異方差性的概念、類型、后果、檢驗及其修正方法(含案例).（課堂PPT）

1、 在教材在教材P29-32和和P64-65，分別，分別對一元和多元線性回歸模型對一元和多元線性回歸模型提出了若干提出了若干基本假設(shè)基本假設(shè)，只有在滿足這些基本假設(shè)的情況下，只有在滿足這些基本假設(shè)的情況下，應(yīng)用普通最小二乘法才能得到無偏的、有效的參數(shù)估計量。應(yīng)用普通最小二乘法才能得到無偏的、有效的參數(shù)估計量。 但是，在實際的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中，完全滿足這些基本假但是，在實際的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中，完全滿足這些基本假設(shè)的情況并不多見。設(shè)的情況并不多見。 如果違背了某一項基本假設(shè)，那么應(yīng)用普通最小二乘法估如果違背了某一項基本假設(shè)，那么應(yīng)用普通最小二乘法估計模型所得參數(shù)估計量就可能不具有某些優(yōu)良特性，這就需

2、計模型所得參數(shù)估計量就可能不具有某些優(yōu)良特性，這就需要發(fā)展新的方法估計模型。要發(fā)展新的方法估計模型。 本章正是要討論本章正是要討論違背了某一項基本假設(shè)違背了某一項基本假設(shè)的問題及其估計方的問題及其估計方法。法。引引 言言1異方差性異方差性HeteroscedasticityHeteroscedasticity一、異方差性的概念及類型一、異方差性的概念及類型二、異方差性的后果二、異方差性的后果三、異方差性的檢驗三、異方差性的檢驗四、異方差的修正四、異方差的修正五、案例五、案例21.1.什么是異方差？什么是異方差？對于模型 （i=1,2,n） 同方差性假設(shè)同方差性假設(shè)為 Vari()2（i=1,2

3、,n） 如果出現(xiàn) Varii()2（i=1,2,n） 即對于不同的樣本點i ，隨機(jī)誤差項的方差不再是常數(shù)，則認(rèn)為出現(xiàn)了異方差性異方差性。 注意：對于每一個樣本點對于每一個樣本點i，隨機(jī)誤差項，隨機(jī)誤差項 i都是隨機(jī)變量，服都是隨機(jī)變量，服從均值為從均值為0的正態(tài)分布；而方差的正態(tài)分布；而方差 i2衡量的是隨機(jī)誤差項圍繞其衡量的是隨機(jī)誤差項圍繞其均值均值0的分散程度。的分散程度。所以，所以，所謂異方差性，是指這些服從正態(tài)所謂異方差性，是指這些服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量圍繞其均值分布的隨機(jī)變量圍繞其均值0的分散程度不同。的分散程度不同。 一、異方差性的概念及類型一、異方差性的概念及類型iikkiiiX

4、XXY221103異方差性示意圖異方差性示意圖XY概率密度或者，也可以說，對于每一個樣本點對于每一個樣本點i，隨機(jī)誤差項，隨機(jī)誤差項的的方差方差 i2衡衡量的是被解釋變量的觀測值量的是被解釋變量的觀測值Yi圍繞回歸線圍繞回歸線E(Yi)= 0+ 1Xi1+ kXik的分散程度。的分散程度。而而所謂異方差性，是指被解釋變量觀測值的分散所謂異方差性，是指被解釋變量觀測值的分散程度隨樣本點的不同而不同。程度隨樣本點的不同而不同。 【龐皓龐皓P130】42.2.異方差的類型異方差的類型 同方差性同方差性假定是指，每個i圍繞其0均值的方差并不隨解釋變量Xi的變化而變化，不論解釋變量的觀測值是大還是小，每

5、個i的方差保持相同，即 i2 =常數(shù) （i=1,2,n） 在異方差異方差的情況下，i2已不是常數(shù)，它隨Xi的變化而變化，即 i2 =f(Xi) （i=1,2,n） 5 異方差一般可以歸結(jié)為三種類型：異方差一般可以歸結(jié)為三種類型：（1）單調(diào)遞增型： i2=f(Xi)隨Xi的增大而增大；（2）單調(diào)遞減型： i2=f(Xi )隨Xi的增大而減??；（3）復(fù)雜型： i2=f(Xi )隨Xi的變化呈復(fù)雜形式。63.3.實際經(jīng)濟(jì)問題中的異方差性實際經(jīng)濟(jì)問題中的異方差性 在該模型中，在該模型中， i的同方差假定往往不符合實際情況。對高收的同方差假定往往不符合實際情況。對高收入家庭來說，儲蓄的差異較大；低收入家

6、庭的儲蓄則更有規(guī)律入家庭來說，儲蓄的差異較大；低收入家庭的儲蓄則更有規(guī)律性（如為某一特定目的而儲蓄），差異較小。性（如為某一特定目的而儲蓄），差異較小。 因此，因此， i的方差往往隨的方差往往隨Xi的增加而增加，呈的增加而增加，呈單調(diào)遞增型單調(diào)遞增型變化。變化。例例4.1.1： 在截面資料下研究居民家庭的儲蓄行為 Yi=0+1Xi+i Yi和Xi分別為第i個家庭的儲蓄額和可支配收入。7 一般情況下：居民收入服從正態(tài)分布，處于中等收入組中一般情況下：居民收入服從正態(tài)分布，處于中等收入組中的人數(shù)最多，處于兩端收入組中的人數(shù)最少。而人數(shù)多的組的人數(shù)最多，處于兩端收入組中的人數(shù)最少。而人數(shù)多的組平均數(shù)

