8-習(xí)題課斯托克斯公式分享資料

1、1一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容二、二、典型例題典型例題 曲線積分與曲面積分習(xí)題課曲線積分與曲面積分習(xí)題課2（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場論初步（三）場論初步 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容3曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)面積的對(duì)面積的曲面積分曲面積分對(duì)坐標(biāo)的對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分對(duì)弧長的對(duì)弧長的曲線積分曲線積分對(duì)坐標(biāo)的對(duì)坐標(biāo)的曲線積分曲線積分定義定義計(jì)算計(jì)算定義定義計(jì)算計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分4 曲曲 線線 積積 分分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

2、定定義義 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 聯(lián)聯(lián)系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 計(jì)計(jì)算算 dtfdsyxfL22,),()( dtQPQdyPdxL),(),( (與方向有關(guān))5與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件在單連通開區(qū)域在單連通開區(qū)域D上上),(),(yxQyxP具有具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), ,則以下四個(gè)命題成立則以下四個(gè)命題成立. . LQdyPdxD與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdx

3、duyxUD 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價(jià)價(jià)命命題題6 曲曲 面面 積積 分分對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 聯(lián)聯(lián)系系 RdxdyQdzdxPdydz計(jì)計(jì) 算算 (與側(cè)無關(guān)) (與側(cè)有關(guān)) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,7定積分定積分曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分

4、曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系8點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù))(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 時(shí)時(shí)上區(qū)間上區(qū)間當(dāng)當(dāng).),()(,2 DdyxfdMfDR 時(shí)時(shí)上上區(qū)區(qū)域域當(dāng)當(dāng)積分概念的聯(lián)系積分概念的聯(lián)系定積分定積分二重積分二重積分9 dVzyxfdMfR),()(,3 時(shí)時(shí)上區(qū)域上區(qū)域當(dāng)當(dāng).),()(,3 dszyxfdMfR 時(shí)時(shí)上上空空間間曲曲線線當(dāng)當(dāng).),()(,3 SdSzyxfdMfSR 時(shí)時(shí)上上曲曲面面當(dāng)當(dāng)曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三

5、重積分三重積分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 時(shí)時(shí)上上平平面面曲曲線線當(dāng)當(dāng)曲線積分曲線積分10計(jì)算上的聯(lián)系計(jì)算上的聯(lián)系)( ,),(),()()(21面面元元素素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121體體元元素素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲線線元元素素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投投影影線線元元素素)(ba 11 xyDyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdy

6、zyxR),(,),(其中其中dsRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsQPQdyPdxL)coscos( )(曲曲面面元元素素ds)(投影投影面元素面元素dxdy12理論上的聯(lián)系理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式133.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公

7、式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式14 DLdxdykFrotrdF)( DLdxdyFdivrdFGreenGreen公式公式, ,GuassGuass公式公式, ,StokesStokes公式公式之間的關(guān)系之間的關(guān)系 SdFrotrdF RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx dvFdivsdFdvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( DLdxdyyPxQQdyPdx)( DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推廣推廣為為平平面面向向量量場

8、場)(MF為為空空間間向向量量場場)(MF15梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度環(huán)流量環(huán)流量zRyQxPFdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRFrot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三）（三）場論初步場論初步16例例 1 1 計(jì)計(jì)算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其中中L為為由由點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(O到到點(diǎn)點(diǎn))1 , 1(A的的曲曲線線xy2sin . .思路思路: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI閉合閉合非閉非閉閉合閉合 DdxdyyPxQI)(非閉非

9、閉補(bǔ)充曲線或用公式補(bǔ)充曲線或用公式二、二、典型例題典型例題17解解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11A dyyxdxxyxI)()2(422由由18例例 2 2 計(jì)計(jì)算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, ,其其中中L為為由由點(diǎn)點(diǎn))0 ,(a到到點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(的的上上半半圓圓周周0,22 yaxyx. .解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xQyP 即即( (如下圖如下圖) )19xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDA

