曲應(yīng)變：彎曲應(yīng)變：平面剛架梁單元應(yīng)變：平面剛架梁單元應(yīng)變： 單元?jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ﹩卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ?廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL

25、ENGINEERING AND ARCHITECTURE5 5）平面剛架梁單元的剛度矩陣）平面剛架梁單元的剛度矩陣 梁單元的梁單元的i i，j j結(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移為結(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移為 T*eiiijjjuvuv單元內(nèi)相應(yīng)的虛應(yīng)變應(yīng)為：單元內(nèi)相應(yīng)的虛應(yīng)變應(yīng)為： exB*由虛功原理有由虛功原理有 TT*eexxvFdxdydz TT*eevB E B dxdydz由于結(jié)點(diǎn)虛位移由于結(jié)點(diǎn)虛位移 的任意性，可得到單元的剛度方程：的任意性，可得到單元的剛度方程： e TeeeevFB E B dxdydzk單元的剛度矩陣：單元的剛度矩陣： dxdydzBEBkveT單元?jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ﹩卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ?/p>

26、） 廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE 橫截面積橫截面積 ： 橫截面對主慣性軸橫截面對主慣性軸z的慣性矩：的慣性矩： 通過積分同樣可以得到平面剛架梁單元的剛度矩陣：通過積分同樣可以得到平面剛架梁單元的剛度矩陣： AdydzAAdydzyI2 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkkkkkejjejieijeiie4602

27、60612061200000260460612061200000222323222323平面剛架梁單元?jiǎng)偠染仃嚻矫鎰偧芰簡卧獎(jiǎng)偠染仃噺V西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE25y0 xo1o2o3o41234xyxxxyyyn在整體分析時(shí)，要在結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)下進(jìn)行桿端力（結(jié)點(diǎn)在整體分析時(shí)，要在結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)下進(jìn)行桿端力（結(jié)點(diǎn)力）的疊加力）的疊加;n通過坐標(biāo)變換使所有單元的桿端力和桿端位移都變換到通過坐標(biāo)變換使所有

28、單元的桿端力和桿端位移都變換到結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)下。結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)下。n在進(jìn)行單元分析時(shí)，使用的是單在進(jìn)行單元分析時(shí)，使用的是單元坐標(biāo)系，各單元桿端力和桿端元坐標(biāo)系，各單元桿端力和桿端位移的排列順序和符號要參照單位移的排列順序和符號要參照單元坐標(biāo)系。元坐標(biāo)系。n力和位移均為矢量，方向不同不力和位移均為矢量，方向不同不能代數(shù)相加。能代數(shù)相加。2.3 2.3 桿件單元的坐標(biāo)變換桿件單元的坐標(biāo)變換返回 設(shè)兩個(gè)坐標(biāo)系之間的夾角為設(shè)兩個(gè)坐標(biāo)系之間的夾角為，以整體到單元坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)向，以整體到單元坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)向與與x到到y(tǒng)軸的轉(zhuǎn)向一致為正。軸的轉(zhuǎn)向一致為正。廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEG

29、E OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE26eeeFT Fn桿端力變換：桿端力變換：eeeTn桿端位移變換：桿端位移變換：e0T0n平面鏈桿單元平面鏈桿單元:平面桿件單元的坐標(biāo)變換平面桿件單元的坐標(biāo)變換1eTeTT為正交矩陣為正交矩陣:cossinsincos返回n單元坐標(biāo)變換矩陣：單元坐標(biāo)變換矩陣：n平面梁單元平面梁單元:cossin0sincos0001 )()()()(eeTeeT TK KT TK Kn 整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃嚕赫w坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

30、廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE2.4 2.4 結(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程v主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：231返回結(jié)構(gòu)的剛度方程結(jié)構(gòu)的剛度方程結(jié)構(gòu)剛度矩陣的裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣的裝配結(jié)構(gòu)的荷載向量結(jié)構(gòu)的荷載向量廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND AR