7、的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。所以樣本觀平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。所以樣本觀測值的測值的觀測誤差隨著解釋變量觀測值的增大而觀測誤差隨著解釋變量觀測值的增大而先減后增先減后增。 例例4.1.2：以絕對收入假設(shè)為理論假設(shè)、以分組數(shù)據(jù)（將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測值）作樣本建立居民消費函數(shù)： Ci= 0+1Yi+i 如果樣本觀測值的觀測誤差構(gòu)成隨機(jī)誤差項的主要部分，那如果樣本觀測值的觀測誤差構(gòu)成隨機(jī)誤差項的主要部分，那么對于不同的樣本點，隨機(jī)誤差項的方差隨著解釋變量觀測值么對于不同的樣本點，隨機(jī)誤差項的方差隨著解釋變量觀測值的增大而的增大而先減后增（先減后

8、增（U形）形），出現(xiàn)了異方差性。，出現(xiàn)了異方差性。8例例4.1.3：以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei產(chǎn)出量為被解釋變量，選擇資本、勞動、技術(shù)等投入要素為解釋變量，那么每個企業(yè)所處的外部環(huán)境每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響被包含在隨機(jī)誤差項中。 由于每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響程度不同，由于每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機(jī)誤差項的異方差性。造成了隨機(jī)誤差項的異方差性。 這時，隨機(jī)誤差項的方差并不隨某一個解釋變量觀測值這時，隨機(jī)誤差項的方差并不隨某一個解釋變量觀測值的變化而呈規(guī)律性變化，為的變化而呈規(guī)律性變化，為復(fù)雜型

9、復(fù)雜型的一種。的一種。9規(guī)規(guī) 律律 一般經(jīng)驗告訴人們：對于采用截面數(shù)據(jù)作樣本的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，由于在不同樣本點（即不同空間）上解釋變量以外的其他因素的差異較大，所以往往存在異方差性。101.1.參數(shù)估計量非有效參數(shù)估計量非有效 當(dāng)計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型出現(xiàn)異方差性時，其普通最小二乘法參數(shù)估計量仍然具有無偏性，但不具有有效性不具有有效性。而且，在大樣在大樣本情況下，本情況下，參數(shù)估計量仍然不具有漸近有效性。仍然不具有漸近有效性。 即同方差和無序列相關(guān)條件。因為在有效性證明（見教材（見教材P70-71）中利用了E() 2I jiCovniVarjii, 0),(, 2 , 1,)(2二、異方差性的后果二、

10、異方差性的后果112.2.變量的顯著性檢驗失去意義變量的顯著性檢驗失去意義在變量的顯著性檢驗中，t統(tǒng)計量 （j=0,1,2,k） 包含有隨機(jī)誤差項共同的方差2。 如果出現(xiàn)了異方差性，而仍按同方差時的公式計算如果出現(xiàn)了異方差性，而仍按同方差時的公式計算t t統(tǒng)計量，將使統(tǒng)計量，將使t t統(tǒng)計量失真統(tǒng)計量失真【偏大或偏小偏大或偏小，見第三版，見第三版P110補(bǔ)補(bǔ)充說明充說明】，從而使，從而使t t檢驗失效檢驗失效【使某些原本顯著的解釋變量使某些原本顯著的解釋變量可能無法通過顯著性檢驗可能無法通過顯著性檢驗，或者，或者使某些原本不顯著的解釋變量使某些原本不顯著的解釋變量可能通過顯著性檢驗可能通過顯著

11、性檢驗】。 122)()(jjjjjjjjjjjXXcSet123.3.模型的預(yù)測失效模型的預(yù)測失效0102)(100XXXXYYSE 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計性質(zhì)； 另一方面， 在預(yù)測值的置信區(qū)間中也包含有隨機(jī)誤差項共同的方差2。 所以，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時，Y預(yù)測區(qū)間的建立將發(fā)生困難，它的預(yù)測功能失效。 其中【書上這句話有點問題】131.1.檢驗方法的共同思路檢驗方法的共同思路 既然既然異方差性異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機(jī)誤差項具有不同的方差，那么：隨機(jī)誤差項具有不同的方差，那么： 檢驗異方差性，也就是檢驗隨機(jī)誤差項的方

12、差與解檢驗異方差性，也就是檢驗隨機(jī)誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的釋變量觀測值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式形式”。 各種檢驗方法正是在這個各種檢驗方法正是在這個共同思路共同思路下發(fā)展起來的。下發(fā)展起來的。 三、異方差性的檢驗三、異方差性的檢驗（教材（教材P111）14問題在于：用什么來表示隨機(jī)誤差項的方差？問題在于：用什么來表示隨機(jī)誤差項的方差？首先采用 OLS 法估計模型，以求得隨機(jī)誤差項的估計量 （注意， 該估計量是不嚴(yán)格的） ， 我們稱之為 “近近似似估估計計量量” ，用ei表示。于是有一般的處理方法：一般的處理方法：VarEeiii()()22即用2ie來表示隨機(jī)誤差

