按揭貸款練習(xí)題

1、按揭貸款模型摘要：此題目即為一個購房按揭貸款最優(yōu)化問題。通過建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用一階線性差分方程，分析求解出等額本金、等額本息兩種不同貸款方式下的還貸利息，并結(jié)合實際分析兩種還款模型產(chǎn)生的還款差額以及原因，進(jìn)而，人們可以根據(jù)自己的實際收入情況選擇適合自己的還貸方式。1.問題的重述隨著社會經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，與購房貸款有關(guān)的金融問題，與人們的生活越來越貼切。時下流行的按揭貸款，是購房還貸者最常用的一種。按揭貸款分為等額本金、等額本息兩種情況，此題的問題是針對兩種不同的還貸方式建立數(shù)學(xué)模型，要求如下：（1） 在規(guī)定的時間內(nèi)返還銀行的最小總金額；（2） 分析比較出不同階層的人們選用還貸方式；2.問題分析不

2、同購房人群在面對高漲的房價時的反映各不同相同，高收入人群屬于高消費(fèi)群體，往往有能力負(fù)擔(dān)房子的價格，低收入群體，購買力相對較弱，而中產(chǎn)階級和工薪階級在面對買房時按揭往往成為了他們越來越成熟的選擇。在選擇按揭的同時卻也面臨著對不同按揭還款模式的不熟悉以及哪種更適合自身的困惑，當(dāng)結(jié)合到自身情況的時候，人們往往不能做出最優(yōu)選擇，即最符合自身情況損失最?。ǜ督o銀行利息最少）的選擇。于是，我們便對按揭還款中最常見也是適用范圍最廣的兩種方式：等額本金還款和等額本息還款建立數(shù)學(xué)模型，更加清晰的分析研究，對比兩種方式的各自優(yōu)缺點(diǎn)，以及對應(yīng)的目標(biāo)人群。3.模型假設(shè)與符號說明3.1模型假設(shè)（1）客戶按照還款協(xié)議按期

3、還款，客戶還款期內(nèi)還款能力不變。（2）外界因素不影響銀行貸款利率。（3）外界因素的影響不改變還款期限。（4）利率為各銀行利率的平均值。3.2符號說明 - 貸款本金- 第n個月償還本金 -第n個月還款前貸款剩余本金- 月利率- 年利率- 貸款月數(shù)- 貸款年數(shù)-等額本金第n個月償還的本息金額-等額本息第n個月償還的本息金額-利息總額-第n個月應(yīng)償還利息- 本息還款總額4.模型的準(zhǔn)備 按揭貸款就是購房者以所購住房做抵押并由其所購買住房的房地產(chǎn)企業(yè)提供階段性擔(dān)保的個人住房貸款業(yè)務(wù)。等額本息是指,把按揭貸款的本金總額與利息總額相加,然后平均分?jǐn)偟竭€款期限的每個月中。等額本金是指一種貸款的還款方式，是在還

4、款期內(nèi)把貸款數(shù)總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余貸款在該月所產(chǎn)生的利息。5.模型的建立與求解5.1分析等額本息，確定第n個月償還的本息金額從第n個月還款前貸款剩余本金著手計算，如下： 第1個月貸款剩余本金=原始貸款本金，,應(yīng)償還的利息，.第2個月貸款剩余本金=上個月貸款剩余本金-上個月償還的本金以此推導(dǎo)：第k個月貸款剩余本金+第（k-1）月貸款剩余本金第（k-1）月償還的本金，即：由于等額本息還款到最后的第N個月，還款金額應(yīng)該剛好等于剩余的本金加上利息，即所以得化簡整理得等額本息第n個月償還的本息金額公式。本息還款總額：R=N5.2分析等額本金，確定第n個月償還的本息金額第一個月貸款剩余本

5、金=原始貸款本金，, 應(yīng)償還利息，第二個月貸款剩余本金，應(yīng)償還貸款，第三個月貸款剩余本金,，應(yīng)償還貸款，.第n個月貸款剩余本金， 應(yīng)償還貸款，整理得，等額本金第n個月償還的本息總額公式。本金還款總額：R=A+A.由于貸款金額的數(shù)目受眾多因素影響，因此每個人與其他人的貸款數(shù)目必定不相等，而且沒有規(guī)律可循；而一般的貸款數(shù)量不小，需要五年以上的還貸時間；因此，為了更直觀的了解還款金額與月數(shù)的關(guān)系，以貸款總額為每萬元，還款時間為五年以上二十年以下為例，分別繪制出在等額本金與等額本息兩種不同的還貸方式下的圖表。如圖一所示。圖一：理論應(yīng)用到生活,為了讓還貸者更方便直觀的了解到，等額本金與等額本息在不同月數(shù)

