1995考研數(shù)二真題及解析

1、1995年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、填空題(此題共5小題，每題3分,總分值15分.把答案填在題中橫線上.)1(1) 設 y cos(x2)sin2 ，貝U y .x(2) 微分方程yy2x的通解為 .x 1 t2曲線3 在t2處的切線方程為 .y t軻(丁J2 2 2 L 2 n ).nnn1nn2 nnn2二、選擇題(此題共5小題，每題3分，總分值15分.每題給出的四個選項中 合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.)，只有一項符(x)有間斷點設f (x)和(x)在(1)曲線y x2e x的漸近線方程為 .那么()(A)f(x)必有間斷點(B)2(x)必有間斷點(C)f

2、(x)必有間斷點(D)必有間斷點f(x)曲線y x(x 1)(2x)與x軸所圍圖形的面積可表示為()(A)20x(x 1)(2x)dx(B)1x(x 1)(20x)dx2x(x 1)(2 x)dx1(C)10x(x 1)(2x)dx21 x(x 1)(2 x)dx(D)20x(x 1)(2x)dx設f(x)在(,)內可導,且對任意x1, x2,當1X1X2 時,都有 f(X1)(A)對任意x, f (x：)0(B)對任意x, f ( x) 0(C)函數(shù)f( x)單調增加(D)函數(shù) f( x)單調增加)內有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f (x)0,f(X2)，那么()(4)設函數(shù) f(x)在0,

3、1上 f (x)0，那么 f (1) f (0)、f(1)f(0)或 f(0)f(1)的大小(A)f (1) f (0)f(1)f(0)(B)(C)f(1)f(0)f (1)f (0)(D)f (1)f(1) f(0)f (0)f (1)f(0)f(1) f (0)0處可導，那么必有 (A) f(0)0(B)f (0)(C) f (0) f (0)0(D)f(0)f (0) 0三、此題共6小題，每題5分,總分值30分.(1)求limx 01、cosxx(1 cos x)設函數(shù)yx由方程xefyey確定,其中f具有二階導數(shù)，且fdx2 .設 f (x22x1) ln 丁x2,且f (x) Inx

4、,求(x)dx.設 f (x)1xarcta np, xx0, x0,試討論fX在x0,0處的連續(xù)性.求擺線1 cost一拱0 t 2 的弧長.t si nt設單位質點在水平面內作直線運動，初速度vtVo,阻力與速度成正比比例常(5)設 f (x)可導,F(x) f (x)(1 |sin x|),假設使 F(x)在 x數(shù)為1,問t為多少時此質點的速度為/ ?并求到此時刻該質點所經(jīng)過的路程3四、此題總分值8分x2t求函數(shù)fx o 2 tetdt的最大值和最小值五、此題總分值8分設y ex是微分方程xy pxy x的一個解，求此微分方程滿足條件yxln2 0的特解 六、此題總分值8分如圖，設曲線L

5、的方程為y f(x),且y 0,又MT,MP分別為該曲線在點3y (x°),M (x0, y0)處的切線和法線,線段MP的長度為(1 %)(其中y0 yoyoy (xo),試推導出點P(,)的坐標表達式.七、(此題總分值8分)x sin t設 f (x) o dt,計算 o f (x)dx .八、(此題總分值8分)f (x)設 lim1,且 f (x)0 ,證明 f(x) x .x 0 x1995年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析一、填空題(此題共5小題，每題3分，總分值15分.)4 cos(x2) sin?(1)【答案】2xsin(x2) sin22xxx【解析】該函數(shù)是由

6、兩個復合函數(shù)的乘積構成，滿足復合函數(shù)求導法那么，22 122 1y cos(x ) sin cos(x ) sin - xxcos- ( 1)丄x x22 121sin(x2) 2x sin2cos(x2) 2sinx22xsin(x ).2 -sin xcos(x2) sin2x【相關知識點】復合函數(shù)求導法那么:(f (x)的導數(shù)為(f (X) f (x).(2)【答案】 y g cosx C2 sinx2x0的特征方程為r210 ,【解析】微分方程 y y2x對應的齊次方程y y特征根為 gi,故對應齊次方程的通解為 C1 cosx C2si nx.設非齊次方程的特解 Y ax b,那么Y

7、 a, Y0,代入微分方程y y 2x,得0 ax b 2x,比擬系數(shù)得a 2,b 0,故Y2x.所以通解為y C1 cos x C2 si nx 2x .【相關知識點】1.二階線性非齊次方程解的結構：設y*(x)是二階線性非齊次方程y P(x)y Q(x)y f (x)的一個特解 Y(x)是與之對應的齊次方程y P(x)y Q(x)y 0的通解，那么y Y(x) y*(x)是非齊次方程的通解.2.二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對于求解二階常系數(shù)線性齊次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即 y P(x)y Q(x)y 0中的P(x)、Q(x)均是常數(shù)，方程2變?yōu)閥 py qy 0