13、項的方差。 lsiiiYYe0)(152.2.圖示檢驗法圖示檢驗法（1）用）用X-Y的散點圖進(jìn)行判斷（的散點圖進(jìn)行判斷（李子奈李子奈P108）看是否存在明顯的散點擴(kuò)大散點擴(kuò)大、縮小縮小或復(fù)雜型復(fù)雜型趨勢趨勢（即不在一個固定的帶型域中）。隨機(jī)誤差項隨機(jī)誤差項 的的方差描述的是方差描述的是 取值的離散程取值的離散程度。而由于被度。而由于被解釋變量解釋變量Y Y與隨與隨機(jī)誤差項機(jī)誤差項 有相有相同的方差，所同的方差，所以利用以利用Y Y與與X X之之間的相關(guān)圖形間的相關(guān)圖形也可以粗略地也可以粗略地看出看出 的離散程的離散程度與度與X X之間是否之間是否有相關(guān)關(guān)系。有相關(guān)關(guān)系。16ei2 ei2 X

14、X 同方差 遞增異方差ei2 ei2 X X 遞減異方差 復(fù)雜型異方差（2）用用X2ie的的散散點點圖圖進(jìn)進(jìn)行行判判斷斷 看是否形成一條看是否形成一條斜率為零斜率為零的直線。的直線。（教材P111）173.3.戈里瑟戈里瑟（Gleiser）檢驗與帕克檢驗與帕克（Park）檢驗檢驗 戈里瑟檢驗與帕克檢驗的思想：戈里瑟檢驗與帕克檢驗的思想： 選 擇關(guān)于 變 量jX的不 同的 函數(shù)形 式（ 如2)(jijiXXf或ivjijieXXf2)(） ，對方程進(jìn) 行估計 并進(jìn)行 顯著性 檢驗 ； 如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方

15、差性。模型存在異方差性。以|e|或ei2為被解釋變量，以原模型的某一解釋變量jX為解釋變量，建立如下方程： ijiiXfe)(| i=1,2,n （Gleiser）或 ijiiXfe)(2 i=1,2,n (Park)由于由于f(Xj)的具體形式未知，因此需要選擇各種形式進(jìn)行試驗。的具體形式未知，因此需要選擇各種形式進(jìn)行試驗。184.4.戈德菲爾德戈德菲爾德- -匡特匡特（Goldfeld-Quandt）檢驗檢驗 G-Q檢驗檢驗以以F檢驗為基礎(chǔ)，僅檢驗為基礎(chǔ)，僅適用于適用于樣本容量較大樣本容量較大、異方差為單調(diào)遞增或單調(diào)遞減異方差為單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的情況。的情況。 G-Q檢驗的思想檢驗的思想

16、： 先按先按某一被認(rèn)為有可能引起異方差的解釋變量某一被認(rèn)為有可能引起異方差的解釋變量對樣對樣本排序，再將排序后的樣本一分為二，對子樣本本排序，再將排序后的樣本一分為二，對子樣本和和子樣本子樣本分別進(jìn)行分別進(jìn)行OLS回歸，然后利用兩個子樣本的回歸，然后利用兩個子樣本的殘差平方和之比構(gòu)造殘差平方和之比構(gòu)造F統(tǒng)計量進(jìn)行異方差檢驗。統(tǒng)計量進(jìn)行異方差檢驗。 19G-Q檢驗的步驟：檢驗的步驟：將將n對樣本觀察值對樣本觀察值(Xi1, Xi2, ,Xik,Yi)按按某一被認(rèn)為有某一被認(rèn)為有可能引起異方差的可能引起異方差的解釋變量觀察值解釋變量觀察值Xij的大小排隊。的大小排隊。將序列中間的將序列中間的c=n

17、/4個觀察值除去，并將剩下的觀個觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的容量相同的兩個子樣本，察值劃分為較小與較大的容量相同的兩個子樣本，每個子樣本的樣本容量均為每個子樣本的樣本容量均為(n-c)/2 。對每個子樣本分別求回歸方程，并計算各自的殘差平方和。將兩個殘差平方和中較小的一個規(guī)定為21ie，較大的一個規(guī)定為22ie。二者的自由度均為12kcn。 20提出假設(shè)：0H：2221，1H：2221 21與22分別為兩個子樣對應(yīng)的隨機(jī)項方差。構(gòu)造統(tǒng)計量 ) 12, 12() 12() 12(2122kcnkcnFkcnekcneFii檢驗。給定顯著性水平，確定F分布表中相應(yīng)的臨界值F（1，