10、MOA )( Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO, 0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI20曲面面積的計(jì)算法曲面面積的計(jì)算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab21曲頂柱體的表面積曲頂柱體的表面積 LDyxdsyxfdffS),()11(22 xzyo),(yxfz LD如圖曲頂柱體，如圖曲頂柱體，22例例 3 3 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx內(nèi)內(nèi)的的側(cè)側(cè)面面積積. .解解由對(duì)稱性由對(duì)稱性

11、 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx參參數(shù)數(shù)方方程程為為23,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 24在第一卦限部分的上側(cè)在第一卦限部分的上側(cè)為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中計(jì)算計(jì)算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例xyoz111 解解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系利用兩類曲面積分之間的關(guān)系,1

12、, 1, 1 n的法向量為的法向量為.31cos,31cos,31cos 25dszzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI),(31),(231),(31 dszyx)(31 xyDdxdy3131.21 262 22222計(jì)計(jì)算算 Iydydzxdzdxz dxdy,Iydydzxdzdxz dxdy,其其中中為為錐錐面面 zxyzxy被被平平面面 z1,z2z1,z2 所所截截部部分分的的外外側(cè)側(cè) 例例解解1 12 2補(bǔ)補(bǔ)上上: z2,: z2,取取上上側(cè)側(cè): z1,: z1,取取下下側(cè)側(cè)D 利用高斯公式利用高斯公式2 22 2x xy yD D: :x xy y4 4 2 22

13、2x xy yD D: :x xy y1 1 27151515151616 . .2222 121222222zdvz dxdyz dxdy2zdvz dxdyz dxdyx xy yx xy y2 22 21 1D DD D2 2z z z z d dz z4 4d dx xd dy yd dx xd dy y 121212122 22 2I(ydydzxdzdxz dxdy)I(ydydzxdzdxz dxdy)(ydydzxdzdxz dxdy)(ydydzxdzdxz dxdy) 28例例 6 6 計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , ,

14、其其中中 是是由由曲曲線線)31(01 yxyz繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所成成的的曲曲面面, ,它它的的法法向向量量與與y軸軸正正向向的的夾夾角角恒恒大大于于2 . .解解2 22 2z zy y1 1繞繞y y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為x x0 0y y1 1z zx x ( (如下圖如下圖) )29xyzo132 * *I且有且有dxdydzzRyQxP)(* dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲欲求求 dv xzD31dxdzdy 2dy)1y(3130 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 312 22

15、22 22 22 22 2例例7 7 : : 在在變變力力 F Fy yz z i iz zx x j jx xy y k k 的的作作用用下下, ,質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)x xy yz z由由原原點(diǎn)點(diǎn)沿沿直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)到到橢橢球球面面1 1上上第第a ab bc c一一卦卦限限的的點(diǎn)點(diǎn)M M( ( , , , ,) ), ,問問當(dāng)當(dāng) , , , ,取取何何值值時(shí)時(shí), ,力力 F F 所所作作的的功功W W最最大大 ? ? 并并求求出出W W的的最最大大值值. . )933,3,3,(abcWcbaW 時(shí)時(shí) 32一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 設(shè)設(shè)L為為230,0 yxx, ,則則 Lds4的值為的

16、值為( ).( ). (A) (A)04x， (B) (B),6 (C) (C)06x. .2 2、 設(shè)設(shè)L為直線為直線0yy 上從點(diǎn)上從點(diǎn)),0(0yA到點(diǎn)到點(diǎn)),3(0yB的的有向直線段有向直線段, ,則則 Ldy2=( ).=( ). (A (A)6; (B) )6; (B) 06y; (C)0.; (C)0.3 3、 若若L是上半橢圓是上半橢圓 ,sin,costbytax取順時(shí)針方向取順時(shí)針方向, ,則則 Lxdyydx的值為的值為( ).( ). (A (A) )0 0; (B); (B)ab2 ; (C); (C)ab . .測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題334 4、設(shè)、設(shè)),(,),(yxQyx

17、P在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)內(nèi)有一階連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), ,則在則在D內(nèi)與內(nèi)與 LQdyPdx路徑無關(guān)的條件路徑無關(guān)的條件 DyxyPxQ ),(,是是( ).( ). (A) (A)充分條件充分條件; (B); (B)必要條件必要條件; (C); (C)充要條件充要條件. .5 5、設(shè)、設(shè) 為球面為球面1222 zyx, ,1 為其上半球面為其上半球面, ,則則 ( ) ( )式正確式正確. . (A) (A) 12zdszds; ; (B) (B) 12zdxdyzdxdy; ; (C) (C) 1222dxdyzdxdyz. .346 6、若、若 為為)(222yxz 在在x

