立體幾何所有公式,定理,公立,結(jié)論及其幾何表示(全面版)資料

1、立體幾何所有公式，定理，公立，結(jié)論及其幾何表示（全面版）資料直線、平面、簡單幾何體空間的直線與平面平面的基本性質(zhì)：知識點(diǎn)圖形表示文字描述符號表達(dá)平行公理過直線外一點(diǎn)有且只有一 條直線和這條直線平行。A a 過A有且只有一 條直線b,使得b/ a公理1/如果一條直線的兩點(diǎn)在一 個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上 的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。A,BAB公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共 點(diǎn)，那么它們還有其他的公 共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是 一條直線。Al,且 Al公理3r經(jīng)過不在同一條直線上的 三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面公理4平行于冋一條直線的的兩 條直線互相平行。a/b,b/ca/ c推論1/ /經(jīng)

2、過一條直線和直線外的 一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面推論2經(jīng)過兩條相交直線有且只 有一個(gè)平面兩相交直線確定一個(gè)平面推論3/ /經(jīng)過兩條平行直線有且只 有一個(gè)平面兩平行直線確定一個(gè)平面空間圖形 的直觀圖 畫法斜二測畫法等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一 個(gè)角的兩邊分別平行并且方 向相同,那么這兩個(gè)角相等。ABC和 EFG中，邊BA/FE且方向相同，邊 BC/FG且方向相同，貝UABC = EFG異面直線 的定義不同在任何一個(gè)平面的內(nèi) 的兩條直線叫做異面直線。異面直線 的判定定 理連結(jié)平面內(nèi)與平面外一點(diǎn) 的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng) 過此點(diǎn)的直線是異面直線。a, A, A a ；B, A

3、B與a是異面直線異面直線 所成的角a與b是異面直線，a'b'且a與b'相交，則a與b'的 夾角就是a與b異面直線所成的角。二平行：線面平行（一）三者之間的互相轉(zhuǎn)化：“線線平行面面平行線面平行 的判定定 理如果不在同一個(gè)平面內(nèi)的 一條直線和平面內(nèi)的一條 直線平行，那么這條直線和a, b, a/ ba/這個(gè)平行平行。線面平行 的性質(zhì)定 理如果一條直線和一個(gè)平面 平行，經(jīng)過這條直線的平面 和這個(gè)平面相交，那么這條 直線和交線平行。a/ , a,ba b面面平行 的判定定 理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相 交直線分別平行于另外一 個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平 行。a, b,a b

4、A；且 a/ ,b/面面平行 的判定定 理的推論如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相 交直線分別平行于另一個(gè) 平面內(nèi)的兩條直線，那么這 兩個(gè)平面平行。a, b,a b A ；且 a',b'；且 a/a'，b/b'/面面平行 的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與 第三個(gè)平面相交，那么它們 的交線平行。/ ,aa/面面平行 的性質(zhì)如果兩個(gè)平面平行，那么其 中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條 直線必平行于另一個(gè)平面/ ,a,b a/b（二）平行中的“存在性 與 唯一性過直線外一點(diǎn)作該直線的平行線有且只有一條。過平面外一點(diǎn)作該平面的平行平面有且只有一條。過異面直線中的一條作另一條直線的平行平面有且只

5、有一個(gè)。分別過兩條異面直線中的一條作另一條的平行平面，那么這兩個(gè) 平行平面是存在且唯一的。（三）平行傳遞性:平行于冋一直線的兩直線平行。a/b,b/c a/c平行于冋一平面的兩平面平行。/ , / /一條直線與一平面冋時(shí)平行于另 一平面，則該直線與另一平面平 仃或在另一平面內(nèi)。a/ , /a/ ,或a若一直線與一平面冋時(shí)平行與另 一直線，則另一直線與該平面平 行或在該平面內(nèi)。a/b,b/a/ ,或a弋也第十九講平面幾何中的幾個(gè)著名定理幾何學(xué)起源于土地測量，幾千年來，人們對幾何 學(xué)進(jìn)行了深入的研究，現(xiàn)已發(fā)展成為一門具有嚴(yán)密的 邏輯體系的數(shù)學(xué)分支人們從少量的公理出發(fā)，經(jīng)過 演繹推理得到不少結(jié)論，這