18、2）。 若FF（1，2），則拒絕H0，認(rèn)為存在異方差； 反之，則不存在異方差。 H0成立，意味著同方差；H1成立，意味著異方差。215.5.懷特懷特(White)(White)檢驗檢驗 G-Q檢驗檢驗需按某一被認(rèn)為有可能引起異方差的解釋需按某一被認(rèn)為有可能引起異方差的解釋變量對樣本排序，而且只能檢驗單調(diào)遞增或單調(diào)遞變量對樣本排序，而且只能檢驗單調(diào)遞增或單調(diào)遞減型異方差；減型異方差；懷特懷特(White)檢驗則不需要排序，且對檢驗則不需要排序，且對任何形式的異方差都適用。任何形式的異方差都適用。22懷特懷特(White)(White)檢驗的基本思想與步驟檢驗的基本思想與步驟 下面，以二元回歸為例

19、，說明懷特檢驗的基本思想與步驟：設(shè)回歸模型為：設(shè)回歸模型為：iiiiXXY22110首先，對該模型做普通最小二乘回歸，記殘差為：首先，對該模型做普通最小二乘回歸，記殘差為：lsiiiYYe0)(然后，以上述然后，以上述殘差的平方殘差的平方為被解釋變量，以為被解釋變量，以原模型中各解釋原模型中各解釋變量的水平項、平方項（還可以有更高次項）、交叉項等各變量的水平項、平方項（還可以有更高次項）、交叉項等各種組合種組合為解釋變量，做如下的為解釋變量，做如下的輔助回歸輔助回歸：23iiiiiiiiXXXXXXe215224213221102)(22nR則在同方差性假設(shè)下則在同方差性假設(shè)下【也即也即H0：

20、 1= 5=0 】，該輔助回歸，該輔助回歸方程的可決系數(shù)方程的可決系數(shù)R2與樣本容量與樣本容量n的乘積漸近地服從的乘積漸近地服從自由度自由度 =輔輔助回歸方程中解釋變量個數(shù)助回歸方程中解釋變量個數(shù)【該例該例 = 5】的的 2分布：分布：24懷特懷特(White)(White)檢驗的檢驗的EViewsEViews軟件操作要點軟件操作要點 在在OLS的方程對象的方程對象Equation中，選擇中，選擇View/Residual tests/White Heteroskedasticity。 在選項中，在選項中，EViews提供了提供了包含交叉項的懷特檢驗包含交叉項的懷特檢驗“White Heter

21、oskedasticity（cross terms）”和和沒有交叉項的懷特沒有交叉項的懷特檢驗檢驗“White Heteroskedasticity（no cross terms）” 這樣這樣兩個選擇。兩個選擇。 軟件輸出結(jié)果：最上方顯示兩個檢驗統(tǒng)計量：軟件輸出結(jié)果：最上方顯示兩個檢驗統(tǒng)計量：F統(tǒng)計統(tǒng)計量和量和White統(tǒng)計量統(tǒng)計量nR2；下方則顯示以；下方則顯示以O(shè)LS的殘差平的殘差平方為被解釋變量的方為被解釋變量的輔助回歸方程輔助回歸方程的回歸結(jié)果。的回歸結(jié)果。 以以教材教材P118的例子為例，的例子為例，包含交叉項包含交叉項的懷特檢驗的懷特檢驗“White Heteroskedastic

22、ity（cross terms）”的輸出結(jié)果為的輸出結(jié)果為 ：25懷特懷特檢驗檢驗的軟的軟件輸件輸出界出界面：面：可見，懷特統(tǒng)計量懷特統(tǒng)計量nR2=20.55085【=31 0.662931】，大于自由度自由度 【也即輔輔助回歸方程中解釋變量的個數(shù)助回歸方程中解釋變量的個數(shù)】為5的2分布臨界值11.07，因此，在5%的顯著性水平下拒絕同方差的原假設(shè)。 26四、異方差的修正四、異方差的修正1. 加權(quán)最小二乘法加權(quán)最小二乘法（weighted least squares ）2. 異方差穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤法異方差穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤法（ heteroscedasticity robust standard error

23、）271.1.加權(quán)最小二乘法的基本思想加權(quán)最小二乘法的基本思想 加權(quán)最小二乘法（加權(quán)最小二乘法（Weighted Least SquaresWeighted Least Squares ）：）：是對原是對原模型加權(quán)，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，模型加權(quán)，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估計其參數(shù)。然后采用普通最小二乘法估計其參數(shù)。 例如：例如：在遞增的異方差下，與較小的Xi對應(yīng)的Yi離回歸線較近，殘差ei較??；而與較大的Xi對應(yīng)的Yi離回歸線較遠(yuǎn)，殘差ei較大。為了更可靠地估計總體回歸函數(shù)，我們應(yīng)該給為了更可靠地估計總體回歸函數(shù)，我們應(yīng)該給那些緊密圍繞其（

