第1章 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)

1、振動(dòng)工程研究所振動(dòng)分類（自由度） 單自由度 多自由度（有限自由度）大自由度 連續(xù)體（無限自由度） 振動(dòng)工程研究所振動(dòng)分類（運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)） 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 周期振動(dòng)（可分解為若干簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和） 非周期確定性振動(dòng) （可分解為無限個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和） *概周期振動(dòng) *一般確定性運(yùn)動(dòng) 隨機(jī)振動(dòng) 混沌振動(dòng) 振動(dòng)工程研究所研究的起點(diǎn)研究的起點(diǎn)-單自由度系統(tǒng)的確定振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的確定振動(dòng) 是以后研究復(fù)雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)。是以后研究復(fù)雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)。 有助于理解實(shí)際工程振動(dòng)問題。有助于理解實(shí)際工程振動(dòng)問題。 很多實(shí)際問題可簡(jiǎn)化為單自由度問題。很多實(shí)際問題可簡(jiǎn)化為單自由度問題。 1. 基本概念 自由度： 確定某個(gè)機(jī)械系統(tǒng)幾何位置的

2、獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。單自由度系統(tǒng),多自由度系統(tǒng): 若只用一個(gè)獨(dú)立參數(shù)即可確定機(jī)械系統(tǒng)的幾何位置,稱為單自由度系統(tǒng)。 需要兩個(gè)或兩個(gè)以上獨(dú)立參數(shù)才能確定機(jī)械系統(tǒng)的幾何位置的系統(tǒng)稱多自由度系統(tǒng)。 1. 基本概念 自由度：振動(dòng)的描述三要素：振幅、頻率、相位 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示法三角函數(shù)法u tat( )sin()0)()sin()(20020tutatu )2sin()(00tatu 1. 基本概念 復(fù)數(shù)法 ImImImQuatPReReReaaaaabc000002OOO0)j(jj00ttaeeaez旋轉(zhuǎn)向量法（幾何法）縱軸投影 1. 基本概念 復(fù)數(shù)法的位移、速度、加速度關(guān)系)j(jj00ttaeeae

3、z2/)2/(0)(000jtjtjejaeaejzjtjtjeaeaez1)(20)(2000 三種表示法的差異三角函數(shù)最直接、最常用。旋轉(zhuǎn)向量法是三角函數(shù)幾何表示，用得不多，直觀。復(fù)數(shù)法與三角函數(shù)是一致的。向Y軸投影取虛部2.2.常見單自由度系統(tǒng)建模常見單自由度系統(tǒng)建模 3. 單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)令 x 為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，為靜變形。 當(dāng)系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律，得： )(xkmgxm kmg 在靜平衡位置： 固有振動(dòng)或自由振動(dòng)微分方程 ： 0 kxxm 固有振動(dòng)或自由振動(dòng)微分方程 ： 0kxxm 令 ： mk0單位：弧度/秒（rad/s） 020 xx

4、 則有 ： 通解 ： )sin()cos()(0201tctctx ：21,cc任意常數(shù)，由初始條件決定 )sin(0 tA2221ccA211cctg振幅 ： 初相位 ： 固有頻率3. 單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)0 kxxm mk0020 xx 2221ccA211cctg)sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tAxt0A00/2T3. 單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與系統(tǒng)是否正在振動(dòng)著，以及如何進(jìn)行振動(dòng)的方式都毫無關(guān)系 ：0不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過去所受到過的激勵(lì)和考察開始時(shí)刻系統(tǒng)所處的

5、狀態(tài)有關(guān) ：,A3. 單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)例： 重物落下，與簡(jiǎn)支梁做完全非彈性碰撞梁長(zhǎng) L，抗彎剛度 EJ求：梁的自由振動(dòng)頻率和最大撓度mh0l/2l/2解：由材料力學(xué) ：自由振動(dòng)頻率為 ： EJmgl483g0取平衡位置以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系靜變形348mlEJmh0l/2l/2x靜平衡位置撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，則 t=0 時(shí)，有： 0 x則自由振動(dòng)振幅為 ：20020 xxA梁的最大擾度： Amax)sin()cos()(00000txtxtx h22ghx20mh0l/2l/2x靜平衡位置 能量法對(duì)于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度

6、系統(tǒng)，也可以利用能量守恒原理建立自由振動(dòng)的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率。無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒，即動(dòng)能 T 和勢(shì)能 V 之和保持不變 ，即：constVT0VTdtd或：彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 動(dòng)能：221xmT 勢(shì)能：mgx （重力勢(shì)能）（彈性勢(shì)能）dxxkx0)(0)( xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒為 0 x 0 kxxm kmg 221kxxkmgx221kx0mx靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置k0VTdtd如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長(zhǎng)時(shí)的位置 動(dòng)能：221xmT 勢(shì)能：xkxdxmgxV00 xkxxmgxxm mgkxxm 設(shè)新坐標(biāo) km

