立體幾何復(fù)習(xí)講義全解

1、圓夢(mèng)教育1對(duì)1個(gè)性化輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名學(xué)校年級(jí)及科目教師課題空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系授課時(shí)間教學(xué)目標(biāo)掌握平面的基本性質(zhì)，在充分理解本講公理、推論的基礎(chǔ)上結(jié)合圖形理解點(diǎn)、線、面的位 置關(guān)系及等角定理.教學(xué)內(nèi)容【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】1.平面的基本性質(zhì)公理1:如果一條直線上的在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2 :過(guò)的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理3 :如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們過(guò)該點(diǎn)的公共直線.2直線與直線的位置關(guān)系(1) 位置關(guān)系的分類©面盲基相交直線；同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 龍(平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線；不同在任何一個(gè)平面內(nèi).沒(méi)有公共

2、點(diǎn)。(2) 異面直線所成的角 定義：設(shè)a, b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)0作直線a / a, b / b,把a(bǔ)與b 所成的銳角或直角叫做異面直線a, b所成的角(或夾角).(it 1 范圍：0, 1.1 23直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況.4.平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.5平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.6等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).【方法指導(dǎo)】?jī)煞N方法異面直線的判定方法：(1)判定定理：平面外一點(diǎn) A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.（2）反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明

3、兩線不可能共面，從而可得兩線異面. 三個(gè)作用（1）公理1的作用：檢驗(yàn)平面；判斷直線在平面內(nèi)；由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi).（2）公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個(gè)平面或判斷直線共面”的方法.（3）公理3的作用：判定兩平面相交；作兩平面相交的交線；證明多點(diǎn)共線.【考點(diǎn)自測(cè)】1 .下列命題是真命題的是 （）.A. 空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面B. 空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C. 一條直線和一個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面D. 梯形一定是平面圖形2. 已知a, b是異面直線，直線 c平行于直線a,那么c與b（）.A. 定是異面直線B. 定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線

4、3. （2013浙江）下列命題中錯(cuò)誤的是（）.A. 如果平面a丄平面3那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面3B. 如果平面 a不垂直于平面 3,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面3C. 如果平面 a丄平面 y平面3丄平面 Y aCl 3=丨，那么I丄平面 丫D. 如果平面a丄平面3那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面34. （2014武漢月考）如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線（）.A. 12 對(duì) B . 24 對(duì) C . 36 對(duì) D . 48 對(duì)5. 兩個(gè)不重合的平面可以把空間分成 部分.6. 給出下列四個(gè)命題： 垂直于同一直線的兩條直線互相平行； 垂直于同一平

5、面的兩個(gè)平面互相平行； 若直線I1、12與同一平面所成的角相等，則11、12互相平行； 若直線I1、12是異面直線，則與I1、12都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個(gè)數(shù)（）A. 1B. 2 C. 3D. 47若三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成A. 5部分B. 6部分 C 7部分D. 8部分&如下圖所示，點(diǎn) P, Q R, S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與 RS是異面直線的一個(gè)圖是(AQSB9.三個(gè)不重合的平面可以把空間分成n部分，則n的可能取值為 5.如下圖所示，正方體 ABC A1B1C1D仲,(1)求A1C1與B

6、1C所成角的大??； 若E、F分別為AB AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小.【考點(diǎn)探究】考點(diǎn)一例1正方體ABCDBCD中，P、Q R分別是AB AD BC的中點(diǎn)，那么，正方體的過(guò) P Q R的截面圖形是().A.三角形B 四邊形C 五邊形D 六邊形方:;匸；律門畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個(gè)公共點(diǎn)即可確定作圖時(shí)充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快的確定交線的位置.【訓(xùn)練1】下列如圖所示是正方體和正四面體,考點(diǎn)二異面直線例2如圖所示，AB正方體 ABCDBCD中，M N分別是 AB、BC的中點(diǎn).問(wèn):(1) AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；DB

7、和CC是否是異面直線？說(shuō)明理由.【訓(xùn)練2】 在下圖中，G H M N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH MN是異面直線的圖形CD上的點(diǎn)，且例4正方體ABCD-1BGD中，E、F分別是 AB和AA的中點(diǎn).求證:(1) E、G D、F四點(diǎn)共面;CE DF、DA三線共點(diǎn).【訓(xùn)練4】 如圖所示，已知空間四邊形 ABCDK E、H分別是邊AB AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CF CG 2 CB" CDT 3,求證:三條直線EF GH AC交于一點(diǎn).【作業(yè)】知能演練一、選擇題1 .已知a, b是異面直線，直線 c/直線a,則c與bA. 定是異面直線B. 定是相交直線C.不可能是平行直

8、線D.不可能是相交直線2 四面體每相對(duì)兩棱中點(diǎn)連一直線，則此三條直線A.互不相交B.至多有兩條直線相交C.三線相交于一點(diǎn)D.兩兩相交有三個(gè)交點(diǎn)3 .若P是兩條異面直線I、m外的任意一點(diǎn)，則A.過(guò)點(diǎn)P有且僅有條直線與I、m都平行B.過(guò)點(diǎn)P有且僅有條直線與I、m都垂直C.過(guò)點(diǎn)P有且僅有條直線與I、m都相交D.過(guò)點(diǎn)P有且僅有條直線與I、m都異面4.正四棱柱ABCB ABCD中,AA= 2AB則異面直線 AiB與AD所成角的余弦值為1A. 52B.53C.54 D.5、填空題5.如圖所示，在三棱錐 C-ABD中, E、F分別是 AC和 BD的中點(diǎn)，若 CD= 2AB= 4, EF丄ABEF 與 CD所