6、些結(jié)論一般就稱為定理.平 面幾何中有不少定理，除了教科書中所闡述的一些定 理外，還有許多著名的定理，以這些定理為基礎(chǔ)，可 以推出不少幾何事實(shí)，得到完美的結(jié)論，以至巧妙而 簡捷地解決不少問題而這些定理的證明本身，給我 們許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對開闊眼界、活躍思 維都頗為有益有些定理的證明方法及其引伸出的結(jié) 論體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美，使人們感到對這些定理的理解也 可以看作是一種享受下面我們來介紹一些著名的定 理.1 梅內(nèi)勞斯定理亞歷山大里亞的梅內(nèi)勞斯（Menelaus,約公元100 年，他和斯巴達(dá)的Menelaus是兩個(gè)人）曾著球面論， 著重討論球面三角形的幾何性質(zhì).以他的名子命名的“梅內(nèi)勞斯定理”現(xiàn)

7、載在初等幾何和射影幾何的書中， 是證明點(diǎn)共線的重要定理.定理一直線與厶ABC的三邊AB，BC，CA或延 長線分別相交于X，丫，Z,貝UYC ZA證 過A，B，C分別作直線XZY的垂線，設(shè)垂足 分別為Q，P，S,見圖3-98.由厶AXQ BXP得E j *同理將這三式相乘，得BY .BP_ csYCcsZAAX _ AQ31K 說明如果直線與 ABC的邊都不相交，而相 交在延長線上，同樣可證得上述結(jié)論，但一定要有交 點(diǎn)，且交點(diǎn)不在頂點(diǎn)上，否則定理的結(jié)論中的分母出 現(xiàn)零，分子也出現(xiàn)零，這時(shí)定理的結(jié)論應(yīng)改為AX X BY X CZ=XB X YC X ZA，仍然成立.(2)梅內(nèi)勞斯定理的逆定理也成立

8、，即“在厶 ABC 的邊AB和AC上分別取點(diǎn)X，Z,在BC的延長線上取點(diǎn) 丫，如果KE YC ZA那么X，丫，Z共線” 梅內(nèi)勞斯定理的逆定理常被用 來證明三點(diǎn)共線.例1已知 ABC的內(nèi)角/ B和/ C的平分線分別 為BE和CF，Z A的外角平分線與BC的延長線相交于 D，求證：D，E，F(xiàn)共線.證如圖3 -99有AJCfi.BC'AEFCBBCB- EAAB '相乘后得例2（戴沙格定理）在厶ABC和厶A ' B ' C'中, 若AA BB CC '相交于一點(diǎn)S,J則AB與A ' B ' BC與B ' C', AC與A

9、 ' C'的交點(diǎn)F, D , E共線.1Q 3'1證 如圖3- 100,直線FA ' B '截厶SAB，由梅 內(nèi)勞斯定理有SA7" AF ： EE/A'A PE_同理，直線EC ' A '和DC ' B '分別截 SAC和厶 SBC,得A3 OC' Ek SB/x ED y CCf _KB DC 麗一.將這三式相乘得FIL 衛(wèi) EA JL所以D, E, F共線.2 塞瓦定理意大利數(shù)學(xué)家塞瓦（G. Ceva）在 1678年發(fā)表了下面 的十分有用的定理，它是證明共點(diǎn)線的重要定理.定理 在厶ABC內(nèi)任取