18、oy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 則則 ds等于等于( ).( ). (A) (A) rrdrrd022041 ;(B);(B) 2022041rdrrd ; ; (C)(C) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 為球面為球面2222Rzyx 的外側(cè)的外側(cè), ,則則 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRyx22222; ; (B) (B) 2 2 xyDdxdyyxRyx22222; ; (C) 0(C) 0 . .358 8、曲曲面面積積分分 dxdyz2在在數(shù)數(shù)值值上上等等于于( ( ) ). .( (A A) ) 向向量

19、量iz2穿穿過過曲曲面面 的的流流量量；( (B B) ) 面面密密度度為為2z的的曲曲面面 的的質(zhì)質(zhì)量量；( (C C) ) 向向量量kz2穿穿過過曲曲面面 的的流流量量 . .9 9、設(shè)設(shè) 是是球球面面2222Rzyx 的的外外側(cè)側(cè), ,xyD是是xoy面面 上上的的圓圓域域222Ryx , ,下下述述等等式式正正確確的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) xyDdxdyyxRyxzdsyx2222222； ( (B B) ) xyDdxdyyxdxdyyx)()(2222； ( (C C) ) xyDdxdyyxRzdxdy2222. .361 10 0、若若 是是空空間間區(qū)區(qū)

20、域域 的的外外表表面面, ,下下述述計(jì)計(jì)算算中中運(yùn)運(yùn)用用高高斯斯 公公式式正正確確的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 外側(cè)外側(cè)dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)22(； ( (B B) ) 外側(cè)外側(cè)zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； ( (C C) ) 內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)12(. . 37二、計(jì)算下列各題二、計(jì)算下列各題: :1 1、求、求 zds, ,其中其中 為曲線為曲線 ,sin,costzttyttx)0(0tt ；2 2、求、求 Lxxdyyedxy

21、ye)2cos()2sin(, ,其中其中L為上為上 半圓周半圓周222)(ayax , ,0 y, ,沿逆時(shí)針方向沿逆時(shí)針方向 . .三、計(jì)算下列各題三、計(jì)算下列各題: :1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面Hzz 及及0 之間的圓柱面之間的圓柱面222Ryx ；382 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222， 其中其中 為錐面為錐面)0(22hzyxz 的外側(cè)；的外側(cè)；3 3、 3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中其中 為曲面為曲面9)1(16)2(5122 yxz)0( z的上側(cè)的上側(cè) . .四、證明四、證明: :22

22、yxydyxdx 在整個(gè)在整個(gè)xoy平面除去平面除去y的負(fù)半軸及的負(fù)半軸及原點(diǎn)的開區(qū)域原點(diǎn)的開區(qū)域G內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分, ,并并求出一個(gè)這樣的二元函數(shù)求出一個(gè)這樣的二元函數(shù) . .五、求均勻曲面五、求均勻曲面222yxaz 的重心的坐標(biāo)的重心的坐標(biāo) . .39六、求向量六、求向量kzjyixA 通過區(qū)域通過區(qū)域: ,10 x10,10 zy的邊界曲面流向外側(cè)的通量的邊界曲面流向外側(cè)的通量 . . 七、流體在空間流動(dòng)七、流體在空間流動(dòng), ,流體的密度流體的密度 處處相同處處相同( (1 ),), 已知流速函數(shù)已知流速函數(shù)kzyjyxixzV222 , ,求流體在單求

23、流體在單位時(shí)間內(nèi)流過曲面位時(shí)間內(nèi)流過曲面zzyx2:222 的流量的流量( (流流向外側(cè)向外側(cè)) )和沿曲線和沿曲線:Lzzyx2222 , ,1 z的環(huán)流的環(huán)流量量( (從從z軸正向看去逆時(shí)針方向軸正向看去逆時(shí)針方向) .) .40測(cè)驗(yàn)題答案測(cè)驗(yàn)題答案一、一、1 1、B B； 2 2、C C； 3 3、C C； 4 4、C C； 5 5、B B； 6 6、C C； 7 7、B B； 8 8、C C； 9 9、C C； 10 10、B B. .二、二、1 1、322)2(2320 t； 2 2、2a . .三、三、1 1、RHarctan2 ； 2 2、44h ； 3 3、0 0. .四、四、