31、CHITECTUREn結(jié)點(diǎn)位移向量結(jié)點(diǎn)位移向量 ：所有結(jié)點(diǎn)的位移按順序排成一列；剛架：所有結(jié)點(diǎn)的位移按順序排成一列；剛架每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有3 3個(gè)位移，桁架每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有個(gè)位移，桁架每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有2 2個(gè)位移。個(gè)位移。n結(jié)點(diǎn)力向量結(jié)點(diǎn)力向量P : P : 作用在結(jié)點(diǎn)上的力按結(jié)點(diǎn)位移的順序排成作用在結(jié)點(diǎn)上的力按結(jié)點(diǎn)位移的順序排成一列一列; ; 單元內(nèi)部的荷載等效到節(jié)點(diǎn)上。單元內(nèi)部的荷載等效到節(jié)點(diǎn)上。返回n結(jié)構(gòu)剛度方程：反映結(jié)點(diǎn)力向量結(jié)構(gòu)剛度方程：反映結(jié)點(diǎn)力向量P與結(jié)點(diǎn)位移向量與結(jié)點(diǎn)位移向量之間的之間的關(guān)系，即關(guān)系，即 ：n K=PvK 為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣，且為對稱方陣。由個(gè)單元?jiǎng)倿榻Y(jié)構(gòu)的總剛度

32、矩陣，且為對稱方陣。由個(gè)單元?jiǎng)偠染仃囇b配疊加而成。度矩陣裝配疊加而成。v結(jié)點(diǎn)力向量結(jié)點(diǎn)力向量P與結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)位移一一對應(yīng)，也按結(jié)點(diǎn)位移的一一對應(yīng)，也按結(jié)點(diǎn)位移的順序排列；順序排列；v以上所有的量都要用整體坐標(biāo)表示。以上所有的量都要用整體坐標(biāo)表示。)(eKK結(jié)構(gòu)的剛度方程結(jié)構(gòu)的剛度方程廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE29yixjyx( g )( h ) 具體做法：把整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚫鶕?jù)結(jié)點(diǎn)編碼

33、把具體做法：把整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚫鶕?jù)結(jié)點(diǎn)編碼把各子塊送到總剛度矩陣各子塊送到總剛度矩陣K對應(yīng)的位置中去。裝配過程：對應(yīng)的位置中去。裝配過程：“子塊搬家，對號入座子塊搬家，對號入座”。 整體坐標(biāo)下單元?jiǎng)偠染仃嚕赫w坐標(biāo)下單元?jiǎng)偠染仃嚕簀jjiijiiKKKKeK)(v如果如果i, j 對應(yīng)的結(jié)點(diǎn)編號為對應(yīng)的結(jié)點(diǎn)編號為g,h，則單，則單元?jiǎng)偠染仃嚨母髯訅K在總剛中的位元?jiǎng)偠染仃嚨母髯訅K在總剛中的位置分別為：置分別為：)(eggK)(eghK)(ehgK)(ehhK)(eiiK)(eijK)(ejiK)(ejjK結(jié)構(gòu)剛度矩陣的裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣的裝配1 2 3 g h n123ghn)(eiiK)

34、(eijK)(ejiK)(ejjK總總剛剛度度矩矩陣陣的的集集成成子塊列子塊行 每個(gè)單元的剛度矩陣都經(jīng)過如上擴(kuò)展和對號入座后，總剛度每個(gè)單元的剛度矩陣都經(jīng)過如上擴(kuò)展和對號入座后，總剛度矩陣的各個(gè)子塊經(jīng)過簡單的疊加即可得到最終的總剛度矩陣。矩陣的各個(gè)子塊經(jīng)過簡單的疊加即可得到最終的總剛度矩陣?！白幼訅K塊搬搬家，家，對對號號入入座座”如：圖示平面剛架的總剛度矩陣的集成如：圖示平面剛架的總剛度矩陣的集成n各單元結(jié)點(diǎn)編各單元結(jié)點(diǎn)編碼如圖。碼如圖。n用矩陣記為：用矩陣記為：6564434221Gn如果求出各單元整如果求出各單元整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)傮w坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚕憾染仃嚕簀jjiijiiKKKKeK

