方程與不等式

1、第2章 方程式與不等式一、考點(diǎn)綜述考點(diǎn)內(nèi)容：1、方程的解、解方程及各種方程（組）的有關(guān)概念2、一元一次方程及其解法和應(yīng)用；二元一次方程組及其解法和應(yīng)用3、用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程4、可化為一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用5、一元二次方程根的判別式及應(yīng)用6、不等式（組）及解集的有關(guān)概念，會(huì)用數(shù)軸表示不等式（組）的解集7、不等式的基本性質(zhì)8、一元一次不等式（組）的解法及應(yīng)用二、例題精析題型一：計(jì)算例1解方程： 【解題思路】去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解分式方程的基本方法，驗(yàn)根只需將結(jié)果代入最簡公分母即可原方程變形為方程兩邊都乘以，去分母并整理得

2、，解這個(gè)方程得經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，是原方程的增根原方程的根是【答案】【規(guī)律總結(jié)】部分學(xué)生在解分式方程時(shí)，往往不能拿到全部分?jǐn)?shù)，其中很多人是因?yàn)橥洐z驗(yàn)突破方法：牢牢記住分式方程必須驗(yàn)根，檢驗(yàn)這一步不可缺少例2 【解題思路】解方程組的基本思路就是消元和降次，要根據(jù)方程組的特點(diǎn)選取適當(dāng)方法由方程可得，.它們與方程分別組成兩個(gè)方程組： 解方程組可知，此方程組無解；解方程組得所以原方程組的解是【答案】【規(guī)律總結(jié)】少數(shù)學(xué)生未能掌握二元二次方程組的基本解題思路，不知如何處理突破方法：將第一個(gè)方程通過因式分解，得到兩個(gè)一次方程，再分別與第二個(gè)方程組成兩個(gè)新的方程組，求解解題關(guān)鍵：解二元二次方程組的基本解題

3、思想是消元，即化二元為一元常用的方法就是通過因式分解進(jìn)行降次，再重新組成新的方程組求解，所求得的結(jié)果即為原方程組的解題型二：不等式（組）及解集例4已知方程組的解x、y滿足2x+y0，則m的取值范圍是（ ）Am Bm Cm1 Dm1【解題思路】由題意，可求出，代入2x+y0，解得m或者也可整體求值，把第(2)式乘以4減去第(1)式直接得，得，解得m【答案】選A【規(guī)律總結(jié)】本題一般做法是把m看作是已知系數(shù)，用含m的代數(shù)式表示x、y，解出方程組的解，然后再把所求的x、y的值入題目中的不等式，從而得到只含m的不等式，求出解集或者也可以依據(jù)題目條件的特點(diǎn)，從整體考慮，直接進(jìn)行整理得到與不等式相關(guān)的代數(shù)式

4、，進(jìn)行求解題型三：方程解幾何問題例3如圖甲是某學(xué)校存放學(xué)生自行車的車棚的示意圖（尺寸如圖所示），車棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其展開圖是矩形圖乙是車棚頂部截面的示意圖，弧AB所在圓的圓心為O車棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e（不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果保留）OBA·圖乙圖甲AB2米4米60米【考點(diǎn)要求】本題考查用方程解幾何問題，方程是解決幾何有關(guān)計(jì)算問題的有效的方法和工具，通常結(jié)合勾股定理的形式出現(xiàn)【解題思路】連結(jié)OB，過點(diǎn)O作OEAB，垂足為E，交弧AB于F，如圖·EFOBA由垂徑定理，可知：E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是弧AB中點(diǎn)，EF是弓形高 AE=2，EF=2設(shè)半

5、徑為R米，則OE=(R2)米 在RtAOE中，由勾股定理，得 R 2=解得R =4sinAOE=， AOE=60°，AOB=120° 弧AB的長為=帆布的面積為×60=160（平方米）【答案】160（平方米）【規(guī)律總結(jié)】方程是解決幾何有關(guān)計(jì)算問題的有效的方法和工具，通常結(jié)合勾股定理的形式出現(xiàn)，在利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，要善于把實(shí)際問題與數(shù)學(xué)中的理論知識(shí)聯(lián)系起來，能將生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題題型四：方程解實(shí)際應(yīng)用例5某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，共50件已知生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克，乙種原料3千克

6、；生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克（1） 據(jù)現(xiàn)有條件安排、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來（2） 若甲種原料每千克80元，乙種原料每千克120元，怎樣設(shè)計(jì)成本最低【解題思路】（1）設(shè)生產(chǎn)種產(chǎn)品件，種產(chǎn)品件按這樣生產(chǎn)需甲種的原料，即：為整數(shù)，有三種生產(chǎn)方案第一種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品30件，種產(chǎn)品20件；第二種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品31件，種產(chǎn)品19件；第三種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品32件，種產(chǎn)品18件（2）第一種方案的成本：（元）第二種方案的成本：（元）第三種方案的成本：（元）第三種方案成本最低【答案】（1）第一種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品30件，種產(chǎn)品20件；第二種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品31件