24、總體）均值的觀測值較大的權(quán)數(shù)，而給那些緊密圍繞其（總體）均值的觀測值較大的權(quán)數(shù)，而給那些遠(yuǎn)離其均值的觀測值較小的權(quán)數(shù)。那些遠(yuǎn)離其均值的觀測值較小的權(quán)數(shù)。古扎拉蒂古扎拉蒂P355（一）（一）加權(quán)最小二乘法加權(quán)最小二乘法28 于是，我們可以于是，我們可以 對較小的殘差平方ei2賦予較大的權(quán)數(shù)， 對較大的殘差平方ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。 加權(quán)最小二乘法加權(quán)最小二乘法就是對加了權(quán)重的殘差平方和就是對加了權(quán)重的殘差平方和實施實施OLS法：法：21102)(kkiiiiXXYWeW 最小最小29 例如：如果在檢驗過程中已經(jīng)知道：如果在檢驗過程中已經(jīng)知道：2.2.一個例子一個例子（重要！）（重要?。?22)(

25、)()(jiiiiXfEVar即隨機(jī)誤差項的方差與解釋變量jX之間存在相關(guān)性。 那么，可以用)(jiXf去除原模型，使之變成如下形式的新模型： 30ijiijijiijiXXfXXfXfYXf22110)(1)(1)(1)(1ijikijikXfXXf)(1)(1 i=1,2,n 在該模型中，存在在該模型中，存在 即滿足同方差性。即滿足同方差性。 于是可以用普通最小二乘法估計其參數(shù)，得到關(guān)于參數(shù)k,10的無偏的、有效的估計量。 這就是加權(quán)最小二乘法。這就是加權(quán)最小二乘法。 在這里，權(quán)數(shù)為 。 )(1jiXf222)()(1)()(1)(1jijiijiijiXfXfVarXfXfVar注意：注

26、意：將這里的權(quán)數(shù)平方之后，才是對殘差平方加權(quán)的權(quán)數(shù)。31 【第三版P114補(bǔ)充】可見，實施加權(quán)最小二乘法的關(guān)鍵是尋找適當(dāng)?shù)摹皺?quán)”，或者說尋找模型中隨機(jī)干擾項的方差與解釋變量間的適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)形式。 如果發(fā)現(xiàn)),(),(21221ikiiikiiiXXXfXXXVar 那么，加權(quán)最小二乘法的“權(quán)”即為),(/121ikiiXXXf（注意：其中的（注意：其中的 2完全可以是完全可以是1）注意：注意：這里的“權(quán)”仍然是指用來乘原模型兩邊的“權(quán)”，相當(dāng)于對原模型的殘差ei加權(quán)。將這里的權(quán)數(shù)平方之后，才是對原模型的殘差平方ei2加權(quán)的權(quán)數(shù)。32 那么，可以用 作為權(quán)數(shù)，去乘原模型的兩邊，得到下面的模型： 補(bǔ)

27、充補(bǔ)充 特別地，如果像教材P111(4.1.4)式那樣，近似地有VarEeiii()()22iiee112 該模型滿足同方差性，可以用普通最小二乘法估計：iikiikiiiiiiieXeXeXeeYe111111221101111222iiiiiieeVareeVar i=1,2,n 33 選 擇 加 權(quán) 最 小 二 乘 法 ， 以ie1序 列 作 為 權(quán) ， 進(jìn) 行 估計 得 到 參 數(shù) 估 計 量 。 選 擇 普 通 最 小 二 乘 法 估 計 原 模 型 ， 得 到 隨 機(jī) 誤 差 項的 近 似 估 計 量ie； 建 立ie1的 數(shù) 據(jù) 序 列 ； EviewsEviews軟件中的加權(quán)最

28、小二乘法（軟件中的加權(quán)最小二乘法（WLSWLS）正是這樣設(shè)）正是這樣設(shè)計的：計的： （）所以，Eviews軟件中WLS法的“權(quán)”，是指對原模型兩邊加權(quán)的“權(quán)”，而不是對原模型的殘差平方ei2加權(quán)的權(quán)數(shù)。343.3.一般情況一般情況（只需了解其思想。第三版已刪掉，（只需了解其思想。第三版已刪掉，跳過跳過）對于模型Y=XB+N如果存在 其中 W wwwn12即存在異方差性異方差性：Var( i)= 2wi （i=1,2,n）W2)()(0)(ECovVarE補(bǔ)充：補(bǔ)充：設(shè)設(shè)A為一個實系數(shù)對稱矩陣，如果對任何一個非零實向量為一個實系數(shù)對稱矩陣，如果對任何一個非零實向量X，都使二次型，都使二次型XAX

29、正定（也即大于正定（也即大于0），那么），那么A稱為稱為正定矩陣正定矩陣。35那么，那么，由于由于W是一正定矩陣，存在一個可逆矩陣是一正定矩陣，存在一個可逆矩陣D，使得，使得 WDD顯然nwwwD21nwwwD111121D Y D XD111記作YX*該模型具有同方差性：該模型具有同方差性： 因為EE()()*DD11IDDDDWDDDD212112111)(E用用D-1左乘原模型左乘原模型Y=XB+N兩邊，可以得到一個新的模型：兩邊，可以得到一個新的模型： 36 這就是原模型的加權(quán)最小二乘估計量，它是無偏、這就是原模型的加權(quán)最小二乘估計量，它是無偏、有效的。有效的。于是，可以用普通最小二乘