10、一點(diǎn)P,直線AP, BP, CP 分別與邊BC, CA , AB相交于D, E, F,貝U證 如圖3101,過B, C分別作直線AP的垂線, 設(shè)垂足為H和K，則由于 BHDCKD，所以ED EH同理可證將這三式相乘得曲、Cf A?DC kA ' FB說明 如果P點(diǎn)在 ABC外，同樣可證得上述 結(jié)論，但P點(diǎn)不能在直線AB，BC，CA上，否則，定理 的結(jié)論中的分母出現(xiàn)零，分子也出現(xiàn)零，這時(shí)，定理 的結(jié)論應(yīng)改為BD X CEX AF=DC X EAX FB,仍然成立.(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在厶 ABC的邊 BC，CA，AB上分別取點(diǎn)D，E，F(xiàn),如果 ,DC Ea PE '

11、那么直線AD，BE，CF相交于同一點(diǎn).證 如圖3- 102,設(shè)AD和BE相交于P,作直線CP, 交直線AB于F',由塞瓦定理得匹二牯竺"D'? JiA 卩出由中聯(lián)升越聽以AF- AF麗'由S沁得斗驢-罠;巴即F爭F0肛.A>I吊耐所以 F' B=FB,即F'與F重合，所以AD , BE, CF相交于同一點(diǎn).塞瓦定理的逆定理常被用來證明三線共點(diǎn).例3求證：三角形的三條中線、三條內(nèi)角平分線 和三條高所在的直線分別相交于同一點(diǎn).證 如果D, E, F分別是 ABC的邊BC, CA, AB的中點(diǎn)，貝UBD CE AF ED CE AfDC Ea

12、F£ B£ Ct AJ由塞瓦定理的逆定理得中線AD , BE, CF共點(diǎn).如果D, E, F分別是 ABC的內(nèi)角平分線AD , BE, CF與邊BC , CA , AB的交點(diǎn)，貝UDC Jia PE AC JIA K?'由塞瓦定理的逆定理得角平分線 AD , BE , CF共點(diǎn).(3)設(shè)D , E , F分別是 ABC的高AD, BE , CF的 垂足.JAm 3-(B(i) 當(dāng)厶ABC是銳角三角形時(shí)(如圖3- 103), D, E, F分別在BC, CA , AB上，有BD=ccosB, DC=bcosC, CE=acoscEA=ccosA, AF=bcosA ,

13、 FB=acosB, 所以DC Ek EB bc&ECacosCc cosAbc*3 A由塞瓦定理的逆定理得高AD , BE, CF共點(diǎn).(ii) 當(dāng)厶ABC是鈍角三角形時(shí)，有BD=ccosB, DC=bcosC, CE=acosC,EA=ccos(180° -A)=-ccosA,AF=bcos(180° -A)=-bcosA,FB=acosB,所以BD CE、. AF c casB ac&aC -DC EA由塞瓦定理的逆定理，得高AD , BE, CF共點(diǎn).(iii) 當(dāng)厶ABC是直角三角形時(shí)，高AD , BE, CF都 經(jīng)過直角頂點(diǎn)，所以它們共點(diǎn).例4在

14、三角形ABC的邊上向外作正方形,Ai ,Bi , Ci是正方形的邊BC , CA , AB的對邊的中點(diǎn),證明：直線AAi , BBi , CCi相交于一點(diǎn).陽 J-LW證 如圖3-i04.設(shè)直線AAi , BBi, CCi與邊BC ,CA , AB的交點(diǎn)分別為A2 , B2 , C2 ,那么BA2： A2C等于從點(diǎn)B和C到邊AAi的垂線的長度之比，即BAAE' * BAj * sm NABAi忑-g誠入紀(jì),0十?dāng)刿?AB , znfNB+E眄AC anfZE h Zlf)其中/B =Z CBA1=Z BCA1.同理EJL ' Afi bbZA +Zfl)ACj AC , io【

15、厶 + 么)CjS 昶”綱厶)將上述二式相乘得E 一企.A3C 2jA ©3根據(jù)塞瓦定理的逆定理，得AA1，BB1，CC1共點(diǎn).3 斯臺沃特定理S > La定理 ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D，若BD=u，DC=v，AD=t，貝U7 b3U + GJVI 11 億a證 過A作AE丄BC，E為垂足(如圖3 - 105)，設(shè)DE=x，則有AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，(若E在BC的延長線上，則v-x換成x-v.)于是得I1 >b3 -w1 *2ax,? - J - 2w.消去x得(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，na - £占1

