北京一模數(shù)學試題匯編數(shù)列

1、數(shù)列1. （西城·理·題 3）（西城·文·題 3）設等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn ， a2a46 ，則 S5 等于（）A 10B12C 15D 30【解析】 C；a2a4 62a3 ，于是 a3 3， S55a3 15 2. （海淀·文·題 4）已知等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn ，且滿足 S3S21 ，則數(shù)列 an 的公差是（）A 132B 1C 2D 32【解析】 C；S3a1 a2a33a13d ， S2a1 a22a1d ； S3S2a1da1dd ，因此 d2 32223. （宣武·理·

2、題 5）（宣武·文·題 5）若 an 為等差數(shù)列， Sn 是其前 n 項和，且 S1122，則 tan a6 的值為（）3A 3B 3C 3D33【解析】 B ；由 a1 a11 a2a10a5 a7 2a6，可得 S1111a6 ， a62 34. （海淀·理·題 6）已知等差數(shù)列 1 ,a , b ，等比數(shù)列3 , a 2 , b 5 ，則該等差數(shù)列的公差為（）A3或 3B3或 1C 3D 3【解析】 C；2a1b2a4 a23 b 5 ，解得ab0b7b50因此該等差數(shù)列的公差為3 5. （東城·理·題 7）已知數(shù)列 an 的通

3、項公式 anlog3n(nN* ) ，設其前 n 項和為 Sn ，則使 Sn4 成立的最小自然數(shù)n 等n1于（）A 83B 82C 81D80【解析】 C；Snlog3 1 log 3 2log3 2log3 3log 3 nlog 3 (n 1)log 3 (n 1)4 ，解得 n 34180 6. （豐臺·理·題 8）已知整數(shù)以按如下規(guī)律排成一列：1,1、1,2、2,1、1,3 、2,2，3,1 ，1,4 ， 2,3，3,2，4 , 1 ， ，則第 60 個數(shù)對是（）A 10 ,1B 2 ,10C 5,7D 7,5【解析】 C；654321O123456根據(jù)題中規(guī)律，有

4、1,1 為第1項， 1,2 為第 2項， 1,3為第 4項， 1,11為第 56 項，因此第 60項為 5,77. （海淀·理·題 8）已知數(shù)列A: a1 , a2 , an0 a1a2an , n 3 具有性質(zhì) P ：對任意 i , j 1 i j n ，a jai與 a jai 兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項現(xiàn)給出以下四個命題： 數(shù)列 0, 1, 3具有性質(zhì) P； 數(shù)列 0, 2, 4, 6具有性質(zhì) P； 若數(shù)列 A 具有性質(zhì) P ，則 a1 0 ； 若數(shù)列 a1 , a2, a30 a1a2a3具有性質(zhì) P ，則 a1a3 2a2 其中真命題有（）A 4個B 3個C

5、 2個D 1個【解析】 B ； 134，1 32 都不在數(shù)列中， 數(shù)列 0, 1, 3不具有性質(zhì) P ； 容易驗證數(shù)列 0 , 2,4,6具有性質(zhì) P； 取 ijn ，則 a jai0 在數(shù)列中，而數(shù)列中最小的數(shù)a1 0，因此 a1 0； 由對 的分析可知，a10由于 a2a10 ， a3 a2a3 不在數(shù)列中，因此a3 a2 必然在數(shù)列中又 a3a2 ，故 a3a20a1 ，于是 a3a2 a2 ，等式 a1 a32a2 成立8. （豐臺·文·題 10）設等比數(shù)列 an 的公比為 q1，前 n項和為 Sn ，則S4a42【解析】 15 ；S4231 q q2q3a1 1

6、q q qa43315a1qq9.（東城·文·題11）設 an 是等比數(shù)列，若a1 1, a48 ，則 q，數(shù)列 an 的前 6 項的和 S6【解析】 2,63；a4a1 q3q 2 ； S61 (1 26)63 1210. （石景山·文·題 12）等差數(shù)列 aa35a 1，此數(shù)列的通項公式為，設S a 的前 n 項和，則Sn 中，6n 是數(shù)列n8 等于【解析】 an2n11，16；設公差為d ， a6a33d 即 1 53d d2 ， a1a3 2d9 ， an a1 2( n1) 2n11 ，S88911816 11. （石景山·文

7、3;題14）（石景山·理·題14）在數(shù)列 an22p ，（ n 2, nN ， p 為常數(shù)），則稱 an為“等方差數(shù)列” 下列是對“等中，若 anan1方差數(shù)列”的判斷：若 an 是等方差數(shù)列，則an2是等差數(shù)列； ( 1)n 是等方差數(shù)列；若 an 是等方差數(shù)列，則akn（ k N ， k 為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；若an既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列其中正確命題序號為（將所有正確的命題序號填在橫線上）【解析】 ；由定義可知，an 2 是公差為p 的等差數(shù)列，正確；1n222若 anan 1akn2ak( n 1) 2設 an 公差為式相減可得 012. （