7、，種產(chǎn)品19件；第三種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品32件，種產(chǎn)品18件（2）第三種方案成本最低【規(guī)律總結(jié)】解決本題的關(guān)鍵在于找出生產(chǎn)種產(chǎn)品和種產(chǎn)品分別甲種原料和乙種原料的數(shù)量，再根據(jù)廠里現(xiàn)有甲乙兩種原料的數(shù)量列出不等式組，解不等式組得出結(jié)果可得三種生產(chǎn)方案再根據(jù)三種不同方案，求出最低成本三、綜合訓(xùn)練一、選擇題1. 不解方程判斷下列方程中無實(shí)數(shù)根的是( )A.-x2=2x-1 B.4x2+4x+=0; C. D.(x+2)(x-3)=-52. 若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值 （ ）A2007 B2005 C2007 D40103某超市一月份的營業(yè)額為200萬元,已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元, 如果平均

8、每月增長率為x,則由題意列方程應(yīng)為( )A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000 D.2001+(1+x)+(1+x)2=10004.一元一次不等式組的解集是 （ ） A-2x3 B-3x2 Cx-3 Dx25如圖1，在數(shù)軸上所表示的是哪一個(gè)不等式的解集 （ ） A B Cx+1-1 D-2x46關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，那么a滿足的條件是( ) Aa3 Ba3 Ca3 Da3二、填空題1. 已知方程組的一組解是，則其另外一組解是2. 3 名同學(xué)參加乒乓球賽，每兩名同學(xué)之間賽一場，一共需要_場比賽，則 5 名同學(xué)

9、一共需要_比賽3不等式的解集是_4當(dāng)x_時(shí)，代數(shù)代的值是正數(shù)5不等式組的解集是_6不等式的正整數(shù)解是_7的最小值是a，的最大值是b，則8生產(chǎn)某種產(chǎn)品，原需a小時(shí)，現(xiàn)在由于提高了工效，可以節(jié)約時(shí)間8%至15%，若現(xiàn)在所需要的時(shí)間為b小時(shí)，則_< b <_三、解答題1已知關(guān)于x、y的方程組（1）求這個(gè)方程組的解；（2）當(dāng)m取何值時(shí)，這個(gè)方程組的解中，x大于1，y不小于12已知方程組的解為負(fù)數(shù)，求k的取值范圍3某電廠規(guī)定該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個(gè)月的用電量不超過 A 度，那么這個(gè)月這戶只需交 10 元用電費(fèi)，如果超過 A 度，則這個(gè)月除了仍要交 10 元用電費(fèi)外，超過部分還要按每度 0

10、.5 元交費(fèi)該廠某戶居民 2 月份用電 90 度，超過了規(guī)定的 A 度，則超過部分應(yīng)該交電費(fèi)多少元（用 A 表示）？下表是這戶居民 3 月、4 月的用電情況和交費(fèi)情況：月份用電量（度）交電費(fèi)總數(shù)（元）3月80254月4510根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定A度為多少？4藝商場按標(biāo)價(jià)銷售某種工藝品時(shí)，每件可獲利45元；按標(biāo)價(jià)的八五折銷售該工藝品8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等.（1）該工藝品每件的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)分別是多少元？（2）若每件工藝品按（1）中求得的進(jìn)價(jià)進(jìn)貨，標(biāo)價(jià)售出，工藝商場每天可售出該工藝品100件若每件工藝品降價(jià)1元，則每天可多售出該工藝品4件問每件工藝品降價(jià)多少元出售，每

11、天獲得的利潤最大？獲得的最大利潤是多少元?5近幾年我省高速公路的建設(shè)有了較大的發(fā)展，有力地促進(jìn)了我省的經(jīng)濟(jì)建設(shè)，正在修建的某段高速公路要招標(biāo)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)，若甲、乙兩隊(duì)合作24天可以完成，需費(fèi)用120萬元，若甲單獨(dú)做20天后，剩下的工程由乙做，還需40天才能完成，這樣需費(fèi)用110萬元問：（1）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需要多少天？（2）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需要費(fèi)用多少萬元？ 答 案一 、選擇題1B（提示：先將各方程整理為一般式，再利用根的判別式進(jìn)行判斷，B項(xiàng)中0，所以B項(xiàng)方程無實(shí)數(shù)根）2B（提示：因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，則，把它代入原式得，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得，所以原式

12、=2005）3D（提示：第一季度1000萬元營業(yè)額為一、二、三三個(gè)月的總額，應(yīng)把三個(gè)月營業(yè)額相加）4C（提示：不等式的解集為x2，不等式的解集為x3，共公部分為x3）5. C（提示：解四個(gè)不等式，得解集分別為x2，x9，x2，x2，數(shù)軸上表示的范圍是x2）6. D（提示：解關(guān)于x的方程得，因?yàn)榻夥秦?fù)，所以0，解得a3）二、填空題1. （將代入原方程然后所得解方程即可）2. 3，10（提示：設(shè)x名學(xué)生參加比賽，每人需參賽（x1）場，因?yàn)榧赘冶荣悤r(shí)，也是乙跟甲比，所以總共比賽場次為3. x5（利用不等式的基本性質(zhì)）4. x（提示：由題意，23 x0，解得x）5.2x1（提示：求兩不等式解集的公共部分）6.1，2，3（提示：先求出不等式的解集為x，再取其中的正整數(shù)）7.4（提示：x2最小值a=2，x6，最大值b=6，ab=2(6)=4）8.85%ab92% a（提示：由題意可列不等式（115%）ab（18%）a）三、解答題1. 解（1）(2)由題意得即，解得1x5.2. 解方程組，得，因?yàn)榉匠探M的解是負(fù)數(shù)，所以即，解得k8)3解：10(90A)由表中數(shù)據(jù)可得