35、)(1 2 3 4 5 6123456n根據(jù)結(jié)點(diǎn)編號把各根據(jù)結(jié)點(diǎn)編號把各單元的子塊搬入總單元的子塊搬入總剛剛K中的對應(yīng)位置。中的對應(yīng)位置。 同一位置各子塊的同一位置各子塊的對應(yīng)元素相加；空對應(yīng)元素相加；空位補(bǔ)位補(bǔ)0。)1 (iiK) 1 (ijK) 1 (jiK) 1 (jjK(2)iiK) 3(ijK) 2(jiK) 2(jjK) 3(iiK) 2(ijK) 3(jiK(3)jjK(4)iiK) 4(ijK) 4(jiK) 4(jjK) 5 (iiK) 5 (ijK) 5 (jiK(5)jjKK00000000000000000000n如果修改各單元結(jié)如果修改各單元結(jié)點(diǎn)編號。則用矩陣：點(diǎn)編號

36、。則用矩陣：6564434221G1 2 3 4 5 6123456n對角線下方劃紅對角線下方劃紅色的元素需要存色的元素需要存儲。儲。 )1 (iiK) 1 (ijK) 1 (jiK) 1 (jjK(2)iiK) 3(ijK) 2(jiK(2)jjK) 3(iiK) 2(ijK) 3(jiK) 3(jjK(4)iiK) 4(ijK) 4(jiK) 4(jjK) 5 (iiK) 5 (ijK) 5 (jiK(5)jjKK00000000000000000000v 單元的子塊搬入單元的子塊搬入總剛度矩陣中的總剛度矩陣中的位置，完全取決位置，完全取決于結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)編碼。于結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)編碼。對同一結(jié)構(gòu)，如對同

37、一結(jié)構(gòu)，如果改變了結(jié)點(diǎn)的果改變了結(jié)點(diǎn)的編碼，則總剛度編碼，則總剛度矩陣完全不同。矩陣完全不同。 廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE33總剛度矩陣的特點(diǎn)總剛度矩陣的特點(diǎn) 總剛度矩陣是一個(gè)對稱矩陣；處于主對角線對稱位置的兩總剛度矩陣是一個(gè)對稱矩陣；處于主對角線對稱位置的兩個(gè)元素是相等的，即個(gè)元素是相等的，即kij=kji 。 總剛度矩陣是一個(gè)稀疏的矩陣；大片的區(qū)域都是零元素，總剛度矩陣是一個(gè)稀疏的矩陣；大片

38、的區(qū)域都是零元素，它的非零元素只分布在主對角線兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi)。它的非零元素只分布在主對角線兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi)。最大半帶寬最大半帶寬d =（c+1)*m; 其中：其中： c各單元兩端結(jié)點(diǎn)編號差的最大值；各單元兩端結(jié)點(diǎn)編號差的最大值； m每個(gè)結(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)；每個(gè)結(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)； 不相關(guān)結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的剛度子塊均為不相關(guān)結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的剛度子塊均為0。 總剛度矩陣是一個(gè)奇異矩陣；當(dāng)沒有引進(jìn)支座約束條件的總剛度矩陣是一個(gè)奇異矩陣；當(dāng)沒有引進(jìn)支座約束條件的情況下，總剛度矩陣不存在逆矩陣。情況下，總剛度矩陣不存在逆矩陣。 返回u判斷圖示結(jié)構(gòu)總剛矩陣的最大半帶寬。判斷圖示結(jié)構(gòu)總剛矩陣的最大半帶寬。d=(3+1)*3=1

39、234d=(6+1)*3=21n總剛矩陣中元素的排列與結(jié)點(diǎn)的順序直接相關(guān)?？倓偩仃囍性氐呐帕信c結(jié)點(diǎn)的順序直接相關(guān)。d=(7+1)*2=16返回最大相關(guān)最大相關(guān)結(jié)點(diǎn)差結(jié)點(diǎn)差3 3最大相關(guān)最大相關(guān)結(jié)點(diǎn)差結(jié)點(diǎn)差6 6最大相關(guān)最大相關(guān)結(jié)點(diǎn)差結(jié)點(diǎn)差7 7廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE35結(jié)構(gòu)荷載向量結(jié)構(gòu)荷載向量n不考慮約束反力，只由外荷載引起的結(jié)點(diǎn)力排成的向量則不考慮約束反力，只由外荷載引起的結(jié)點(diǎn)力排成的向