8、石景山·文·題n 1 20( n 2, nN*) 為常數(shù)，故n是等方差數(shù)列，正確；11p( n 2, nN*) ，則22akn2akn22ak( n 1)2kp 為常數(shù)，對；aknakn 112akn k 1d ，則 pan2an 12(anan 1 )( anan 1 )d (anan 1 ) ，結合 p d (an 1an ) ，兩d (an 1an1 )2d2d0 ，故 an 是常數(shù)列，對18）在數(shù)列 an 中， a13 ， an2an 1n2(n 2 且 nN * ) 求 a2 ， a3 的值；證明：數(shù)列 ann 是等比數(shù)列，并求 an 的通項公式；求數(shù)列 an 的

9、前 n 項和 Sn 【解析】 a13 ， an2an1n2(n 2且 nN*) ， a22a12 26，a32a23213ann(2 an 1n 2) n 2an 12n 2，an 1(n 1)an 1n 1an 12n 1數(shù)列an14 ，公比為2 的等比數(shù)列n 是首項為 a1 ann 4 2n 12n 1 ，即 an2 n 1n ， an 的通項公式為 an2n 1n (nN*) an 的通項公式為 an2 n 1n (nN*) ， Sn234n 1n)(2222)(12322(1 2n ) n (n 1)2n 2n2n 8 (n N* ) 122213. （石景山·理·

10、題 18）在數(shù)列 an 中， a13 ， anan 12n1 (n 2 且 nN* ) 求 a2 ， a3 的值；證明：數(shù)列 ann 是等比數(shù)列，并求 an 的通項公式；求數(shù)列 an 的前 n 項和 Sn 【解析】 a13 ， anan 12n1 (n 2, nN*) ， a2a14 1 6 ， a3a2611證明：ann(an 12n 1) nan 1n 1，an 1( n 1)an 1n1an 11n 1數(shù)列 an是首項為a114，公比為1 的等比數(shù)列n ann 1n 1n ，n 4 ( 1)，即 an4(1) an 的通項公式為 an4(1)n1n (nN*) an 的通項公式為 an4

11、(1)n1n(nN*) ，所以，nn4 ( 1)k 1n4 ( 1)k 1 nSnakk kk 1k1k1k 141(1)nn(n 1)2 1(1)n1(n2n)n2n 42( 1)n 1(1)22214. （西城·文·題 19）設數(shù)列 an 為等比數(shù)列，數(shù)列 bn 滿足 bn na1 (n 1)a2 2an 1 an ， n N ，已知 b1 m ， b2 3m ， 2其中 m0 求數(shù)列 an 的首項和公比；當 m 1時，求 bn ；設 Sn 為數(shù)列 an 的前 n項和，若對于任意的正整數(shù)n ，都有 Sn1, 3，求實數(shù) m 的取值范圍【解析】 由已知 b1a1 ，所以

12、a1m ；b22a1a2 ，所以 2a1a23m ，解得 a2m ；22所以數(shù)列 an 的公比 q1 ；21n 1 當 m1時， an，2bnna1( n1)a22an1an ， ，1 bnna2(n 1)a32anan 1 ， ，2 得3bnn a2a3anan 1 ，2n111n32211所以bnnn1，2132122n22n6n2( 2)1nbn1399291nm1n22m Sn11，132121n1 2m 3因為10 ，所以由 Sn1, 3 得n ，2n1131122nn3,1 ，注意到，當 n 為奇數(shù)時，111,3；當 n 為偶數(shù)時， 1122241n所以1最大值為 3，最小值為 3

13、 224對于任意的正整數(shù)n 都有1n 2m3n，1311122所以 4 2m 2 ，解得 2 m 3 ，33即所求實數(shù)m 的取值范圍是 m | 2 m 3 15. （豐臺·文·題 20）設集合 W 由滿足下列兩個條件的數(shù)列 an 構成： an an 2an 1;2存在實數(shù) M ，使 an M （ n 為正整數(shù)）在只有 5 項的有限數(shù)列 an ， bn 中，其中 a11， a22 ， a3 3 ， a4 4 ， a5 5，b1 1， b24 ， b3 5， b4 4 ， b51 ；試判斷數(shù)列 an ， bn 是否為集合 W 的元素；設 cn 是等差數(shù)列，Sn 是其前 n 項和

14、， c3 4 ， Sn18證明數(shù)列 Sn W ；并寫出 M 的取值范圍；設數(shù)列 d n W ，且對滿足條件的常數(shù) M ，存在正整數(shù) k ，使 d k M 求證： dk 1d k 2 d k3 【解析】 對于數(shù)列 a ，當 n 1時， a1 a32a2，顯然不滿足集合 W 的條件，n2故 an 不是集合 W 中的元素，對于數(shù)列 bn ，當 n1 ,2,3,4,5 時，不僅有 b1 b33 b2， b2b44 b3 ， b322顯然滿足集合 W 的條件 ，故 bn 是集合 W 中的元素cn是等差數(shù)列，Sn 是其前 n 項和，b33b4 ，而且有 bn 5 ，2c3 4， S318 設其公差為 d