16、亡-J *這就是中線長公式.當(dāng)AD是厶ABC的內(nèi)角平分線時(shí)，由三角形的內(nèi) 角平分線的性質(zhì)bc(Ltc)f 7<b * c?若設(shè)AD=ha，則bc(b + c 4 a)(b 4- c - a.)設(shè)a+b+c=2p，得這就是內(nèi)角平分線長公式.(3)當(dāng)AD是厶ABC的高時(shí)，AD2=b2-u2=c2-v2.再由u+v=a，解得h. -J-；2pV+2ba? + 2t3aa-fe, -t這就是三角形的高線長公式.當(dāng)D在BC的延長線上時(shí), 用-v代替V，同樣可得高線長線公式.何由升5-“讓.E得氐耐-扌J卅b" +卅 J +_ J f u*.這就是三角形的面積公式.倫公式皆血-Jp m -

17、可也-町邛t>-E j I jo例5 如圖3- 106.在厶ABC中，c>b, AD是厶ABC的角平分線，E在BC上, BE=CD .求證:因?yàn)锳D是角平分線，所以UC H "V C M b対b " ift -* b '于是-AJJ4-b3) -Ct ba.c * &4.托勒密定理托勒密（Ptolemy,約公元85165年）是古代天文學(xué) 的集大成者.一般幾何教科書中的“托勒密定理”（圓 內(nèi)接四邊形的對邊積之和等于對角線之積），實(shí)出自依 巴谷（Hipparchus）之手，托勒密只是從他的書中摘出。 從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列 的

18、三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基 本性質(zhì).定理 如果四邊形內(nèi)接于圓，那么它的兩對對邊的乘積之和等于它的對角線的乘積.SI證 設(shè)四邊形ABCD有外接圓O, AC和BD相交于 P, / CPD=a （圖3- 107）.若四邊形ABCD的四邊都相 等，則四邊形ABCD為圓內(nèi)接菱形，即正方形，結(jié)論 顯然成立.若四邊不全相等，不失一般性，設(shè)/ BD，于是 ABD EDB，從而 AD=BE .4acxbdx aaai*又E叭A科皿-'PE X EC + DE X CD） sda ZEBC.而 S四邊形ABCD=S四邊形BCDE，所以=y ed x gg£即（AD x BC+A

19、B x CD）si n / EBC=AC x BD x sin a.由于Za =Z DAC+ / ADB= / DBC+ / EBD= / EBC，所以AD x BC+AB x CD=AC x BD .說明（1）托勒密定理可以作如下推廣：“在凸四邊形ABCD中，AB x CD+AD x BC> AC x BD .當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形時(shí)，等號成立.由此可知，托勒密定理的逆定理也成立.托勒密定理的證明方法很多，這里采用的是面 積證法.還可采用相似三角形或余弦定理證明，請讀者自行完成.例6如圖3- 108.過A的圓截平行四邊形ABCD 的邊和對角線分別于P, Q, R,求證：A

20、P X AB+AQ X AD=AR X AC .證 連結(jié)PQ, PR, QR在圓內(nèi)接四邊形APRQ中, 由托勒密定理得AP X QR+AQ X PR=AR X PQ.又因?yàn)?仁/2,Z 3=7 4,所以 PQRsA CAB，于 是設(shè)上面的比值為k,并考慮到BC=AD，有QR=k AB , PR=k AD , PQ=k CA，于是可推 得AP X AB+AQ X AD=AR X AC .例7 如圖3- 109.等邊 ABC內(nèi)接于 XYZ , A 在YZ上, B在ZX上, C在XY上，證明：且說朗式至否可能啊等，證 對四邊形ABXC運(yùn)用托勒密定理，得AX BC < BX AC+XC AB ,