8、 .其特征方程寫為r pr q 0 ,在復數(shù)域內解出兩個特征根九鳥；分三種情況：(1)兩個不相等的實數(shù)根r1,r2,那么通解為yGeC2er2x;(2)兩個相等的實數(shù)根r1r2,那么通解為yC1C2x erx1;(3) 一對共軛復根r-i,2i ,那么通解為yxe Geos x C2 sin x .其中 Ci,C2為常數(shù)3.對于求解二階線性非齊次方程y P(x)y Q(x)y f (x)的一個特解y*(x),可用待定系數(shù)法，有結論如下：x如果f(x) Pm(x)e ,那么二階常系數(shù)線性非齊次方程具有形如*y (x)kx Qm(x)e的特解，其中Qm(x)是與Pm(x)相同次數(shù)的多項式，而k按

9、不是特征方程的根、是特征方 程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.x如果f(x) e R(x)cos x Pn(x)sin x,那么二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y p(x)y q(x)y f (x)的特解可設為yxke x Rm1(x)cos x Rxjsinx,其中Rm)(x)與瞪)(x)是m次多項式，m maxi, n ,而k按 i (或i )不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為0或1.【答案】y 3x 70【解析】切線的斜率為dy dxt 2dydtdxdt t 23t1 22t3.當t 2時，x 5, y 8 .故所求切線方程為y 83(x 5).化簡得 y 3x 70.

10、【相關知識點】參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法：如果x (；)，那么空(t)anan12n n 112n n nn2 n 2n-2n n nn2n n n所以annlim -n 212nn 12n由夾逼準那么，得limn1 2 Ln 2n(n 1)n2 2nn2 2n1 n 12 n2'22n-212in(n 1)1n 21an-即2lim(Ilimnnim22n2 n 2n)(5)【答案】y2【解析】函數(shù)y x2e x的定義域為全體實數(shù)，且ozXe2XmHxymHx所以曲線只有一條水平漸近線y 0.【相關知識點】鉛直漸近線：如函數(shù) y f(x)在其間斷點x x0處有l(wèi)im f(x) ,那么

11、x xox Xo是函數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當lim f(x) a( a為常數(shù))，那么y a為函數(shù)的水平漸近線.x二、選擇題(此題共5小題，每題3分,總分值15分.)(1)【答案】(D)【解析】方法一：反證法，利用連續(xù)函數(shù)的性質，即有限多個在同一點處連續(xù)的函數(shù)之乘 積，仍然在該點處連續(xù).設函數(shù)一兇無間斷點，因為f (x)是連續(xù)函數(shù)，那么(X)f(x)必無間斷點，這與f(x)f (x)(x)有間斷點矛盾，故應選擇(D).方法二：排除法，舉出反例排除.沁1， x 0，1， x 0,設f(x) 1, (x)【答案】(C)【解析】方法-一：利用定積分的求面積公式有20x(x1)(2x) dx2

12、0X(X 1)(2 x)dx1x(x0 、1)(2x)dx21 x(x 1)(2 x)dx應選擇(C).方法二：畫出曲線y x(x 1)(2 x)的草圖,所求面積為圖中兩面積之和,即D2D11 2Ox(x 1)(2 x)dx 1 x(x 1)(2 x)dx,故應選(C).【答案】(D)【解析】因為對任意x(, x2,當x-1x2時，x-1x2 ,那么函數(shù)f(x-i)f ( x2),即f( xjf( X2),故f( x)是單調增加的應選擇(D).對于(A)(B)(C)可令 f (x) x3,那么對任意 X1,X2,當 X1X2 時，都有 f(X1)f(X2),但f(0) 3x2x0 0,X3,在

13、其定義域內單調減少f( X) 3( X)20, f ( x)故排除(A)(B)(C).【答案】(B)f (1)f (x)f (0) ,(0 x 1)由微分中值定理，f(1) f (0) f (),(01).所以f (1) f (1)f(0)f ( ) f (0), (01)【解析】由f(X)0可知f (x)在區(qū)間0,1上為嚴格的單調遞增函數(shù)，故應選擇(B).(5)【答案】(A)【解析】函數(shù)f (X)在X X。處可導的充分必要條件是f(X0)與f(X。)存在且相等由于F(x) f (x) f (x) | sinx|,而f (x)可導，所以F (x)在x 0處可導等價于f (x) |sin x|在