24、)ln(21),(22yxyxu . .五、五、)2, 0 , 0(a. . 六、六、3.3.七、七、0 ,1532 . .41常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一一般般項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開式泰勒展開式數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)傅氏展開式傅氏展開式傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)0)(xR為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn為為函函數(shù)數(shù)滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級(jí)數(shù)與數(shù)級(jí)數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化 1nnu一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容42 nnnuuuuu32111 1、

25、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ). . niinnuuuus121級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和定義定義級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散43性質(zhì)性質(zhì)1 1: : 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性質(zhì)性質(zhì)2 2: :收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. .性質(zhì)性質(zhì)3 3: :在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性散性.性質(zhì)性質(zhì)4 4: :收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)

26、數(shù)仍然收斂于原來的和于原來的和. . 0lim nnu級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)44常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正正 項(xiàng)項(xiàng) 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂若若SSn;, 0,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) nun一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂45定義定義0,1 nnnuu.有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂ns2 2、正

27、項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnnvuuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .46(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果如果lvunnn lim,則則(1) 當(dāng)當(dāng) l0時(shí)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性二級(jí)數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)當(dāng)0 l時(shí)，若時(shí)，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當(dāng)當(dāng) l時(shí)時(shí), 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;47設(shè)設(shè) 1nnu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為

28、正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果如果0lim lnunn (或或 nnnulim),則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散;如如果果有有1 p, 使使得得npnun lim存存在在,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂.( (3 3) ) 極極限限審審斂斂法法48( (4 4) ) 比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂;1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 1 時(shí)失效時(shí)失效.(5) (5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )設(shè)設(shè) 1

29、nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或?yàn)閿?shù)或 , ,則則1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ; 1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ;1 時(shí)時(shí)失失效效. .49定義定義 正正 、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)滿滿足足條條件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1us , ,其其余余 項(xiàng)項(xiàng)nr的的絕絕對(duì)對(duì)值值1 nnur. .)0( nu其其中中3 3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其

30、審斂法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法50定義定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nnu收收斂斂.定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .4 4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法515 5、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1) (1) 定義定義設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是定義在是定義在RI 上上的函數(shù)的函數(shù), ,則則 )()()(211xuxuxunn

31、稱為定義在區(qū)間稱為定義在區(qū)間I上的上的( (函數(shù)項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)) )無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù). .(2) (2) 收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域如如果果Ix 0,數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂,52則稱則稱0 x為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù))(1xunn 的的收斂點(diǎn)收斂點(diǎn), ,否則稱為否則稱為發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn). .所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,(3) (3) 和函數(shù)和函數(shù)在收斂域上在收斂域上, ,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù))(xs, ,稱稱)(xs為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

32、的和函數(shù)和函數(shù). .53(1) (1) 定義定義形形如如nnnxxa)(00 的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)稱稱為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x其其中中na為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).6 6、冪級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)nnnxa 054如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;(2) (2) 收斂性收斂性55如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)

33、數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個(gè)個(gè)完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí),冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時(shí)時(shí), ,冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論56定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.定定理理 2 2 如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有

34、系系數(shù)數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R;57a.a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): : 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (3)(3)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算58乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(

35、0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)59b.b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): : 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),在端點(diǎn)收斂在端點(diǎn)收斂,則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù)則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù). 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對(duì)且對(duì)),(RRx 可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.607 7、冪級(jí)數(shù)展開式、冪級(jí)數(shù)展開式 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處任意階

36、可導(dǎo)處任意階可導(dǎo),則冪級(jí)數(shù)則冪級(jí)數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù).nnnxnf 0)(!)0(稱稱為為)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).(1) 定義定義61定理定理 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .(2) 充要條件充要條件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)(0 xx 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則其系數(shù)則其系數(shù) ),