21、所以AX < BX+XC .同樣地BY < CY+YA , CZ < AZ+ZB .將上述三式相加就得所要證明的不等式.等號成立的充分必要條件是X , 丫 , Z在厶ABC的 外接圓上，但7 ZBX ,7 XCY ,7 YAZ都等于n,因 此等號成立只能是X , 丫 , Z分別與C , A , B重合的情 況.平面幾何中的著名定理，除了上述所介紹的梅內(nèi) 勞斯定理、塞瓦定理、斯臺沃特定理、托勒密定理外， 還有斯泰納-萊默斯定理、西姆松定理、蝴蝶定理、莫 萊定理等等.這里，限于篇幅，因此不作討論.練習(xí)十九1.已知 ABC的內(nèi)角/ B和/C的平分線分別為 BE和CF,Z A的外角平

22、分線與BC的延長線相交于 D .求證：D, E, F共線.2 .過 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A , B , C分別作 ABC 的外接圓的切線，分別和BC, CA , AB的延長線交于 D, E, F.求證：D, E, F三點(diǎn)共線.3. 在厶ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D,設(shè)/ ADB和/ ADC的角平分線分別交AB , AC于F和E.求證：AD , BE, CF相交于同一點(diǎn).4. 在梯形 ABCD 中, AB / DC, AD 丄BD , DC=3, BC=7, DA=8 , 求 AB , BD 和AC 的長.&艮在正萬散AlB的外尊El貳工忑上.茶址， PA(PA+PC)=PB(PB+PD).6

23、.設(shè)P是等邊三角形ABC所在平面上的任意一點(diǎn), 那么根據(jù)P落互或稀在外駅的亞& t.巒直PC+PA=PB 或 PC+PA> PB.raA«tK«e»aimtt穴KV- fLATQYtmt. IM刖 t* WH"IIM BMBM»"”“me sa, ttewaVite 殲 «5H« R>h>9UY >r-7Wi -Ml 19 *ARR*-< U Mr«1T «V4«« VW. WlK«>XMa«<&

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31、M U F *1. . AJ2 U. l-UlV-_JmAMNS AMPSANPAMzANy, 22 2得PAzAM AN b cyzy MN MN a a 1O 2CO 3B M ca同理PBxz,b b a b PCyxc c P N C b c a c b a 相力口PAPB PC(x (y(z2( x yz .c bc aa b 4O取等號a bc, O取等號APMN .其中O習(xí)題五一.選擇題1.在四邊形A1 A2 A3 A4 的對角線A1 A3 的延長線上取一占八、C ,過C作兩條直ACB ，得 AM AC b AN AB c.MN CB a MN CB a A 1 1 1 又 MN

32、 AP S線分別與 A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A1 交于點(diǎn) B1 , B2 , B3 , B4 , 記 M A1 B1 A2 B2A3 B3 A4 B4貝U M 的值適合 (B1 A2 B2 A3 B3 A3 B4 A1)(A) M1 A1(B)M1(C)M1(D )不能確定 A B4 B1 B3 A3 C B A4A2 B2P第二題圖C第一題圖2.如圖所示，在不等式ABC內(nèi)取一點(diǎn)P（不是內(nèi)心）連接PA,PB, PC ,把角A, B, C分為，。記 MsinsinsinN sinsinsin，則M , N的關(guān)系適合（A）MN (B)MN(C)MN (D)不能確定)記

33、 MABCD BC AD, NACBD則M , N的關(guān)3.若 A, B, C , D為一直線上依次排列的四點(diǎn)，系適合（）（B）MN (C)MN(D)不能確定）(A) MN 4.已知P為矩形 ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，記MPA2PC2,NPB2PD2 ，貝UM , N的關(guān)系適合（A） MN （B） MN(C)MN 57(D：）不能確定奧林匹克與自主招生第五講 平面幾何的著名定理主編：賈廣素 二.填空題1如圖所示，有 AB DF DE2,貝U BC FB EC . D E F A B C B F A E D C 第一題圖第二題圖 2.ABC 的三個(gè)旁切圓分別與邊BC , CA, AB 相切于 D, E ,