40、量則稱為荷載向量。稱為荷載向量。n 如圖如圖1 1，結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量，結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量: : 11331520TxyxyPPPPP結(jié)構(gòu)的荷載向量結(jié)構(gòu)的荷載向量:v荷載向量荷載向量P 的構(gòu)成：的構(gòu)成：v直接結(jié)點(diǎn)荷載直接結(jié)點(diǎn)荷載Pd v等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載PE：單元內(nèi)的非結(jié)點(diǎn)荷載（如分布荷載，溫：單元內(nèi)的非結(jié)點(diǎn)荷載（如分布荷載，溫荷載，慣性力等）等效移置到結(jié)點(diǎn)上得到的。荷載，慣性力等）等效移置到結(jié)點(diǎn)上得到的。 00152000TPh/2h/2PlQq1234qql12112ql2ql12ql1212 等效移置的方法等效移置的方法: 首先求出基本結(jié)構(gòu)在非首先求出基本結(jié)構(gòu)在非結(jié)點(diǎn)荷載作用下引起的固

41、端力。最后將結(jié)點(diǎn)荷載作用下引起的固端力。最后將各固端力反向作用到結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)上去，各固端力反向作用到結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)上去，即為該結(jié)點(diǎn)的等效結(jié)點(diǎn)荷載。即為該結(jié)點(diǎn)的等效結(jié)點(diǎn)荷載。18P211P2ph21qlql12ql122181ph1221ql1234 220,0,0002822128212TqlqlqlqlPPlPPlPQ220, 0, 0 0 02822128212TEqlqlqlqlPPlPPlP等效結(jié)點(diǎn)荷載向量等效結(jié)點(diǎn)荷載向量:phPph18P21P1281EdPPP荷載向量荷載向量:2312荷載等效圖荷載等效圖基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu): :兩端固定梁兩端固定梁返回例例4 4：計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的荷載向量。：

42、計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的荷載向量。 返回6m6m120KN3m3m653421150KN20 KN/m15 KN/m1210 KN15 KN20 KN5 KN15 KN10 KN2 m34562 m2 m( b )( a )3 m6 m6 m3 m4 i3 i3 i150 KN20 KN/m( c )EI = 4EI = 4EI = 630 KN/m120 KN-m3 m4 m2 m( d ) 0 0 0, 15060 60,0 0 0,010515,60 090,6045 45TP 荷載等效圖荷載等效圖 24 0 16,2488,0 0 0,088,24 016,4 0 16TP 荷載等效圖荷載等效圖

43、 廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE382.5 2.5 支座約束處理支座約束處理l在形成結(jié)構(gòu)剛度方程時(shí)沒有考慮支座等約束條件在形成結(jié)構(gòu)剛度方程時(shí)沒有考慮支座等約束條件; ; l總剛度矩陣是一個(gè)奇異矩陣；總剛度矩陣是一個(gè)奇異矩陣；l剛度方程剛度方程 P=K P=K 沒有唯一解，方程中包含任意大小的沒有唯一解，方程中包含任意大小的剛體位移。剛體位移。l必須引進(jìn)約束條件，消除剛體位移，才能得到唯一解。必須引進(jìn)

44、約束條件，消除剛體位移，才能得到唯一解。0531支座條件引進(jìn)的目的就是使：支座條件引進(jìn)的目的就是使：約束結(jié)點(diǎn)，位移已知約束結(jié)點(diǎn)，位移已知0, 約束反力未知。約束反力未知。 自由結(jié)點(diǎn)，荷載已自由結(jié)點(diǎn)，荷載已知知, 位移是未知量。位移是未知量。結(jié)構(gòu)剛度方程：K11(1)K12(1)0000K21(1)K22(1)+K22(2)0K24(4)0000K33(3)K34(2)0000K43(2)K44(2)+ K44(3) +K44(4)0K46(4)0K52(4)00K55(5)K56(5)000K64(4)K65(5)K66(4)+ K66(5)12345678910111213141516171