37、 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. .62(3) 展開方法展開方法a.a.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討討論論).(xf斂斂于于則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)收收b.b.間接法間接法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積逐項(xiàng)積分分等方法等方法,求展開式求展開式.63),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()

38、1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式64)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x65(5) 應(yīng)用應(yīng)用a.a.近似計(jì)算近似計(jì)算b.b.歐拉公式歐拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit 66(1) (1) 三角函數(shù)系三角函數(shù)系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的積分等于零上的積分等

39、于零任意兩個(gè)不同函數(shù)在任意兩個(gè)不同函數(shù)在正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數(shù)系三角函數(shù)系8 8、傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)67 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中(2) (2) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa定義定義三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)68其中其中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為傅里葉級(jí)數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù). 10)sincos(2nnnnxbnxaa69(

40、3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) ) 設(shè)設(shè))(xf是是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù).如如果果它它滿滿足足條條件件:在在一一個(gè)個(gè)周周期期內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個(gè)個(gè)第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn),并并且且至至多多只只有有有有限限個(gè)個(gè)極極值值點(diǎn)點(diǎn),則則)(xf的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂,并并且且(1) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí),級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于)(xf;(2) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的間斷點(diǎn)時(shí)的間斷點(diǎn)時(shí), 收斂于收斂于2)0()0( xfxf;(3) 當(dāng)當(dāng)x為為端端點(diǎn)點(diǎn) x時(shí)時(shí),收收

41、斂斂于于2)0()0( ff.70 如如果果)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù), 傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nxbnnsin1 稱稱為為正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).(4) (4) 正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) 當(dāng)當(dāng)周周期期為為 2的的奇奇函函數(shù)數(shù))(xf展展開開成成傅傅里里葉葉 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí),它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann71 當(dāng)周期為當(dāng)周期為 2的偶函數(shù)的偶函數(shù))(xf展開成傅里葉級(jí)數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)時(shí),它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann

42、如如果果)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù), 傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nxaanncos210 稱稱為為余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).72奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxxxfxF令令的傅氏正弦級(jí)數(shù)的傅氏正弦級(jí)數(shù))(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期的延拓周期的延拓73偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxF令令的傅氏余弦級(jí)數(shù)的傅氏余弦級(jí)數(shù))(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x74式為式為則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開的條件的條件滿足收斂定理滿足收斂定理的周期函數(shù)的周期函數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaax

43、fnnn 式式的周期函數(shù)的傅氏展開的周期函數(shù)的傅氏展開周期為周期為 l 2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln75二、典型例題二、典型例題;)1()1(:11 nnnnnnn判斷級(jí)數(shù)斂散性判斷級(jí)數(shù)斂散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn 76nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)

44、散原級(jí)數(shù)發(fā)散77;23cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收收斂斂 nnn根據(jù)比較判別法，根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂78 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時(shí)時(shí)從而有從而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn 79,1100時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)收斂；,1110時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) a

45、a原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)發(fā)散；,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a,)11()2ln(1 nnnn原級(jí)數(shù)為原級(jí)數(shù)為,)11()2ln(lim nnnn原級(jí)數(shù)也發(fā)散原級(jí)數(shù)也發(fā)散80斂？是條件收斂還是絕對(duì)收斂？如果收斂，是否收判斷級(jí)數(shù)1ln) 1(nnnn例例解解,1ln1nnn ,11發(fā)發(fā)散散而而 nn,ln1ln) 1(11發(fā)散nnnnnnn即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂81,ln)1(1級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是交錯(cuò)是交錯(cuò) nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf82,

46、), 1(上上單單增增在在 ,ln1單單減減即即xx ,1ln1時(shí)時(shí)單單減減當(dāng)當(dāng)故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂故原級(jí)數(shù)是條件收斂83.)1)(1(0斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)收收求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnxn例例解解, 1)1)(1(0 Rxnnn斂斂半半徑徑為為的的收收, 111 x收收斂斂域域?yàn)闉? 20 x即即則則有有設(shè)設(shè)此此級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)為為),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs兩邊逐項(xiàng)積分兩邊逐項(xiàng)積分84 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(

