空間曲線及其方程

1、一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線及其方程空間曲線及其方程 四、四、曲線的一般方程與參數(shù)方程互化曲線的一般方程與參數(shù)方程互化一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如, ,方程組方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1oC2又如又如, ,方程組方程組表示上半球

2、面與圓柱面的交線表示上半球面與圓柱面的交線C. 022222xayxyxazyxzao二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x, y, z表示成表示成參數(shù)參數(shù)t 的函數(shù)的函數(shù): :稱(chēng)它為空間曲線的稱(chēng)它為空間曲線的 參數(shù)方程參數(shù)方程. .)(txx 例如例如, ,圓柱螺旋線圓柱螺旋線vbt,令bzayaxsincos,2 時(shí)當(dāng)bh2taxcostaysin t vz 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上升高度上升高度, 稱(chēng)為稱(chēng)為螺距螺距 .)(tyy )(tzz A MM t xyzo三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線

3、C 的一般方程為的一般方程為消去消去 z 得投影柱面得投影柱面則則C 在在xoy 面上的投影曲線面上的投影曲線 C 為為消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR( , )00T x zy zyxCCzyxC1o例如例如, ,在在xoy 面上的投影曲線方程為面上的投影曲線方程為222200 xyyz 2222221:(1)(1)1xyzCxyz zxyo1C又如又如, ,所圍的立體在所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)

4、域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)? :上半球面上半球面和錐面和錐面224yxz)(322yxz0122zyx在在 xoy 面上的面上的投影曲線投影曲線)(34:2222yxzyxzC二者交線二者交線.0, 122zyx所圍圓域所圍圓域:二者交線在二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域面上的投影曲線所圍之域 .例例1. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示將下列曲線化為參數(shù)方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二方程變形為將第二方程變形為,)(42222aayx故所

5、求為故所求為得所求為得所求為txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t四、四、曲線的一般方程與參數(shù)方程互化曲線的一般方程與參數(shù)方程互化內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 空間曲線空間曲線三元方程組三元方程組或參數(shù)方程或參數(shù)方程 求投影曲線求投影曲線 (如如, 圓柱螺線圓柱螺線) (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2展示空間圖形展示空間圖形(3)zxyo oaoa222azx222ayxozy15 xy3 xy15 xy3 xyyz2x3思考思考: :yb 對(duì)平面對(duì)平面交線情況如何交線情況如何?3,b 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)交線情況如何交線情況如何?3,b 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)

6、19422yx3y022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao補(bǔ)充補(bǔ)充: : 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面例例.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設(shè)一個(gè)立體設(shè)一個(gè)立體xoyyxzyxz 解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面面上上的的投投影影為為在在則則交交線線xoyC . 0, 122zyx一個(gè)圓一個(gè)圓,面面上上的的投投影影為為所所求求立立體體在在 xo

7、y. 122 yx,0 r,20 . z附：附：柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo) 的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)就叫點(diǎn)就叫點(diǎn)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)，則這樣的三，則這樣的三的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為面上的投影面上的投影在在為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為坐標(biāo)的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)來(lái)確定來(lái)確定，三個(gè)有次序的數(shù)三個(gè)有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)設(shè)設(shè) rMzyxM),( .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，如圖，Pxyz