30、法估計新模型，得到參可以用普通最小二乘法估計新模型，得到參數(shù)估計量，為：數(shù)估計量，為： ()*X XX Y1YDDXXDDX11111)(YWXXWX111)(這里這里權(quán)矩陣權(quán)矩陣為為D-1-1，它來自于矩陣，它來自于矩陣W 。374.4.如何得到權(quán)矩陣如何得到權(quán)矩陣D-1-1？ 從上述推導(dǎo)過程可以看出，D-1-1來自于原模型的隨機(jī)誤差項N的方差-協(xié)方差矩陣Var-Cov(N)= 2W，因此仍然可以對原模型首先采用OLS法，得到隨機(jī)誤差項的近似估計量，以此構(gòu)造W的估計量，進(jìn)而得到權(quán)矩陣D-1-1。neeeD21neeeD11112122221neeeW即（假定（假定 2=1，這是完全可以的），

31、這是完全可以的）38總結(jié)：總結(jié)：加權(quán)最小二乘法的具體步驟加權(quán)最小二乘法的具體步驟（） 選擇加權(quán)最小二乘法，以ie1序列作為權(quán)，進(jìn)行估計得到參數(shù)估計量。 選擇普通最小二乘法估計原模型， 得到隨機(jī)誤差項的近似估計量ie； 建立ie1的數(shù)據(jù)序列； 注意：注意：用手工加權(quán)得到用手工加權(quán)得到WLS法的結(jié)果法的結(jié)果，即先用GENR命令生成新序列E（殘差的絕對值）及YE（即Y/E）、CE（即1/E）、XE （即X/E），然后用OLS法估計，得到WLS法的結(jié)果。要求能寫出有關(guān)的命令格式。39注注 意意 在實際建模過程中，在實際建模過程中，人們通常人們通常并不對原模型進(jìn)并不對原模型進(jìn)行異方差性檢驗，而是直接選擇

32、加權(quán)最小二乘法，行異方差性檢驗，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時。尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時。 如果確實存在異方差，則被有效地消除了；如果確實存在異方差，則被有效地消除了； 如果如果不存在異方差不存在異方差，則加權(quán)最小二乘法，則加權(quán)最小二乘法等價于等價于普通最小二乘法。普通最小二乘法。401.1.異方差穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤法的基本思想異方差穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤法的基本思想 異方差穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤法（heteroscedasticity robust standard error）：）：該方法由懷特（White）于1980年提出，是指先采用普通最小二乘法估計原模型，然后用殘差的平方作為相應(yīng)的隨機(jī)誤差

33、項方差的代表，對參數(shù)估計量的方差或標(biāo)準(zhǔn)誤差進(jìn)行修正。 見教材見教材P115-116。不要求，從略。不要求，從略。（二）異方差穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤法（二）異方差穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤法41五、案例五、案例1 （補(bǔ)充）（補(bǔ)充） 某地區(qū)居民儲蓄模型某地區(qū)居民儲蓄模型42某地區(qū)某地區(qū)31年來居民收入與儲蓄額數(shù)據(jù)表年來居民收入與儲蓄額數(shù)據(jù)表 單位：萬元 年份 居民收入 (X) 儲蓄 (Y) 年份 居民收入 (X) 儲蓄 (Y) 年份 居民收入 (X) 儲蓄 (Y) 1968 8777 264 1979 17663 950 1990 29560 2105 1969 9210 105 1980 18575 779 1991 28

34、150 1600 1970 9954 90 1981 19535 819 1992 32100 2250 1971 10508 131 1982 21163 1222 1993 32500 2420 1972 10979 122 1983 22880 1072 1994 35250 2570 1973 11912 107 1984 24127 1578 1995 33500 1720 1974 12747 406 1985 25604 1654 1996 36000 1900 1975 13499 503 1986 26500 1400 1997 36200 2100 1976 14269 4

35、31 1987 27670 1829 1998 38200 2300 1977 15522 588 1988 28300 2200 1978 16730 898 1989 27430 2017 431.1.普通最小二乘估計普通最小二乘估計直接使用OLS法，得到： XY0846. 060.665（-5.87） （18.04）R2=0.9182 442.2.異方差檢驗異方差檢驗050010001500200025003000050001000015000200002500030000350004000045000XY（1 1）圖示檢驗）圖示檢驗45 G-Q檢驗檢驗【這里沒有按這里沒有按X X排序，

36、是因為排序，是因為X X是逐年增大的是逐年增大的】求兩個子樣本（n1 =n2 =12）回歸方程的殘差平方和RSS1與RSS2 ；對第 1 個子樣本（19681979） ：XY0954.058.8231 (- 4.864) (7.300)2R=0.842, 1RSS=2ie=162899.2對 第 2 個 子 樣 本 （ 19871998） ： 2Y= 1141.07 + 0.0294 X （ 1.607） （ 1.337） R2=0.1517 RSS2 =2ie=769899.2 46計算F統(tǒng)計量 F=RSS2/RSS1=769899.2/162899.2=4.726查表 在5%的顯著性水平下