47、nnx)1(11 xx,21xx 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì) x)21()( xxxs.)2(12x 85.1lnarctan)(2克勞林級(jí)數(shù)克勞林級(jí)數(shù)展開成麥展開成麥將將xxxxf 例例4 4解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(186 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(0

48、22 nnnnnx)11( x87的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)成成的和函數(shù)展開的和函數(shù)展開將級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù))1()!12(2)1(12111 xnxnnnn例例5 5解解設(shè)設(shè)法法用用已已知知展展開開式式來來解解的的展展開開式式，是是分分析析xnxnnnsin)!12()1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x8821sin21cos221cos21sin2 xx 012021)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(

49、2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),( 89形形函函數(shù)數(shù)，同同時(shí)時(shí)畫畫出出它它的的圖圖寫寫出出該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和的的正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)并并在在為為周周期期內(nèi)內(nèi)展展開開成成以以在在將將 2220cos xxx例例6 6解解,cos),(,sincos2), 0(cos)(1進(jìn)進(jìn)行行奇奇開開拓拓內(nèi)內(nèi)對(duì)對(duì)必必須須在在周周期期的的正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為內(nèi)內(nèi)展展開開成成以以在在要要將將xnxbxxxfnn ),0 ,(cos, 00), 0(cos)(xxxxxxF令令90 0sincos2nxdxxbn 0)1sin()1sin(1dxxnxn1)1(11)1(1111 nnnn mnnnm

50、no2,)1(412,2)1( n, 0 na91 012sin1xdxb, 0 12)0(.2sin)14(8cosmxmxmmx上上級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)為為在在 22x ),2 ,()0 ,(cos2, 00),2(), 0(,cos)(xxxxxxs92和函數(shù)的圖形為和函數(shù)的圖形為xyo 2 293的和的和由此求級(jí)數(shù)由此求級(jí)數(shù)為周期的付氏級(jí)數(shù)，并為周期的付氏級(jí)數(shù)，并以以內(nèi)展開成內(nèi)展開成將函數(shù)將函數(shù) 1212)11(2)(nnxxxf例例7 7解解,)11(2)(是偶函數(shù)是偶函數(shù) xxxf 100)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 1

51、0sin2xnxdn1)1(222 nn94 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k, 0 nb 122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x95, 0 x取取由上式得由上式得 122,)12(14252kk 122,8)12(1kk 121212)2(1)12(11kknkkn而而,141)12(11212 kkkk3481212 nn.62 9622222 2n 1n 1x xcos nxxcos nxxx x426426n n 證明：當(dāng)時(shí)，例例8 8解解,24)(2xxxf 設(shè)設(shè)上上展展開開成成余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)

52、：在在將將, 0)( xf 020)24(2dxxxa)412(233 ,33 2 2n n0 02 2x xx xa a( () )c co os s n nx xd dx x4 42 2 972 20 00 02 2x xx xx x ( () )s si in n n nx x( () )s si in n n nx xd dx x n n4 42 22 22 2 nxdxncos)22(202 222 n.12n 22222 2n 1n 1x xx xcos nxcos nx(0 x(0 x ) )426426n n 2 22 22 2n n 1 1c co os s n nx xx

53、xx x4 42 26 6n n 故98一一、 選選擇擇題題: :1 1、下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11nn； ( (B B) ) 11nnn； ( (C C) ) 1321nn； ( (D D) ) 1)1(nn. .2 2、下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11)45( nn； ( (B B) )11)54( nn； ( (C C) )111)45()1( nnn； ( (D D) ) 11)5445(nn. .測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題993 3、下列級(jí)數(shù)中、下列級(jí)數(shù)中, ,收斂的是收斂的是( )( ) (A) (A) 1222) !(nnn； (B) (B) 1!3nnnnn； (C) (C) 22sin1nn； (D) (D) 1)2(1nnnn. .4 4、部分和數(shù)列、部分和數(shù)列 ns有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù)有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nnu收斂的收斂的 ( ( ) ) (A)(A)充分條件；充分條件； (B) (B)必要條件；必要條件； (C)(C)充要條件；充要條件； (D) (D)既非充分又非必要條件既非充分又