第二章第十二節(jié) 曲線的曲率

1、3.7 曲曲 率率弧微分弧微分曲率及其計算公式曲率及其計算公式曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑返返回回在實際生活中在實際生活中,如公路、鐵路的彎道設(shè)計時如公路、鐵路的彎道設(shè)計時,對對于彎曲程度有一定的要求于彎曲程度有一定的要求.因為在一定的速度下因為在一定的速度下,彎曲程度越大彎曲程度越大,轉(zhuǎn)彎時所產(chǎn)生的離心力就越大轉(zhuǎn)彎時所產(chǎn)生的離心力就越大,容容易出現(xiàn)翻車易出現(xiàn)翻車,脫軌事故脫軌事故.此類問題反映在數(shù)學(xué)上此類問題反映在數(shù)學(xué)上,歸結(jié)為對于曲線的歸結(jié)為對于曲線的彎曲程度的討論和研究彎曲程度的討論和研究.一、弧微分一、弧微分A0 xMx.),()(內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函

2、數(shù)baxfxyo),(:00yxA基基點點,),(為任意一點為任意一點yxM規(guī)定：規(guī)定：;)1(增大的方向一致增大的方向一致曲線的正向與曲線的正向與x.,)2(取負號取負號相反時相反時取正號取正號向一致時向一致時的方向與曲線正的方向與曲線正當(dāng)當(dāng)ssAMsAM ).(xss 單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)),(yyxxN 設(shè)設(shè)如圖，如圖，NTMTMNMN ,0時時當(dāng)當(dāng) x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy dyyNT , 0.12dxyds 故故,)(為單調(diào)增函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0

3、 xxxx xyo二、曲率及其計算公式曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大短彎曲程度越大1.曲率的定義曲率的定義1 ) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率為的平均曲率為弧段弧段（設(shè)曲線設(shè)曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點點M, sMM （. 切切線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點在點M處的曲率處的曲率,lim0存在的條件下存在的條件下在在dsdss .dsd

4、K 2.曲率的計算公式曲率的計算公式,)(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)設(shè)xfy ,tany ,12dxyyd dsdk ,arctany 有有.12dxyds .)1(232yy (1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;(2) 圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù),且且半徑越小曲率越大半徑越小曲率越大.baxy ay 0 y232)1(yyk 0 222Ryx 022 yyxyxy 2 yxyyy 232)1(yyk R1 ,),(),(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)設(shè) tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tt

5、tttdxyd 例例1 1?2上哪一點的曲率最大上哪一點的曲率最大拋物線拋物線cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 顯然顯然,2時時當(dāng)當(dāng)abx .最最大大k,)44,2(2為拋物線的頂點為拋物線的頂點又又aacbab .最大最大拋物線在頂點處的曲率拋物線在頂點處的曲率點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停).(1),(,的半徑的半徑為圓弧軌道為圓弧軌道到到率連續(xù)地由零過渡率連續(xù)地由零過渡使曲使曲如圖如圖緩沖段緩沖段彎道之間接入一段彎道之間接入一段穩(wěn)，往往在直道和穩(wěn)，往往在直道和駛平駛平容易發(fā)生事故，為了行容易發(fā)生事故，為了行的曲率突然改變的曲率突然改變道

6、時，若接頭處道時，若接頭處鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎RR例例2 2.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的曲率近似為的曲率近似為時，在終端時，在終端很小很小并且當(dāng)并且當(dāng)為零為零的曲率的曲率在始端在始端的長度，驗證緩沖段的長度，驗證緩沖段為為，其中，其中緩沖段緩沖段作為作為，通常用三次拋物線通常用三次拋物線 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClxyoR),(00yxA)0 ,(0 xC證證如圖如圖的的負負半半軸軸表表示示直直道道，x.,是是圓圓弧弧軌軌道道是是緩緩沖沖段段 ABOA（在緩沖段上在緩沖段上,212xRly .1xRly , 0, 0,

7、0 yyx處處在在. 00 k故故緩緩沖沖始始點點的的曲曲率率實際要求實際要求,0 xl lB,613xRly 20210 xRlyxx 有有221lRl ,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的曲率為的曲率為故在終端故在終端A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR , 1Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次項略去二次項xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 ).0(),()( kkyxMxfy處的曲率為處的曲率為在點在點設(shè)曲線設(shè)曲線,曲曲率率中中心心 D.曲率半徑曲率半徑 xyo.1, k

8、DMDM使使在凹的一側(cè)取一點在凹的一側(cè)取一點處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點在點.),(,處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點稱此圓為曲線在點如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以MD 1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù)曲率互為倒數(shù).1,1 kk即即注意注意: :2.曲線上一點處的曲率半徑越大曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點曲線在該點處的曲率越小處的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);曲率半徑越小曲率半徑越小,曲曲率越大率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附曲線上一點處的曲率圓弧可近似代

9、替該點附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似稱為曲線在該點附近的二次近似).例例3 3xyoQP.,.70,/400,)(40002壓力壓力飛行員對座椅的飛行員對座椅的到原點時到原點時求俯沖求俯沖千克千克飛行員體重飛行員體重秒秒米米處速度為處速度為點點在原在原俯沖飛行俯沖飛行單位為米單位為米飛機沿拋物線飛機沿拋物線 vOxy解解如圖如圖,受力分析受力分析,PQF 視飛行員在點視飛行員在點o作勻速圓周運動作勻速圓周運動,.2 mvF O點處拋物線軌道的曲率半徑點處拋物線軌道的曲率半徑002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率為得曲率為.200010 xxk曲率半徑為曲率半徑為.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千克千克牛牛 ),(4 .571)(70千克力千克力千克力千克力 Q).(5 .641千克力千克力 即即:飛行員對座椅的壓力為飛行員對座椅的壓力為641.5千克力千克力.四、小結(jié)四、小結(jié)運用微分學(xué)的理論運用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支質(zhì)的數(shù)學(xué)分支微分幾何學(xué)微分幾何學(xué).基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圓曲率圓.曲線彎曲程度的描述曲線彎曲程度的描述曲率曲率;曲線弧的近似代替曲率圓曲線弧的近似代替曲率圓(弧弧).思考題思考題 橢圓橢圓 上哪上哪些點處曲率最大？些點處曲率最大