數(shù)學必修一必修4基礎知識

1、必修一（一）集合1.集合的概念(1)集合是數(shù)學中的一個不加定義的原始概念，它是指某些指定對象的全體.集合中的每個對象叫做這個集合的元素，它具有三個性質，即 、 和 .（2）根據(jù)集合所含元素個數(shù)的多少，集合可分為 、 和空集；根據(jù)集合所含元素的性質，集合又可為點集、數(shù)集等.空集是不含任何元素的集合，用表示.（3）我們約定用 表示自然數(shù)集，用 表示正整數(shù)集，用 表示整數(shù)集，用 表示有理數(shù)集，用 表示實數(shù)集.（4）集合的表示方法有 、 和圖示法(venn圖).2.集合間的基本關系（1）集合與元素的關系表示元素和集合之間的關系，有屬于“”和不屬于“”兩種情形.（2）集合與集合之間的關系集合與集合之間有

2、包含、真包含、不包含、相等等幾種關系.若有限集A中有n個元素，集合A的子集個數(shù)為 ，非空子集的個數(shù)為 ，真子集的個數(shù)為 ，非空真子集的個數(shù)為 .3.集合的運算集合與集合之間有交、并、補集三種運算.4.集合運算中兩組常用的結論（1）；（2）；.（二）函數(shù)的概念（1）函數(shù)的定義設A，B是 ，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x在集合B中都有 和它對應，那么就稱為從集合A到集合B 的一個函數(shù)，記作.其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的 ；與x的值相對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的 .值域是集合B的 .映射：設A，B是兩個集合，如果按照某種確定的對應關系f，使

3、對于集合A中的任意一個元素在集合B中都有唯一確定的元素和它對應，那么這樣的對應就稱為從集合A到集合B 的映射，記作.函數(shù)實際上是一種特殊的映射.而映射是一種特殊的對應：一對一，多對一.（2）函數(shù)的三要素： 、 及 稱為函數(shù)的三要素.在函數(shù)的三要素中其決定性作用的是 及 ，定義域及對應關系確定了，這個函數(shù)就唯一確定了.（3）相等函數(shù)：定義域相同，并且對應關系完全一致的兩個函數(shù)就稱為相等函數(shù).2.函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法主要有三種：解析法、圖象法、列表法.分段函數(shù)：在定義域的不同部分上有不同的解析式，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).（三）函數(shù)單調性1.增函數(shù)、減函數(shù)設函數(shù)的定義域為I：如果對于定義域I

4、內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當 時，都有 ，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)；如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當 時，都有 ，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù).2.單調性、單調區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做的單調區(qū)間.3.利用定義判斷（證明）函數(shù)單調性的一般步驟： ； 4.數(shù)最值的幾何意義是對應函數(shù)圖像上點的縱坐標的 或 ，即圖像的 或 .5函數(shù)的最值與求函數(shù)的值域從概念上看是不同的，函數(shù)值域的一些邊界值不一定是函數(shù)值，函數(shù)的最值是函數(shù)值域中的一個值，函數(shù)取得最值時，一定有相應的x值.6判斷函數(shù)單調性的常

5、見方法定義法；圖象法；導數(shù)法. 7求函數(shù)最值或值域的方法單調性法；配方法；換元法；判別式法；圖象法；不等式法等.8一些重要函數(shù)的單調性的單調區(qū)間：增區(qū)間 ；減區(qū)間 .的單調區(qū)間：增區(qū)間 ；減區(qū)間 .（四）函數(shù)奇偶性 (1)奇函數(shù)、偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有 ，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有 ，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).(2)奇偶性如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么就說函數(shù)具有奇偶性.(3)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域皆關于 對稱（此條件是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件）；奇函數(shù)的圖象關于 對稱，偶函數(shù)的圖象關

6、于 對稱；若奇函數(shù)在x=0處有定義，那么一定有 .在定義域的公共部分內，兩個偶函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍是 數(shù)；兩個奇函數(shù)的和、差仍是 ；奇數(shù)個奇函數(shù)的積為 ；偶數(shù)個奇函數(shù)的積為 ；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為 ；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)（均不恒為零）的和與差 .奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調性，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調性.（五）基本函數(shù)：一次二次函數(shù)1.叫做一次函數(shù)，它的定義域和值域皆為R2.函數(shù)性質當k0時，為 函數(shù)，當k0時，為 函數(shù)；當b=0時，函數(shù)為正比例函數(shù)；3.函數(shù)的解析式的三種形式：一般式 ；頂點式 ；零點式 ；4.二次函數(shù)的圖象與性質的圖