45、8P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18 對總剛度方程對總剛度方程 P=K初初等變換等變換- 行列交換行列交換K11(1)00K12(1)000K33(3)00K34(2)000K55(5)K52(4)0K56(5)K21(1)00K22(1)+K22(2)K24(4)00K43(2)00K44(2)+ K44(3) +K44(4)K46(4)00K65(5)0K64(4)K66(4)+ K66(5)123789131415456101112161718P1P2P3P7P8P9P13P14P15P4P5P6P10P11P12P16P17P18

46、Px 未知支座反力未知支座反力P1 已知節(jié)點(diǎn)已知節(jié)點(diǎn)荷載荷載1支座已知支座已知0位移位移x求解的未知量求解的未知量Kx1KxxK11K1x1111111xxxxxxxKKPKKP 把初等變換后的總剛度方程把初等變換后的總剛度方程 K = P可寫成可寫成將方程式展開得將方程式展開得:已知節(jié)點(diǎn)力已知節(jié)點(diǎn)力（節(jié)點(diǎn)荷載）（節(jié)點(diǎn)荷載）未知節(jié)點(diǎn)力未知節(jié)點(diǎn)力（支座反力）（支座反力） 未知節(jié)點(diǎn)位移未知節(jié)點(diǎn)位移求解的未知量求解的未知量已知節(jié)點(diǎn)位移已知節(jié)點(diǎn)位移（支座（支座0位移位移)0111xxxxxxKPKP 求解未知節(jié)點(diǎn)位移求解未知節(jié)點(diǎn)位移x計(jì)算未知約束反力計(jì)算未知約束反力Px對于剛性支座：對于剛性支座：11

47、1111xxxxxxKKPKKP l 支座反力對位移的計(jì)算沒有影響，但位移決定支座反力。支座反力對位移的計(jì)算沒有影響，但位移決定支座反力。廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTUREn有限元法是面向計(jì)算機(jī)的方法，邊界處理不要改有限元法是面向計(jì)算機(jī)的方法，邊界處理不要改變剛度方程的階數(shù)，消除剛體位移且不影響自由變剛度方程的階數(shù)，消除剛體位移且不影響自由結(jié)點(diǎn)的位移。常用的處理方法有：結(jié)點(diǎn)的位移。常用的處理方法有：n1

48、. 1. 主元素置主元素置1 1法：要修正剛度矩陣和荷載向量；法：要修正剛度矩陣和荷載向量；n 作法：作法： 0 0位移對應(yīng)的剛度矩陣主元素置為位移對應(yīng)的剛度矩陣主元素置為1 1，相應(yīng)的副元素置相應(yīng)的副元素置0 0；荷載對應(yīng)項(xiàng)置為；荷載對應(yīng)項(xiàng)置為0 0。n2. 2. 主元素乘大數(shù)法：僅修正剛度矩陣；主元素乘大數(shù)法：僅修正剛度矩陣；n 作法：僅把作法：僅把0 0位移對應(yīng)的剛度矩陣主元素乘以位移對應(yīng)的剛度矩陣主元素乘以一大數(shù)（如一大數(shù)（如10301030）。）。返回支座約束條件的引進(jìn)支座約束條件的引進(jìn)廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEER

49、ING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTUREn主元素置主元素置1法法n若第若第i個(gè)自由度（位移）為個(gè)自由度（位移）為0，應(yīng)保證剛度方程解得，應(yīng)保證剛度方程解得 i=0。 n將總剛度矩陣將總剛度矩陣K中第中第i行的主元素（第行的主元素（第i行的主對角行的主對角線元素）改為線元素）改為1，即令，即令K（i，i）=1。n將第將第i行、行、i列的所有副元素都改為零。即令列的所有副元素都改為零。即令K（i，j）=0，K（j，i）=0 (ij)。n將荷載向量中的第將荷載向量中的第i元素置為零，即令元素置為零，即令 Pi=