7、gxy0 kyym 221 kxmgx x0mx靜平衡位置k 瑞利法利用能量法求解固有頻率時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)能的計(jì)算只考慮了慣性元件的動(dòng)能，而忽略不計(jì)彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)能，因此算出的固有頻率是實(shí)際值的上限。這種簡(jiǎn)化方法在許多場(chǎng)合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高。mkx0例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動(dòng)能: 221xmTtt 系統(tǒng)最大動(dòng)能： 2max2maxmax2121xmxmTt系統(tǒng)最大勢(shì)能： 2maxmax21kxVmax0maxxxtmmk 0若忽略 ，則 增大 tm02max)(21xmmttm彈簧等效

8、質(zhì)量 mtmkx0 等效質(zhì)量和等效剛度方法1：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動(dòng)能、勢(shì)能寫成如下形式： 221xMTe 221xKVe 當(dāng) 、 分別取最大值時(shí)：x x則可得出： maxTT maxVV eeMK /0 Ke：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效剛度Me：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效質(zhì)量 這里等效的含義是指簡(jiǎn)化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別相等 動(dòng)能2221mlT 勢(shì)能220mlmglka 22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2零平衡位置1lmak/2k/2方法2：定義法等效剛度：使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度等效質(zhì)量：使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加

9、速度而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效質(zhì)量 例：串聯(lián)系統(tǒng)11kP22kP總變形： Pkk)11(21212121kkkkPKe 21111kkKe 在質(zhì)量塊上施加力 P彈簧1變形： 彈簧2變形： 根據(jù)定義： 或 P mk1k2使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度例：并聯(lián)系統(tǒng)兩彈簧變形量相等：受力不等：11kP 22kP 在質(zhì)量塊上施加力 P由力平衡：)(2121kkPPP 根據(jù)定義：21kkPKe 并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個(gè)彈簧剛度的總和 P mk1k2 mk1k2使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施

10、加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度例：杠桿系統(tǒng)杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體求：系統(tǒng)對(duì)于坐標(biāo) x 的等效質(zhì)量和等效剛度 k1k2m1m2l1l2l3x 阻尼自由振動(dòng)前面的自由振動(dòng)都沒有考慮運(yùn)動(dòng)中阻力的影響，實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，因?yàn)榭偞嬖谥鞣N各樣的阻力。振動(dòng)中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法，但是實(shí)際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。最常用的一種阻尼力學(xué)模型是粘性阻尼。在流體中低速運(yùn)動(dòng)或沿潤(rùn)滑表面滑動(dòng)的物體，通常就認(rèn)為受到粘性阻尼。 粘性阻尼力與相對(duì)速度稱正比，即： cvPdc：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù) msN/單位：0kx

11、xcxm 動(dòng)力學(xué)方程：02200 xxx 或?qū)憺椋簃k0kmc2固有頻率相對(duì)阻尼系數(shù) mkc建立平衡位置，并受力分析mxcxm x0kx0kxxcxm tex令：特征方程：特征根：20mck21,222cckmmm 令：02nckmm或022ncmmk21,21n 21,2001ncccc 動(dòng)力學(xué)方程：02200 xxx mk0kmc2令：tex特征方程：022002特征根：12002, 1 三種情況：111欠阻尼過阻尼臨界阻尼第一種情況：1欠阻尼動(dòng)力學(xué)方程：02200 xxx 特征方程：022002特征根：12002, 1 di02, 1特征根：201d阻尼固有頻率有阻尼的自由振動(dòng)頻率 )s

12、incos()(210tctcetxddt振動(dòng)解：c1、c2：初始條件決定兩個(gè)復(fù)數(shù)根1欠阻尼)sincos()(210tctcetxddt振動(dòng)解：設(shè)初始條件：0)0(xx0)0(xx)sincos()(00000txxtxetxdddt則：)sin()(0tAetxdt或：200020)(dwxxxA00001xxxtgd1欠阻尼振動(dòng)解：201d阻尼固有頻率阻尼自由振動(dòng)周期：ddT2T0：無阻尼自由振動(dòng)的周期阻尼自由振動(dòng)的周期大于無阻尼自由振動(dòng)的周期 2012201T)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddttAe0tAe0dTt)(txAA01欠阻尼響應(yīng)圖形

13、振動(dòng)解：)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)=0 1時(shí)間位置評(píng)價(jià)阻尼對(duì)振幅衰減快慢的影響1ii與 t 無關(guān)，任意兩個(gè)相鄰振幅之比均為 衰減振動(dòng)的頻率為 ，振幅衰減的快慢取決于 ，這兩個(gè)重要的特征反映在特征方程的特征根的實(shí)部和虛部 d0di02, 1減幅系數(shù)定義為相鄰兩個(gè)振幅的比值： )(00diiTttAeAedTe0)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddttAe0tAe0dTt)(txAA0ddiiTTttiieAeAe000 )(1減幅系數(shù)：含有指數(shù)項(xiàng)，不便于工程應(yīng)用實(shí)際中常采用對(duì)數(shù)衰