7、象是一條拋物線，頂點坐標為 ，對稱軸方程為 ，當時開口向上, 當時開口向下；時，拋物線與x軸有 交點.單調性：當時，在 減函數(shù)； 在 上是增函數(shù).，相反.奇偶性： 函數(shù)；為 函數(shù)；（六）指數(shù)函數(shù)1.冪的有關概念正整數(shù)指數(shù)冪： ；零指數(shù)冪：1( ) ；負整數(shù)指數(shù)冪：= ()； 正分數(shù)指數(shù)冪： ();負分數(shù)指數(shù)冪： (); 0的正分數(shù)指數(shù)冪等于 ,0的負分數(shù)指數(shù)冪 2.冪的運算法則（） ； ； 3.指數(shù)函數(shù)圖像及性質定義圖象定義域 值域 定 點單調性4.指數(shù)函數(shù)具有性質：（七）對數(shù)函數(shù)1.定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作，其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù).以10為底的對數(shù)稱常用

8、對數(shù)，記作，以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，記作2.基本性質：真數(shù)N為正數(shù)（負數(shù)和零無對數(shù)）， ， 對數(shù)恒等式：.3.運算性質：如果則；.4.換底公式：， .5. 對數(shù)函數(shù)具有性質： 6.函數(shù)的圖像與性質定 義圖 象定義域值 域定 點單調性定義域（八）函數(shù)圖像變換1平移變換水平平移： 的圖象，可由 的圖象向左 或向右 平移 個單位而得到；豎直平移： 的圖象可由 的圖象向上 或向下 平移 個單位而得到；注：對于左、右平移變換，往往容易出錯，在實際判斷中可熟記口訣：左加右減.2對稱變換與的圖象關于 對稱;與的圖象關于 對稱;與的圖象關于 對稱;與的圖象關于 對稱;的圖象可將的圖象在 軸下方的部分以

9、軸為對稱軸翻折上去，其余部分不變; 的圖象可將的部分作出，再利用偶函數(shù)的圖象關于軸對稱，作出 的部分.3.伸縮變換 的圖象，可將 圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變而得到; 的圖象，可將 圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變而得到.（十）函數(shù)的應用1函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)成立的 叫做函數(shù)的零點 .2.二分法定義：對于區(qū)間上連續(xù)，且 的函數(shù),通過不斷把函數(shù)的零點所在的區(qū)間 ，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，從而得到零點近似值的方法，叫做二分法.注：該法一般求的是近似解.3解函數(shù)應用題，一般可按以下四步進行(1)閱讀理解，認真審題 (2)引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型(3)利用數(shù)學

10、的方法將得到的常規(guī)數(shù)學問題給出解答，求得結果(4)轉譯成具體問題做出回答必修四（一） 角的概念1.任意角(1)終邊相同的角：所有與終邊相同的角，連同在內，可構成一個集合S= (2)終邊在x軸正半軸上的角的集合： 終邊在x軸負半軸上的角的集合： 終邊在y軸正半軸上的角的集合： 終邊在y軸負半軸上的角的集合： 終邊在x軸上的角的集合： 終邊在y軸上的角的集合： 2.弧度制(1)定義： 叫做1弧度的角.(2)計算：如果半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，那么角弧度數(shù)的絕對值是 其中，的正負由角的終邊的旋轉方向決定.注意：弧長公式： 扇形面積公式：= = (3)換算:360=2, 180=1=rad0

11、.01745rad1rad= (4)一些特殊角的弧度數(shù)及函數(shù)值度:0,30,45,60,90,120,135,150,180,270,360.弧度：0，.要熟記這些特殊角的正弦、余弦、正切三種三角函數(shù)值.3.三角函數(shù)的定義（1）初中直角三角形中的定義；（2）坐標法定義：設是一個任意角，在它的終邊任取異于原點的一點，令，則 ， ， 4. 三角函數(shù)值的符號：口訣：一全二正弦，三切四余弦注：一二三四指象限，提到的函數(shù)為正值，未提到的為負值5.三角函數(shù)線：設任意角的終邊與單位圓交于點.過點作軸的垂線，垂足為.過點作單位圓的切線，設它與的終邊或其反向延長線（當為第二、三象限角時）相交于點，則有： ， ，

12、 .（二）誘導公式及同角關系式1.同角三角函數(shù)的基本關系式：平方關系： 商數(shù)關系：.2.誘導公式記憶口訣：口訣：“奇變偶不變，符號看象限”.（三）三角函數(shù)性質1.五點法作圖的原理：在確定正弦函數(shù)在上圖象的形狀時，起關鍵作用的五個點是 ，余弦的是 .2.作正切函數(shù)的圖象關鍵是三點兩線，即三點是 ，兩線是 .3.三角函數(shù)的圖象和性質：4.三角函數(shù)的奇偶性函數(shù)的定義域是否為關于原點對稱的點集是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件，必須優(yōu)先考慮，然后再進行化簡判斷.5.五點法作函數(shù)的圖象分別令取，求出相應的值與值，然后描點，再用光滑的曲線連結，即可得到一個周期的圖象，通過左右平移，就得到在上的圖象.6.的物理意義：叫 ，決定圖象最高（低）點的位置；叫 ，叫 ，影響圖象的零值點； 影響其周期，.通常情況下，可正可負，也可為.7.由的圖象可有兩條途徑得到的圖象：