6、應(yīng)當(dāng)還的總額數(shù)之間的線性關(guān)系，繪制出了以貸款每一萬元，還款月數(shù)20年為例，繪制出了兩種還貸方式下的對比圖，還貸者可根據(jù)自身的情況，根據(jù)自己的貸款數(shù)額，以及自己的還貸能力，選擇更適合自己的。如圖二所示。圖二：5.3等額本金與等額本息月歸還額對比通過以上兩個圖的比較我們可以清晰發(fā)現(xiàn)在相同貸款金額以及相同貸款時間下，等額本息比等額本金產(chǎn)生的總利息大，但我們不能否定等額本息這種貸款方式的存在，因為等額本息每月還款金額是定值，貸款人可以清楚的分配每月的收支，并且比較于等額本金還款，最初的還款金額較小，給貸款人減小壓力。為此我們在本金相同的情況下做出了兩種還款方式月還款金額的比值圖（表三）（以貸款期限分別

7、為20年15年10年5年為例，利率為各銀行的平均值）如圖三所示。圖三：由圖可以直觀的觀察到在貸款金額相同的情況下，等額本金最初的還款金額是等額本息的1.1倍以上。但隨后就每年比上年換的款額越來越少。 由此可得出以下結(jié)論：工薪階層全國平均值月薪4000元，中產(chǎn)階層年薪8-20萬元，則根據(jù)分析得出：等額本息還款法的還款壓力均衡，但需多付些利息，所以適合有一定積蓄。而等額本金還款法，由于貸款人本金歸還得快，利息就可以少付，但前期還款額度大，因此適合當(dāng)前收入較高者。6.模型的驗證模型建立完，我們從搜狐購房網(wǎng)搜集有關(guān)數(shù)據(jù)，6.1等額本息還款方式的驗證。等額本息還款模式房貸數(shù)據(jù)表后 15年 6.40% 5

8、30年 6.55%房屋總價貸款總額還款總額支付利息款首期付款（30%）月均還款貸款月數(shù) 202000014140002540176.441126176.4460600010584.07240(月)158100011067001988128.19881428.194743008283.87240(月)然后代入推導(dǎo)出的模型。等額本息第n個月償還的本息金額公式。本息還款總額：R=N，進(jìn)行驗證。本金分別為A=1414000，1106700；=6.55%/12；N=240得出數(shù)值如下：每月還款額分別為=10584.0723，8283.8741 ；還款總額R=2540176.4432,1988128.20

9、11.顯然，與表中所提供的數(shù)據(jù)基本吻合，故該模型建立合理。6.2等額本金還款方式的驗證等額本金還款模式房貸數(shù)據(jù)表（部分）后 15年 6.40% 530年 6.55%房屋總價2020000房屋總價1581000貸款總額1414000貸款總額1106700還款總額2344029.04還款總額1834608.87支付利息款930029.04支付利息款727908.87首期付款606000首期付款474300240個月還款金額6月,13448.96(元)12月,13256(元)24月,12870.1(元)48月,12098.29(元)90月,10747.63(元)240月,5923.83(元)240個

10、月還款金額6月,10526.14(元)12月,10375.12(元)24月,10073.08(元)48月,9469.01(元)90月,8411.88(元)240月,4636.42(元)代入推導(dǎo)出的模型，等額本金第n個月償還的本息總額公式。本金還款總額：R=A+A進(jìn)行驗證。得出數(shù)值如下：還款本金為A=1414000；=6.55%/12；還款期限N=240；n=6,12,24,48,90,240時每月還款金額=13448.9622，13256.1021，12870.0910，12098.28861，10747.6321，5923.8343當(dāng)A=1106700時對應(yīng)的還款金額=10526.1415，

11、10375.1222，10073.0786，9469.0115,8411.8841，4636.4163顯然，與表中所提供的數(shù)據(jù)基本吻合，故模型建立合理。7.模型的評價與改進(jìn)7.1模型的評價（1）直觀的給出了兩種按揭還款模式的總利息，以及每月需要付給銀行的本息金額。（2）通過數(shù)據(jù)檢驗得出模式的普遍適用性，與客觀實際相符，對比了等額本金以及等額本息兩種模型的特點(diǎn)得出規(guī)律：還款能力較強(qiáng)的消費(fèi)者應(yīng)該選擇等額本金的還款模式，此模式在等年限等金額情況下總利息明顯低于等額本息模式。次模型月還款本息金額呈遞減趨勢，最初的還款期月還款金額較大。還款能力較弱且月收入穩(wěn)定的消費(fèi)者適合選擇等額本息的還款模式，此模型每月還款金額均相等，還款金額占總收入比例較低，不會嚴(yán)重影響正常生活質(zhì)量。總體付出的利息金額普遍大于在等年限等貸款本金情況下的等額本金還款模式。（3）不論選擇哪種還款模式，增加首付金額與縮短貸款年限均為降低利息金額的有效方法。7.2模型的改進(jìn)方向 此模型雖然充分分析了等額本金與等額本息兩種主要還款模式的的特點(diǎn)與適合人群。但是未加入實際生活中可能發(fā)生的提前還款的情況，由于發(fā)生提前還款后可能產(chǎn)生的變化較大，因此在提前還款方面為本文中的模型未涉及的層面。有提前還款發(fā)生利息已經(jīng)本金均會發(fā)生改變。等額本息模式由于前期還款本息金額中利