37、，第1和第2自由度均為（31-7）/2-2=10的F分布臨界值為 F0.05(10,10)=2.97 由于 F=4.726 F0.05(10,10)= 2.97因此，否定兩組子樣本的方差相同的假設(shè)，從而該總體隨機(jī)誤差項存在總體隨機(jī)誤差項存在遞增型遞增型異方差異方差。47 Park Park檢驗檢驗 顯然，lnXi前的參數(shù)在統(tǒng)計上是顯著的，表明原模型存在異方差表明原模型存在異方差。 對直接使用 OLS 法估計的殘差項的平方2ie進(jìn)行如下一般形式的回歸：iiivXelnln2得： iiivXeln81. 299.17ln2 t （-2.89） (4.48) 2R=0.4093483.3.異方差模型

38、的估計異方差模型的估計設(shè)異方差222iiX， 以iiXXf)(去除原模型兩邊，得新模型*1*0*XY其中iXYY/*，iXX/1*，iX/*運用 OLS 法得 086. 05 .708*XY (-10.21) (20.63) 2R=0.782549則原模型估計為：XY086. 05 .708 (-10.21) (20.63) 2R=0.7825 與與OLS估計結(jié)果相比較，擬合效果估計結(jié)果相比較，擬合效果更差更差 。 為什么？為什么？ 關(guān)于異方差形式的假定可能存在問題。關(guān)于異方差形式的假定可能存在問題。50與與OLS估計結(jié)果相比較，擬合效果更好估計結(jié)果相比較，擬合效果更好 。如果用估計的ei2作

39、為矩陣 W 的主對角線元素，即相當(dāng)于用| /1ie為權(quán)重進(jìn)行加權(quán)最小二乘估計（WLS） ，則有XY0857.006.686 (-29.14) (43.59) 2R=0.992551五、案例五、案例2 2（補(bǔ)充）（補(bǔ)充） 中國消費函數(shù)模型中國消費函數(shù)模型52中國消費函數(shù)模型（中國消費函數(shù)模型（二元回歸）二元回歸） 根據(jù)消費模型的一般形式，選擇消費總額為被解釋變量被解釋變量，國內(nèi)生產(chǎn)總值和前一年的消費總額為解釋變量解釋變量，變量之間關(guān)系為簡單線性關(guān)系，選取1981年至1996年統(tǒng)計數(shù)據(jù)為樣本觀測值。 53 中國消費數(shù)據(jù)表 單位：億元 年 份 消費總額 國內(nèi)生產(chǎn)總值前一年消費額 年 份 消費總額 國

40、內(nèi)生產(chǎn)總值 前一年消費額198133094901297619891055616466936019823638548933091990113621832010556198340216076363819911314621280113621984469471644021199215952258641314619855773879246941993201823450115952198665421013357731994272164711120182198774511178465421995345295940527216198893601470474511996401726849834529541. O

41、LS估計結(jié)果估計結(jié)果Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 08/15/05 Time: 21:49 Sample: 1981 1996 Included observations: 16 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 540.5286 84.30153 6.411848 0.0000 X1 0.480948 0.021861 22.00035 0.0000 X2 0.198545 0.047409 4.187969 0.0011 R-squared 0.999

42、773 Mean dependent var 13618.94 Adjusted R-squared 0.999739 S.D. dependent var 11360.47 S.E. of regression 183.6831 Akaike info criterion 13.43166 Sum squared resid 438613.2 Schwarz criterion 13.57652 Log likelihood -104.4533 F-statistic 28682.51 Durbin-Watson stat 1.450101 Prob(F-statistic) 0.00000

43、0 552. WLS2. WLS估計結(jié)果估計結(jié)果Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 08/15/05 Time: 21:37 Sample: 1981 1996 Included observations: 16 Weighting series: E Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 518.2881 20.52620 25.25008 0.0000 X1 0.483814 0.003607 134.1348 0.0000 X2 0.193525 0.0084

44、64 22.86477 0.0000 Weighted Statistics R-squared 0.999999 Mean dependent var 19943.81 Adjusted R-squared 0.999999 S.D. dependent var 40730.31 S.E. of regression 47.58574 Akaike info criterion 10.73030 Sum squared resid 29437.23 Schwarz criterion 10.87516 Log likelihood -82.84243 F-statistic 980736.2

45、 Durbin-Watson stat 1.810471 Prob(F-statistic) 0.000000 注：這里的權(quán)數(shù)E（也可以用別的符號）為OLS估計的殘差項的絕對值的倒數(shù)。563.3.比較比較R2 : 0.999739 0.999999F: 28682 980736e2: 438613 29437 t: 6.4 22.0 4.2 25.2 134.1 22.9D.W.: 1.45 1.81各項統(tǒng)計檢驗指標(biāo)全面改善各項統(tǒng)計檢驗指標(biāo)全面改善!57五、案例五、案例3中國農(nóng)村居民人均消費函數(shù)模型中國農(nóng)村居民人均消費函數(shù)模型 見第三版教材P116-120例4.1.4，也是一個非常好的案例（僅

46、僅是把第二版的2001年數(shù)據(jù)替換成了2006年的數(shù)據(jù)）。 主要的EViews軟件輸出結(jié)果如下：58全樣本的OLS回歸Dependent Variable: LNYMethod: Least SquaresDate: 05/02/11 Time: 18:07Sample: 1 31Included observations: 31VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C3.2660681.0415913.1356530.0040LNX10.1502140.1085381.3839750.1773LNX20.4774530.0515959.25