50、0。 n經(jīng)過這三步改動(dòng)后，便可實(shí)現(xiàn)經(jīng)過這三步改動(dòng)后，便可實(shí)現(xiàn)i=0。 njjijiKP1), (0), (1njjjiK0),(iiiK0i第第3 3步步第第2 2步步第第1 1步步第第i行方程行方程支座約束條件的引進(jìn)支座約束條件的引進(jìn)K15jiKjjjj111041661817135151412K(4)ji(4)Kii5283976214311413121110987654321(2)KiiK(1)jjijKKK(2)(3)(2)12345ij(4)KjjKjj(5)(4)1817166Kii(1)Kij(1)(1)Kii(3)(3)(3)KjiKijKji(2)Kii(5)KjiKij(5

51、)(5)K15ji(2)Kjjjj111041661817135151412K(4)ji(4)Kii11152839762143114131211109876543211(2)Kii1K111(1)jjijKKK1(2)(3)(2)12345ij(4)KjjKjj(5)(4)1817166123456789101112131415161718主元素置主元素置1法引進(jìn)支座條件：法引進(jìn)支座條件： P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18000P4P5P6000P10P11P12000P16P17P18根據(jù)根據(jù)0位移修改剛度矩陣；位移修改剛度矩陣；根

52、據(jù)根據(jù)0位移修改荷載向量。位移修改荷載向量。Kjj(3)15ij(2)KjjK111041661817135151412K(4)jiji(2)ii(2)KKjjKKKii(4)(2)5283976214311413121110987654321111111111(1)12345jjKjj(5)(4)K(4)ij1817166(1)(2)(3)(4)(5)123456789101112131415161718000000000P10P11P12P13P14P15P16P17P18如改變單元結(jié)點(diǎn)的編號；如圖如改變單元結(jié)點(diǎn)的編號；如圖引入邊界條件后的總剛方程為：引入邊界條件后的總剛方程為：主元素置主

53、元素置1法引進(jìn)支座條件：法引進(jìn)支座條件： 909060456060604545645606013245返回廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTUREn形成了荷載向量形成了荷載向量P，集成了總剛度矩陣，集成了總剛度矩陣K并且引進(jìn)支座條并且引進(jìn)支座條件后，便可由剛度方程件后，便可由剛度方程K = P求解結(jié)點(diǎn)位移。這就轉(zhuǎn)求解結(jié)點(diǎn)位移。這就轉(zhuǎn)化為求解大型線性代數(shù)方程組問題。化為求解大型線性代數(shù)方程組問題。n線性代數(shù)方程

54、式組的解法：直接法和迭代法。線性代數(shù)方程式組的解法：直接法和迭代法。n直接解法：如高斯消去法，及其派生的直接解法：如高斯消去法，及其派生的LU、LDLT三角分三角分解法。解法。n迭代法：塞德爾迭代法。迭代法：塞德爾迭代法。 2.6 2.6 剛度方程求解及內(nèi)力計(jì)算剛度方程求解及內(nèi)力計(jì)算一、剛度方程求解一、剛度方程求解返回廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE47n首先從整體的結(jié)點(diǎn)位移向量中取出該單元的結(jié)點(diǎn)位移

55、。首先從整體的結(jié)點(diǎn)位移向量中取出該單元的結(jié)點(diǎn)位移。n設(shè)單元設(shè)單元e左右兩端的結(jié)點(diǎn)編號分別為左右兩端的結(jié)點(diǎn)編號分別為m和和n，則該單元的整，則該單元的整體坐標(biāo)表示的結(jié)點(diǎn)位移向量體坐標(biāo)表示的結(jié)點(diǎn)位移向量 為：為：Tnnnmmme3132331323)()()()(eeeT)()()(eeeKF)(e)(en然后將然后將 進(jìn)行坐標(biāo)變換，換成用單元坐標(biāo)表示進(jìn)行坐標(biāo)變換，換成用單元坐標(biāo)表示 。)(en最后代入單元?jiǎng)偠确匠套詈蟠雴卧獎(jiǎng)偠确匠? 便可求各單元的桿端力便可求各單元的桿端力 )(eFn如果單元上還作用非結(jié)點(diǎn)荷載，則需要疊加由非結(jié)點(diǎn)荷載如果單元上還作用非結(jié)點(diǎn)荷載，則需要疊加由非結(jié)點(diǎn)荷載引起的固端