9、成的角是4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何體是 .(寫出所有正6 在正萬(wàn)體上任意選擇 4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何體的 確結(jié)論的編號(hào)). 矩形 不是矩形的平行四邊形 有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體 每個(gè)面都是等邊三角形的四面體 每個(gè)面都是直角三角形的四面體三、解答題7 有一矩形紙片ABCD AB= 5, BC= 2, E, F分別是 ABCD上的點(diǎn)，且 BE= CF= 1，如下圖現(xiàn)在把紙片沿EF折成圖形狀，且/ CFD= 90 °DF CAE B口CAE(1) 求BD的距離；(2) 求證：AC BD交于一點(diǎn)且被該點(diǎn)平分.高考模擬預(yù)測(cè)1.正方體ABCB ABCD的棱上到異面

10、直線 AB CC的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知三棱柱 ABC-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線 AB與B. 543D.4CC所成的角的余弦值為A. C.47 3已知正四棱柱 ABCDAiBiCD中，AA = 2AB, E為AA中點(diǎn)，則異面直線 BE與CD所成角的余弦值為4A.1010B.5D.4 空間四邊形 ABC中，各邊長(zhǎng)均為1,若BD= 1，則AC的取值范圍是立體幾何知識(shí)點(diǎn):1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱:幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截

11、 面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺(tái)：幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4） 圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。（5） 圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。（6） 圓臺(tái)：定義：以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)

12、面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。幾何特征：球的截面是圓;（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2） 特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，h為斜高，I為母線）S直棱柱側(cè)面積=chS圓柱側(cè)二2二rh S正棱錐側(cè)面積ch'2S圓錐側(cè)面積=rl1 (S正棱臺(tái)側(cè)面積=2 (ci c2) hS圓柱表=2二r r I(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式2V柱=ShV圓柱=Sh =二 rS圓臺(tái)側(cè)面積-(r R)二1S圓錐表二-T r

13、 1S圓臺(tái)表-： r2 rl RlR2V臺(tái) J(s' + Js'S +S)hV圓臺(tái)3(4)球體的表面積和體積公式：1hV錐Sh3= ；（s'、SS S）h二V 球=tjiR331 2 V圓錐=-r h31 2 2二（r2 rR R2）h 32；S球面=4二R圓錐1、平面及基本性質(zhì) 公理 1 A 三 I, B ：= I, A 三：£, B : =T 二：: 公理 2 若 P 三：；，P ：=,則:-":=a 且 P e .：公理3不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面(推論 1直線和直線外一點(diǎn),2兩相交直線,3兩平行直線)2、空間兩直線的位置關(guān)系共面直線：相交、平行(

14、公理4)異面直線3、異面直線(1) 對(duì)定義的理解：不存在平面：，使得a二：且b =:(2) 判定：反證法(否定相交和平行即共面)( 3)求異面直線所成的角：平移法即平移一條或兩條直線作出夾角，再解三角形向量法 cosB =| cos <a, b a|=丨$ 21|a|b|(注意異面直線所成角的范圍(吒)(4)證明異面直線垂直，通常采用三垂線定理及逆定理或線面垂直關(guān)系來(lái)證明;向量法 a _ b ：= a 2=0(5)求異面直線間的距離：大綱僅要求掌握已給出公垂線或易找出公垂線的有關(guān)問(wèn)題計(jì)算9.2直線與平面的位置關(guān)系1、直線與平面的位置關(guān)系a - ：ja ： ,a： = A2、直線與平面平行

15、的判定b <Z a（1）判定定理：b/a »二ba （線線平行，則線面平行）a c a/ I-一一（2） 面面平行的性質(zhì)：=a/ :（面面平行，則線面平行）a u a J3、直線與平面平行的性質(zhì)a/ 】,a 二"二a/b （線面平行,則線線平行4、直線與平面垂直的判定一 I 丄 G ,（1 ）直線與平面垂直的定義的逆用、二I丄aa匚a J丨丄m, I丄n'（2） 判定定理：m,n= I _（線線垂直，則線面垂直）mn 二 Aa/b '（3）a 丄 a b丄m Jo（丄 0（4） 面面垂直的性質(zhì)定理：=1丄P （面面垂直，則線面垂直）a u c（, a丄

16、丨（5）面面平行是性質(zhì):5、射影長(zhǎng)定理 6、三垂線定理及逆定理線垂影=線垂斜9.3 兩個(gè)平面的位置關(guān)系1、 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系相交和平行2、兩個(gè)平面平行的判定a/o（ b/«1（1） 判定定理：'一./-（線線平行，則面面平行）a,bu E,acb = PI（2）一 ： / ：垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行I -:（3）/ =平行于同一平面的兩個(gè)平面平行3、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)(1)(2)面面平行的性質(zhì)定理:J/Q 咐=a, 一：二 b= a/b （面面平行，則線線平行）(3)性質(zhì)2: : /卩,丨.I性質(zhì) 1 ： 、； / I', a ： = a/ '4、兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)(1)判定定理：a ,a - . = ：.1（線面垂直，則面面垂直）（2）性質(zhì)定理：面面垂直的性質(zhì)定理:a丄P （面面垂直，則線面垂直）a 二：；，a _ I 9.4 空間角1、異面直線所成角22、斜線與平面所成的角（0,）2（1）求作法（即射影轉(zhuǎn)化法）：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足（2）向量法：設(shè)平面:-的法向量為n，則直線AB與平面所成的角為二，則|AB n |. 二sin）-：|cos ： AB, n |（0,）I A