47、38530.0000R-squared0.779878 Mean dependent var7.928613Adjusted R-squared0.764155 S.D. dependent var0.355750S.E. of regression0.172766 Akaike info criterion-0.581995Sum squared resid0.835744 Schwarz criterion-0.443222Log likelihood12.02092 F-statistic49.60117Durbin-Watson stat1.699959 Prob(F-statisti

48、c)0.000000軟件操作：create u 1 31data y x1 x2genr lny=log(y)genr lnx1=log(x1)genr lnx2=log(x2) ls lny c lnx1 lnx259懷特檢驗的軟懷特檢驗的軟件輸出界面：件輸出界面：可見，懷特統(tǒng)計量懷特統(tǒng)計量nR2=20.55085【=31 0.662931】，大于自由度自由度 【也即輔輔助回歸方程中解釋變量的個數(shù)助回歸方程中解釋變量的個數(shù)】為5的2分布臨界值11.07，因此，在5%的顯著性水平下拒絕同方差的原假設(shè)。 在在OLS方程對象窗方程對象窗口中，選擇口中，選擇view / Residual test

49、/ White Heteroskedasticity。Eviews提供了包含包含交叉項的懷特異方交叉項的懷特異方差檢驗差檢驗“White Heteroskedasticity（cross terms）”和沒有交叉項的懷沒有交叉項的懷特異方差檢驗特異方差檢驗“White Heteroskedasticity（no cross terms）”這樣兩個選項。 60按按lnx2排序后，子樣本排序后，子樣本1的的OLS回歸回歸Dependent Variable: LNYMethod: Least SquaresDate: 05/02/11 Time: 18:08Sample: 1 12Included

50、 observations: 12VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C3.1412081.1223582.7987570.0208LNX10.3983850.0787915.0562340.0007LNX20.2347510.1097472.1390090.0611R-squared0.739693 Mean dependent var7.700532Adjusted R-squared0.681847 S.D. dependent var0.156574S.E. of regression0.088316 Akaike info cr

51、iterion-1.803481Sum squared resid0.070197 Schwarz criterion-1.682255Log likelihood13.82089 F-statistic12.78726Durbin-Watson stat1.298449 Prob(F-statistic)0.002343按按lnx2排序的操作：排序的操作：data T （用于還原）sort lnx2子樣本子樣本1的操作：的操作：smpl 1 12ls lny c lnx1 lnx261按按lnx2排序后，子樣本排序后，子樣本2的的OLS回歸回歸Dependent Variable: LNYM

52、ethod: Least SquaresDate: 05/02/11 Time: 18:10Sample: 20 31Included observations: 12VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C3.9936441.8840542.1197080.0631LNX1-0.1137660.159962-0.7112050.4950LNX20.6201680.1116545.5543800.0004R-squared0.876931 Mean dependent var8.239746Adjusted R-squared0.84958

53、2 S.D. dependent var0.375812S.E. of regression0.145754 Akaike info criterion-0.801478Sum squared resid0.191197 Schwarz criterion-0.680251Log likelihood7.808868 F-statistic32.06485Durbin-Watson stat2.565362 Prob(F-statistic)0.000080子樣本子樣本2的操作：的操作：smpl 20 31ls lny c lnx1 lnx262將數(shù)據(jù)還原（包括樣本區(qū)間還原、數(shù)據(jù)順序還原），再

54、將數(shù)據(jù)還原（包括樣本區(qū)間還原、數(shù)據(jù)順序還原），再采用采用WLS法回歸法回歸Dependent Variable: LNYMethod: Least SquaresDate: 05/02/11 Time: 18:14Sample: 1 31Included observations: 31Weighting series: WVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C3.3265760.17357219.165430.0000LNX10.1509450.0248196.0818320.0000LNX20.4678640.00978247.830

55、950.0000Weighted StatisticsR-squared0.999984 Mean dependent var7.895881Adjusted R-squared0.999983 S.D. dependent var10.29463S.E. of regression0.042488 Akaike info criterion-3.387401Sum squared resid0.050548 Schwarz criterion-3.248628Log likelihood55.50472 F-statistic1325.761Durbin-Watson stat1.78037

56、7 Prob(F-statistic)0.000000其中，w=1/abs(resid)數(shù)據(jù)還原的操作：數(shù)據(jù)還原的操作：smpl 1 31sort TWLS的軟件操作：的軟件操作：ls lny c lnx1 lnx2genr w=1/abs(resid)然后，用菜單實現(xiàn)WLS63手工加權(quán)的回歸結(jié)果手工加權(quán)的回歸結(jié)果其中，E=abs(resid)，LNYE=LNY/E，CE=1/E，LNX1E=LNX1/E，LNX2E=LNX2/EDependent Variable: LNYEMethod: Least SquaresDate: 05/02/11 Time: 19:18Sample: 1 31Included observations: 31VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. CE3.3265760.17357219.165430.0000LNX1E0.1509450.0248196.0818320.0000LNX2E0.46