14、 x 0可導.令(x) f(x)|sinx|,那么(0) limx 0f (x) |sin x |(°)!im0xf (x) | sin x |lim f (x)sin x *0xf (x)sin x limx 0 xf(0),于是要使F (x)在x 0處可導，當且僅當 f (0)f(0),即 f (0)0.應選擇(A).三、(此題共6小題，每題5 分，總分值30分.)(1)【解析】利用等價無窮小計算，即當x0 時，sin x : x.原式 limx 01 cosx1 cos12si n2x1 lim22x 0 2xs心2limx 02x2xJ2(2)【解析】這是 方法ef(y)xe

15、f(y) f (y) yey y ,個由復合函數(shù)和隱函數(shù)所確定的函數(shù):將方程兩邊對x求導，得ef(y)ey xf(y)ef(y)，將 xef(y)ey代入并化簡，得 y 1x(1f (y)兩邊再對x求導，得0x(1 f (y)y x(1 f (y)(1 f (y)x( f(y) y)x(1 f (y)2x3x2 (1 f (y)方法二：方程兩邊先取對數(shù)再對x求導.方程兩邊取對數(shù)得ln x f (y) y ,(1 f (y)yf (y)代入并化簡得x2(1 f (y)x(1 f (y)求導得f (y) y y因為f 1,所以x(i f (y)以下同方法【相關知識點】復合函數(shù)求導法那么：y(f (

16、x)的導數(shù)為y(f (x) f (x).(3)【解析】首先應求出(x)的表達式.由f(x21)In 2xInx211x2112令 x 1 t,得 f (t)Intt 1.又1f(x)In(x)(x) 1In x ,那么(X)1(x) 1x.解得(x).因此x 1(4)【解析】函數(shù)必與f (xo )相等.所以(x)dx(1)dx x 2lnx 11 C.f (x)在 xf (x)X。處的導函數(shù)連續(xù)的充分必要條件是f (Xo)與f(X。)存在且xinmf (x)f (0)ximm故f (x)在x1 arcta n 飛 x叫 f (x)x 0lifx 0lim0f (x)f(0)x 000f(x)x

17、f(x) xinmf(x)f (0).0處連續(xù).(5)【解析】由弧微分公式得2 2ds x (t) y (t) dt所以1 arcta n x2x21 x4injarcta n =1 _x22sin2t (1 cost)2dt. 2(1 cost)dt.2(1cost) dt:、2 2sin2 ；dttcos224(01 1) 8.(6)【解析】設質點的運動速度為v(t),由題設,阻力為v(t),按牛頓第二定律有m 峻v(t),dt其中質量m 1,即dvdtv(t).這是簡單變量可別離的微分方程，解之得v(t) Ce t.另有初始條件v(0)v0,得v(t)v0e t.當此質點的速度為也時，有

18、v33到此時刻該質點所經(jīng)過的路程為v°eln3 .In30v0etdtVot In3 e 0Vo23v。.四、(此題總分值8分)【解析】對函數(shù)f(x)x20(2t)e tdt兩邊求導并令(x)0,得解得駐點由于f (x)f (x)0,0,所以f(所以f (x)f (x)0,0,.2), fC.2)為函數(shù)f (x)2x(2x2,、2 x 0,0 x 22 x ,f (x)的極大值點，f( 、2)0(2 t)e tdt(2 t)e0f(0)0(2 t)etdt 0,x2)ex20,f(x)嚴格單調增,f(x)嚴格單調減,f (x)嚴格單調增,f(x)嚴格單調減,f (0)為函數(shù)f(x)的

19、極小值點，且tdt 1lim f (x) li m f (x)(2 t)e tdtxx0(2t)et0 etdt 1,f ( '.2)1 e2為函數(shù)f(x)最大值，f(0)0為函數(shù)f (x)的最小值.【相關知識點】積分上限函數(shù)的求導公式:ddxxf t dtx五、(此題總分值【解析】把yex和y代入所給的一階線性微分方程解得p(x)xxexex p(x)exx,線性方程被確定為xy(xex)y x,即(ex1)y1.這是一階線性非齊次微分方程,通解為(e x 1)dx(ee1)dxdxxdxdx Cx e(eC)Cee再由yln2x ln2 0 得 eln 2CeeIn20,即C故所求

20、的特解為y ex【相關知識點】一階線性非齊次微分方程p(x)y q(x)的通解公式為：六、(此題總分值【解析】要求點由MPp(x) dxy e ( q(x)eP的坐標，也就是說，要用1 yo232X。)2 (yo)2又由法線的斜率與切線斜率互為負倒數(shù)的關系yop(x)dxdx C),其中C為常數(shù).xo, yo, yo, yo,表示出2 31 yo2yo,知Xoyo(yo)(i2 2 2 yo ) / yo ,由yo,知曲線是向上凹的,容易看出yo,所以可化為yo1yo2yo且xyo(、,、yo(iyo2)yo丿'y。xo-y°(iyo2),于是得yo于是得1 M 2、yo (1yo )yo七、此題總分值8分【解