34、 F，貝U AF BD CEFB DCEA . m. 3.已知三角形的 3邊長之比為 9 :10 :17 ,它的面積是 144m 2 ,則三角形的最長邊 為4.在邊長為 AB 5, BC 4, CA 3的三角形中，角 A的平分線的長為 .三. （三角 形的Euler線） ABC的重心 G,垂心H和外心 0共線，并且 GH=2G0.四.（首屆東 南地區(qū)奧林匹克）設(shè)D是 ABC的邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn) P在線段 AD上，過點(diǎn) D作一直線分別與線段 AB、PB交于點(diǎn) M、E,與線段 AC、PC的延長線交于點(diǎn)F、N。女口果DE=DF，求證：DM=DN 五.（2006年浙江集訓(xùn)試題如圖，已知 ABC 的外角

35、/ EAC的平分 線與厶ABC的外接圓交于點(diǎn) D，以CD為直徑的圓分別交 BC , CA于點(diǎn)P、Q,求證：線 段PQ平分 ABC的周長。 A Q E D B P E C 六.如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓，AB , DCR， S.延長線交于 E，AD 、 BC 延長線交于 F， P 為圓上任意一點(diǎn)， PE， PF 分別交圓于若 對角線 AC 與 BD 相交于 T. 求證： R，T，S 三點(diǎn)共線。 B R C T D P S F A 58空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一.基礎(chǔ)知識：1公理1:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面 內(nèi)。公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)

36、公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的直線。（此定理常用來判斷空間三線共點(diǎn)。）公理3 :不共線的3點(diǎn)確定一個(gè)平面。推論1： 一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。推論2:兩條相交直線確定一個(gè)平面推論3:兩條平行直線確定一個(gè)平面2. 平行公理：平行于同一直線的兩直線互相平行，它反應(yīng)了平行線的傳遞性。注意：相交 線和異面直線沒有傳遞性。3、等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。當(dāng)一邊平行且方向相同而另一邊的方向相反時(shí)，這兩個(gè)角互補(bǔ)。可推廣到空間：如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面和另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)二面角相等。當(dāng)一個(gè)半平面平行且方

37、向相同而另一個(gè)半平面的方向相反時(shí)，這兩個(gè)二面角互補(bǔ)。但注意：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。 不可推廣到空間：如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面和另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直，那么這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)。4、空間直線的位置關(guān)系：（1）相交直線：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。（2）平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（3）異面直線：不在 任何一個(gè)平面內(nèi)，也沒有公共點(diǎn)。兩條異面直線 的作圖，常借助于輔助平面。異面直線的判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。異面直線所成的角（或夾角）的定義與求法：直線a,b是異面直線，經(jīng)過空間一點(diǎn) 0,分別引直

38、線a'/ a ,/ b,相交直線a，, b /所成的銳角（直角）叫異面直線 a,b所成的角 0,，求異面直線的夾角常用平移法和向量法。F,已知 AB為公垂線段，長度為 d,BE = m,AF=n,EF=l 則 I = . d2 m2 n2mnCos （同側(cè)為減，異側(cè)為加）5、 直線與平面的位置關(guān)系：1）直線在平面內(nèi)，2）直線與平面相交，3）直線與平面平行，其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。6. 直線與平面平行：（1）直線與平面平行定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則這條直線與這個(gè)平面 平行。（2）直線與平面平行的判定：如果平面內(nèi)一條直線和這個(gè)平面平面平行，那么

39、這條直線和這個(gè)平面平行。簡稱為“線線平行，則線面平行。”判定直線與平面平行的方法還有：1 ） 面 面，aa , 2 ）b , a b, aa（3）直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，交線和這條直線平行，簡稱為“線面平行，則線線平行”。7. 直線與平面垂直：（1）直線與平面垂直的定義：如果一條直線和平平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。公理：過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直。（2） .直線和平面垂直的判定：1） 一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè) 平面垂直。2）兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另