15、， c32d c3d c3 18 d2 cnc3n 3 d2n 10 ， Snn29 n SnSn 2Sn 11 0 ， SnSn 2Sn 1 22281 ， Sn 的最大值是 S4 S5 Snn920 ，即 Sn S4 20 24 SnW ，且 M 的取值范圍是20 , 證明： dn d k dk 2dk 1W ，2整理 dk 2dk 1(d k 1d k ) dk 1( dk 1M ) ， dkM ， dk 1 M ， dk 2dk 1 又 dk 1dk 3dk 2 ， d k 3 d k 2 ( dk 2dk 1 ) dk 2 ，2 dk 1dk 2dk 3 16. （豐臺·理

16、·題 20）設集合 W 由滿足下列兩個條件的數(shù)列 an 構成： an an 2an1 ；2存在實數(shù) M ，使 an M （ n 為正整數(shù)）在只有 5 項的有限數(shù)列 an ， bn 中，其中 a1 1 , a22 , a3 3,a4 4 , a55 ；b1 1 , b24 , b3 5 , b44 , b5 1；試判斷數(shù)列 an , bn 是否為集合 W 的元素；設 cn 是各項為正的等比數(shù)列，Sn 是其前 n 項和， c31，S37 ，證 明數(shù)列 Sn44W ；并寫出 M 的取值范圍；設數(shù)列 d nW , 且對滿足條件的M 的最小值 M 0 ，都有 dnM nn N* 求證：數(shù)列 d

17、n 單調(diào)遞增【解析】 對于數(shù)列 an ，取 a1a32a2 ，顯然不滿足集合W 的條件， 2故 an 不是集合 W 中的元素，對于數(shù)列 bn ，當 n 1 ,2,3,4,5時，不僅有 b1 b33 b2 ， b2b44b3 ， b3 b33b4 ，而且有 bn 5 ，222顯然滿足集合 W 的條件 ，故 bn 是集合 W 中的元素 cn 是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn 是其前 n 項和， c317, S3,設其公比為 q0 ，44c3c3c372q2q4 ，整理得 6qq1 0 q1 ， c11 , cn1n 1 ， Sn22對于*SnSn 221n N ，有2n故 Sn 2W，且M2 ,12n

18、 12121Sn 2 ，且 Sn2 ，n 2n22 證明：（反證）若數(shù)列 dn 非單調(diào)遞增，則一定存在正整數(shù)k ，使 dk d k 1 ，易證于任意的 n k ，都有 dk d k 1 ，證明如下：假設 n m( m k ) 時， dk dk 1當 n m1 時，由 dmdm 2dm1 ， dm 2 2dm 1 dm 2而 dm 1dm 2dm 1(2dm 1dm )dm dm 1 0所以 dm 1d m 2 ,所以對于任意的n k ，都有 dm dm 1 顯然 d1 , d2 , dk 這 k 項中有一定存在一個最大值，不妨記為dn0 ；所以 dn0 dn (nN* ) ，從而 d n0M

19、0 與這題矛盾所以假設不成立，故命題得證17. （海淀·文·題20）2an為偶數(shù)1 , n已知數(shù)列an滿足： a10 ，an2， n2,3,4,n12an 1為奇數(shù)2, n2求 a3 , a4 , a5 的值；設 bna2n 11 ， n1,2,3,，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列，并求出其通項公式；對任意的 m 2 ， m*m項構成等差數(shù)列？若存在，寫出這m項，N ，在數(shù)列 an 中是否存在連續(xù)的22并證明這2m 項構成等差數(shù)列；若不存在，說明理由【解析】 因為 a11 ，所以 a212a13， a312a15 ，22a41 2a27 ， a512a213 ；22 由題意，對于

20、任意的正整數(shù)n ， bna n 11 ，所以 bn 1a n122又 a n1(2a2n1)12( a n11) 2bn所以 bn 12bn 222又 b1a 1 11 a11 22所以 bn是首項為 2，公比為2 的等比數(shù)列，所以bnn2 存在事實上，對任意的 m 2 ， kN*，在數(shù)列 an 中，a2m , a2m1 , a2m2, a2m2m1這連續(xù)的2m 項就構成一個等差數(shù)列我們先來證明：“對任意的 n 2 ， nN *， k0 , 2n 1， kN*，有 a2n 1k2n1k ”2n ，所以 a2n 12 n2由 得 bna2n 111當 k 為奇數(shù)時， a12a n 112ak12n 1kk12222 n 222當 k 為偶數(shù)時， a2n 1k12a 2n 1k12an2k222k ,k2 p1記k12，其中 p1N k1 ,k2 p121因此要證 a2n 1 k2n1k ，只需證明 a2n 2k2n11k1，212其中 k10 , 2n 2， k1*N（這是因為若 a2n22n 11k1，則當k1k1時，則 k 一定是奇數(shù)，k22111有 a n 12an 12ak 1k2k 122222 n 221k1