56、內(nèi)力，得到真正的桿端力：引起的固端內(nèi)力，得到真正的桿端力： 二、單元桿端內(nèi)力計(jì)算二、單元桿端內(nèi)力計(jì)算返回( )( )( )( )eeeegFKF例例1. 用有限單元法計(jì)算圖示桁架內(nèi)力。用有限單元法計(jì)算圖示桁架內(nèi)力。EA=常量。常量。 1. 結(jié)構(gòu)離散如圖所示結(jié)構(gòu)離散如圖所示2. 單元坐標(biāo)描述的各單元?jiǎng)偠染仃噯卧鴺?biāo)描述的各單元?jiǎng)偠染仃嚱Y(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：1 1（0,10,1），），2 2（1.732,11.732,1）， 3 3（0,00,0）；）；單元結(jié)點(diǎn)：單元結(jié)點(diǎn)：1 1（1,21,2）,2,2（3,23,2）(1)10100000101030000EAK20000010100000101)

57、2(EAK3. 整體坐標(biāo)描述的各單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)描述的各單元?jiǎng)偠染仃嘺=00(2)310022310022310022310022T(1)1000010000100001Ta=300(2)(2)(2)(2)33333131833333131TEA KTKTKTKT返回(1)(1)(1)(1)10100000101030000TEAKTKTKTKT4. 按結(jié)點(diǎn)編碼按結(jié)點(diǎn)編碼 裝配整體剛度矩陣裝配整體剛度矩陣 0000003333008888331100008888333388883311888811331133EAK K單剛坐標(biāo)變換：單剛坐標(biāo)變換：1 2 31 2 3001 23 21 23

58、 25. 結(jié)構(gòu)荷載向量結(jié)構(gòu)荷載向量6. 根據(jù)邊界位移條件修正結(jié)構(gòu)的剛度方程：根據(jù)邊界位移條件修正結(jié)構(gòu)的剛度方程： 00152000TkNP 112233Tuvuvuv0000003333008888331100008888333388881133113333118888EA112233uvuvuv0015200011330uvuv5. 結(jié)構(gòu)荷載向量結(jié)構(gòu)荷載向量6. 根據(jù)邊界位移條件修正結(jié)構(gòu)的剛度方程：根據(jù)邊界位移條件修正結(jié)構(gòu)的剛度方程： 00152000TkNP 112233Tuvuvuv112233uvuvuv0000152011330uvuv主元素置主元素置1 1法法1000000 100

59、0000000000000010000031388331880 1EA5. 結(jié)構(gòu)荷載向量結(jié)構(gòu)荷載向量6. 根據(jù)邊界位移條件修正結(jié)構(gòu)的剛度方程：根據(jù)邊界位移條件修正結(jié)構(gòu)的剛度方程： 00152000TkNP 112233Tuvuvuv112233uvuvuv0015200011330uvuv主元素乘大數(shù)法主元素乘大數(shù)法3030303010030003311330888833331100888833318883010103188810EA7. 求解結(jié)構(gòu)的剛度方程組得位移：求解結(jié)構(gòu)的剛度方程組得位移：(1)10085.98309TEA 10085.9830900TEA(2)10 0 85.98309

60、TEA (2)(2)(2)0.8660.50000.50.86600110.8660.585.9880.03309310.5800.50.866EAEAT T8. 各單元的桿端位移向量：各單元的桿端位移向量：整體坐標(biāo)下：整體坐標(biāo)下：轉(zhuǎn)換到單元坐標(biāo)下：轉(zhuǎn)換到單元坐標(biāo)下：(1)(1)(1)10000001000011.001085.9885.980001309309TEAEA9. 單元坐標(biāo)下各單元的桿端力向量：單元坐標(biāo)下各單元的桿端力向量：(1)(2)49.6440.01NNFkNFkN (1)(1)(1)1010049.640000001101085.9849.641.73200003090EA