40、一條直線也和這個(gè)平面垂 直。（3 ）直線和平面垂直的性質(zhì)定理：1）如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直。2）如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。8、 平面與平面的位置關(guān)系：1）平行平面：沒有公共點(diǎn)，2 ）相交平面：有且只有一條公共直線。兩個(gè)平面的公共點(diǎn)都在同一條直線上。9兩個(gè)平面平行：（1 ）兩個(gè)平面平行的判定：1）一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。簡稱為“線面平行，則面面平行”，2）推論：如果平面內(nèi)一個(gè)有兩條相交直線和另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線平行，那么這兩個(gè)平面平行。3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。（2）兩個(gè)平面

41、平行的性質(zhì)定理：1）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。2）兩個(gè)平行平面之間的距離處處相等，夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段也相等。3）如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面。10.兩個(gè)平面垂直：（1）兩個(gè)平面垂直定義：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂 直。（2）兩個(gè)平面垂直的判定：1）如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。2）定義法（直二面角）（3）兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：1）如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。2）如果兩個(gè)平面垂直，那么從一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面

42、的垂 線必在第一個(gè)平面內(nèi)。11、 三垂線定理：在平面內(nèi) 的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在 平面內(nèi) 的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。12、 直線和平面所成的角： 平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的角。特別當(dāng)一條直線和平面垂直時(shí)， 就說直線與平面所成的角是直角， 當(dāng)一 條直線在平面內(nèi)或和這個(gè)平面平行時(shí)，我們規(guī)定直線和平面所成的角為0。，所以直線和平面所成的角的范圍是 0,2利用法向量可處理線面角問題設(shè)為直線I與平面所成的角,為直線I的方向向量v與平面

43、的法向量n之間的夾角，則有一 （圖1）或一 （圖2）12、最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條 直線所成的角中最小的角。設(shè) AB是平面a的一條斜線， A為斜足，直線 m是平面a內(nèi)任 直線，AB'是AB在平面a內(nèi)的射影。為AB和m所成的角，1為AB和射影所成的角，射影AB'和m所成的角，貝U cos =cos 1cos 2重要應(yīng)用：空間兩條異面直線 L1與L2所成的角為工一，過空間2L2所成的角都是 ，這樣的直線L可作多少條？分析：（1）若 （ 0，/2 ），則這樣的直線 L有0條B'(2 )若/2，則這樣的直線有1條(3)若(/2

44、 ,),則這樣的直線2L有2條(4)若一則這樣的直線L有3條2(5)若(),則這樣的直線L有4條22(6)若則這樣的直線L有1條213、二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面， 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角，這條直線叫做二面角的棱， 每個(gè)半平面叫做二面角的面，棱為I，兩個(gè)面分別為，的二面角記為-I-一個(gè)平面垂直于二面角-I- 的棱，且與兩個(gè)半平面的交線分別是射線 OA OB O為垂足,則/ AOB叫做二面角-I-,的平面角。一個(gè)二面角的大小可用它的平面角的大小來衡量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度。二面角大小的取值范圍是0,180

45、°14. 計(jì)算二面角的方法：(1)定義法(常根據(jù)三垂線定理先作平面角即自二面角的一個(gè)面上一 點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線，再由垂足向棱作垂線，再解直角三角形)。(2)三垂線法(3) 垂面法(4) 射影面積法(5) 利用法向量可處理二面角問題設(shè)n 1,門2分別為平面，的法向量，二面角I的大小為，向量山，門2的夾角為，則有(圖3)或(圖4)n15. 小結(jié):證明直線與直線的平行的思考途徑(1)轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn);（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（ 4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（ 5）轉(zhuǎn)化為面面平行 . 證明直線與平面的平行的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)； （2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（ 3）轉(zhuǎn)化為面面平行 . 證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（ 3）轉(zhuǎn)化為線面垂直 .證明直線與直線的垂直的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（ 2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（