數(shù)學(xué)蘇教版選修21作業(yè)242 拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)

1、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y22x的焦點(diǎn)且平行于直線(xiàn)3x2y50的直線(xiàn)的方程是_解析：據(jù)題意設(shè)所求平行直線(xiàn)方程為3x2yc0，又直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)y22x的焦點(diǎn)，代入求得c，故直線(xiàn)方程為6x4y30.答案：6x4y30設(shè)拋物線(xiàn)y2mx的準(zhǔn)線(xiàn)與直線(xiàn)x1的距離為3，則拋物線(xiàn)的方程為_(kāi)解析：當(dāng)m>0時(shí)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x2，m8，此時(shí)拋物線(xiàn)方程為y28x；當(dāng)m<0時(shí)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x4，m16，此時(shí)拋物線(xiàn)方程為y216x.所求拋物線(xiàn)方程為y28x或y216x.答案：y28x或y216x已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線(xiàn)yx與拋物線(xiàn)C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)若P(2，2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線(xiàn)C的方程為_(kāi)解析

2、：設(shè)拋物線(xiàn)方程為y22px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy2p(x1x2)，即·(y1y2)2p2p1×4p2.故y24x.答案：y24x拋物線(xiàn)y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且傾斜角等于的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在x軸上方的曲線(xiàn)交于點(diǎn)A，則AF的長(zhǎng)為_(kāi)解析：由已知可得直線(xiàn)AF的方程為y(x1)，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程消元得：3x210x30，解之得：x13，x2(據(jù)題意應(yīng)舍去)，由拋物線(xiàn)定義可得：AFx1314.答案：4設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)y22px(p>0)的焦點(diǎn)，A是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，與x軸正向的夾角為60°，則|_解析：如圖，過(guò)A作ADx軸于D.在RtAF

3、D中，AFD60°.令FDm，則FA2m.ADm.根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知pm2m.mp.| p.答案：p若拋物線(xiàn)y22x上的一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為，則M到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為_(kāi)解析：依題意，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，其中x>0，則有，由此解得x1，又該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，點(diǎn)M到該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離等于1.答案：直線(xiàn)yx3與拋物線(xiàn)y24x交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)向拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為_(kāi)解析：直線(xiàn)yx3與拋物線(xiàn)y24x交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)向拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為P，Q，聯(lián)立方程組得，消元得x210x90，解得

4、，和，AP10，BQ2，PQ8，梯形APQB的面積為48.答案：48如圖，圓形花壇水池中央有一噴泉，水管OP1 m，水從噴頭P噴出后呈拋物線(xiàn)狀，先向上至最高點(diǎn)后落下，若最高點(diǎn)距水面2 m，P距拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸1 m，則為使水不落到池外，水池直徑最小為_(kāi)m.解析：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)方程為x22py(p>0)，則P(1，1)，代入拋物線(xiàn)方程得p，拋物線(xiàn)x2y，代入點(diǎn)(x，2)，得x，即水池半徑最小為r(1)m，水池直徑最小為2r(22)m.答案：22已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F在x軸上，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸，l與拋物線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OAB的面積等于4，求此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)

5、方程解：由題意，拋物線(xiàn)方程為y22px(p0)，焦點(diǎn)F，直線(xiàn)l：x，A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為，AB2|p|.OAB的面積為4，··2|p|4，p±2.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2±4x.如圖，過(guò)拋物線(xiàn)y2x上一點(diǎn)A(4，2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)AB，AC交拋物線(xiàn)于B，C兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)BC的斜率是定值證明：設(shè)kABk(k0)，直線(xiàn)AB，AC的傾斜角互補(bǔ)，kACk(k0)，直線(xiàn)AB的方程是yk(x4)2.由方程組消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程組的解4·xB，即xB，以k代換xB中的k，得

6、xC，kBC，直線(xiàn)BC的斜率為定值能力提升等腰直角三角形OAB內(nèi)接于拋物線(xiàn)y22px(p>0)，O是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，OAOB，則OAB的面積為_(kāi)解析：設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則y2px1，y2px2，由OAOB，則xyxy，xx2px12px20，即(x1x2)(x1x22p)0，x1>0，x2>0，2p>0，x1x2，即A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)故直線(xiàn)OA的方程為：yxtan 45°，即yx.由，解得，(舍)或，故AB4p，等腰三角形OAB的面積為×2p×4p4p2.答案：4p2對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線(xiàn)，給出下

7、列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線(xiàn)的通徑的長(zhǎng)為5；由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足坐標(biāo)為(2，1)其中能得出拋物線(xiàn)方程為y210x的條件是_(要求填寫(xiě)合適條件的序號(hào))解析：在兩個(gè)條件中，應(yīng)選擇，則由題意，可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y22px(p>0)；對(duì)于，由焦半徑公式r16，p10，此時(shí)y220x，不符合條件；對(duì)于，2p5，此時(shí)y25x，不符合題意；對(duì)于，設(shè)焦點(diǎn)為，則由題意，滿(mǎn)足·1.解得p5，此時(shí)y210x，所以能使拋物線(xiàn)方程為y210x.答案：某河上有座拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面距頂5 m時(shí)，水面寬為8 m，一木船寬4 m高2 m，載

8、貨后木船露在水面上的部分高為 m，問(wèn)水面上漲到與拱頂相距多少時(shí)，木船開(kāi)始不能通航？解：如圖所示建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)拋物線(xiàn)方程為x22py(p>0)，過(guò)點(diǎn)(4，5)，162p(5)，2p，拋物線(xiàn)方程為x2y，x2時(shí)，y，相距為2時(shí)不能通行(創(chuàng)新題)A，B為拋物線(xiàn)y22px(p>0)上兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若OAOB，求證：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)證明：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則y2px1，y2px2.因?yàn)镺AOB，所以x1x2y1y20，則yy2px1·2px24p2x1x24p2y1y2，所以y1y24p2.因?yàn)閥y(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)，若x1x2，則，所以直線(xiàn)AB的方程為yy1(xx1)因