14、減率 ：diiT01lnlntAe0tAe0dTt)(txAA0實(shí)驗(yàn)求解利用相隔 j 個(gè)周期的兩個(gè)峰值 進(jìn)行求解jiijiijln1得：20012diiT01lnln20122 ddT當(dāng) 較小時(shí)（ ） 2 .02)()(1211jijiiiiij2 dTiie01212tAe0tAe0dTt)(txAA0第二種情況：1 過阻尼動(dòng)力學(xué)方程：02200 xxx 特征方程：022002特征根：12002, 1 *02, 1 特征根：120* 兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根 振動(dòng)解：c1、c2：初始條件決定)()(*2*10tshctchcetxt2xxeeshx2xxeechx1 過阻尼振動(dòng)解：設(shè)初始條件：0)0

15、(xx0)0(xx則：)()(*2*10tshctchcetxt)()(*000*00tshxxtchxetxt一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒有振動(dòng)發(fā)生 響應(yīng)圖形)(tx0 xt0第三種情況：1 臨界阻尼動(dòng)力學(xué)方程：02200 xxx 特征方程：022002特征根：12002, 1 02, 1 特征根：二重根振動(dòng)解：c1、c2：初始條件決定)()(210tccetxt振動(dòng)解：)()(210tccetxt1 臨界阻尼0)0(xx0)0(xx則：仍然是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng))()(00000txxxetxt kmc2臨界阻尼系數(shù)crckmccr2設(shè)初始條件：響應(yīng)圖形)(tx0 xt0tx(

16、t)2 . 014 . 1臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過阻尼衰減快些 三種阻尼情況比較：111欠阻尼過阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒有振動(dòng)發(fā)生 小結(jié)：0kxxcxm 動(dòng)力學(xué)方程1欠阻尼1過阻尼1臨界阻尼)sincos()(00000txxtxetxdddt201d)()(*000*00tshxxtchxetxt120* 按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng) )()(00000txxxetxt kmccr2按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，比過阻尼衰減快 振幅衰減振動(dòng)振動(dòng)工程研究所簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng) 無阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng) 或mu tku tf

17、t( )( )sin0( )( )sinu tu tfmtn20力激勵(lì) 位移激勵(lì)振動(dòng)工程研究所)()()(*tututu( )cossinu tatatnn12tBtudsin)(*Bfmdn022()(1) 當(dāng) 時(shí)特解形式為n解的特性討論)(*tu強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)（非齊次方程解）由兩部分組成通解（自由振動(dòng)）特解（強(qiáng)迫振動(dòng)）auaufmnnn1020022,()積分常數(shù)由初始條件決定。tmftatatututunnnsin)(sincos)()()(22021*(2)當(dāng) 時(shí), 方程的特解具有如下形式nutt btbtnn*( )(cossin)12bfmbn10220 ,代入方程u tu tut

18、atatfmttnnnn( )( )( )cossincos*1202運(yùn)動(dòng)方程的解變?yōu)閍uaufmnn1020022,積分常數(shù)變?yōu)橄到y(tǒng)位移響應(yīng)中最后一部分隨時(shí)間增加趨于無窮，這是激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率相等時(shí)的共振現(xiàn)象。 （超諧共振，亞諧共振）簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下受迫振動(dòng)的解 mu tcu tku tft( )( )( )sin0運(yùn)動(dòng)方程( )( )( )sinu tu tu tBtnnn2220( )(cossin)u teatatntdd12utbtbtBtdefdd*( )cossinsin()12阻尼自由振動(dòng)通解強(qiáng)迫振動(dòng)特解（注意相位變化）BBdnnndnn 20222212222()()tan

19、)sin()sincos()()()(21*ddddttBtataetututun阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程的解為 （1）三角方程常利用待定系數(shù)法求解（2）運(yùn)用技巧較多auBauuBnnnndnnndnn1030222220020222222222222 ()()()()() 其中積分常數(shù)可由初始條件確定，它們是 積分常數(shù)與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)；也與激振頻率有關(guān)。系統(tǒng)的完整受迫振動(dòng)由上述兩部分疊加而成。 在時(shí)間歷程上，系統(tǒng)的受迫振動(dòng)響應(yīng)分為兩個(gè)階段： 由給定的初始條件出發(fā)，系統(tǒng)振動(dòng)由自由衰減振動(dòng)響應(yīng)和強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)相疊加，呈現(xiàn)較為復(fù)雜的波形。隨著時(shí)間增長(zhǎng)，自由衰減振動(dòng)響應(yīng)趨于零，而強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)成為主要成分。這個(gè)階段稱為過渡過程。過渡過程只經(jīng)歷一個(gè)不長(zhǎng)的時(shí)間，阻尼越大，過渡過程持續(xù)的時(shí)間越短。 經(jīng)過一段時(shí)間后，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)將以強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)為主，這一階段稱作穩(wěn)態(tài)過程。只要有激振力作用，穩(wěn)態(tài)振動(dòng)將一直持續(xù)下去。阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng) ndef無量綱化激勵(lì)頻率, （便于觀察 比較和使用）過渡過程很短暫，在實(shí)踐中主要關(guān)心系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振