1984年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、1984年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題(共5小題，每小題3分，滿分15分）1（3分）數(shù)集X=（2n+1)，n是整數(shù)與數(shù)集Y=（4k±1），k是整數(shù)之間的關(guān)系是（）AXYBXYCX=YDXY2（3分）如果圓x2+y2+Gx+Ey+F=0與x軸相切于原點，那么()AF=0,G0,E0BE=0，F(xiàn)=0,G0CG=0，F(xiàn)=0，E0DG=0,E=0，F(xiàn)03（3分）如果n是正整數(shù)，那么的值(）A一定是零B一定是偶數(shù)C是整數(shù)但不一定是偶數(shù)D不一定是整數(shù)4（3分）arccos（x)大于arccosx的充分條件是(）Ax（0，1Bx（1，0）Cx0，1D5（3分）如果是第二象限角，且滿足,那

2、么（）A是第一象限角B是第三象限角C可能是第一象限角,也可能是第三象限角D是第二象限角二、解答題（共15小題，滿90分）6（4分)已知圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為2與4的矩形，求圓柱的體積7（4分）函數(shù)log0.5（x2+4x+4)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？8（4分)求方程的解集9（4分）求式子（x+2)3的展開式中的常數(shù)項10（4分）求的值11（4分）要排一張有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少種不同的排法(只要求寫出式子，不必計算)12（6分）設(shè)畫出函數(shù)y=H(x1）的圖象13（6分）畫出極坐標(biāo)方程的曲線14(12分）已知三個平面兩兩相交，有三條交線,求證這

3、三條交線交于一點或互相平行15（12分）設(shè)c,d,x為實數(shù),c0，x為未知數(shù),討論方程在什么情況下有解,有解時求出它的解16（12分）設(shè)p0,實系數(shù)一元二次方程z22pz+q=0有兩個虛數(shù)根z1，z2、再設(shè)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點是Z1，Z2，求以Z1，Z2為焦點且經(jīng)過原點的橢圓的長軸的長17（9分）求經(jīng)過定點M（1，2）,以y軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程18(12分）在ABC中,A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c=10，,P為ABC的內(nèi)切圓上的動點，求點P到頂點A,B，C的距離的平方和的最大值與最小值19（12分）設(shè)a2,給定數(shù)列xn，其中x1=a，求證：（1）xn2

4、，且；(2）如果a3，那么20如圖,已知圓心為O，半徑為1的圓與直線l相切于點A,一動點P自切點A沿直線l向右移動時,取弧AC的長為，直線PC與直線AO交于點M又知當(dāng)AP=時，點P的速度為v，求這時點M的速度1984年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共5小題,每小題3分,滿分15分）1（3分）數(shù)集X=（2n+1），n是整數(shù)與數(shù)集Y=(4k±1),k是整數(shù)之間的關(guān)系是（）AXYBXYCX=YDXY考點：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用 分析：題中兩個數(shù)集都表示的奇數(shù)倍的實數(shù)，根據(jù)集合的相等關(guān)系得這兩個數(shù)集的關(guān)系解答：解：數(shù)集X=（2n+1），n是整數(shù)其中的元素是的奇數(shù)

5、倍數(shù)集Y=（4k±1），k是整數(shù)其中的元素也是的奇數(shù)倍它們之間的關(guān)系是X=Y故選C點評:本題主要考查集合的相等等基本運算,屬于基礎(chǔ)題要正確判斷兩個集合間相等的關(guān)系，必須對集合的相關(guān)概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，認清集合的特征2（3分)如果圓x2+y2+Gx+Ey+F=0與x軸相切于原點,那么（）AF=0,G0,E0BE=0，F(xiàn)=0，G0CG=0,F=0，E0DG=0，E=0，F(xiàn)0考點:圓的一般方程 分析:圓與x軸相切于原點,則圓心在y軸上,G=0,圓心的縱坐標(biāo)的絕對值等于半徑，F(xiàn)=0，E0解答：解：圓與x軸相切于原點，則圓心在y軸上,G=0，圓心的縱坐標(biāo)的絕對值等于半徑,F=0

6、,E0故選C點評：本題考查圓的一般式方程，直線與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題3（3分）如果n是正整數(shù)，那么的值（）A一定是零B一定是偶數(shù)C是整數(shù)但不一定是偶數(shù)D不一定是整數(shù)考點：進行簡單的合情推理 專題：分類討論分析：這是一個簡單的合情推理問題，我們可以對n的取值進行分類討論，并加以簡單的證明,不難得到正確的答案解答：解：n是正整數(shù)當(dāng)為為奇數(shù)時，n21必為8的整數(shù)倍，不妨令n21=8Z，ZN*則=2Z,ZN*即此時的值為偶數(shù)當(dāng)為為偶數(shù)時，1(1）n=0則=0故的值一定是偶數(shù)故選B點評：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新"而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代

7、入進行運算，易得最終結(jié)果4（3分）arccos（x)大于arccosx的充分條件是()Ax（0,1Bx(1,0）Cx0,1D考點：反三角函數(shù)的運用 專題：計算題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想分析：充分考慮arccosx的范圍，推出arccos(x）的范圍,然后確定arccos（x）大于arccosx的充分條件解答：解：arccosx0,，(1）arccosx0，)時,x（0，1，arccos(x）（，arccosx,（2）arccosx（，時,x1，0），arccos（x)0，)arccosx,（3)arccosx=時 x=0，arccosx=arccos（x)，故選A點評：本題考查反三角函數(shù)的

8、運用，考查分類討論的思想，是基礎(chǔ)題5（3分）如果是第二象限角，且滿足，那么(）A是第一象限角B是第三象限角C可能是第一象限角，也可能是第三象限角D是第二象限角考點：半角的三角函數(shù) 專題:計算題；壓軸題分析：先根據(jù)的范圍確定的范圍,再由可確定的大小關(guān)系,進而確定的象限解答：解：是第二象限角(kZ）當(dāng)k為偶數(shù)時，在第一象限;當(dāng)k為奇數(shù)時，在第三象限；=是第三象限角故選B點評：本題主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系屬基礎(chǔ)題二、解答題(共15小題,滿90分）6(4分）已知圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為2與4的矩形，求圓柱的體積考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積 專題:計算題；分類討論分析：圓柱的

9、側(cè)面展開圖是邊長為2與4的矩形,可以有兩種形式的圓柱的展開圖,分別求出底面半徑和高，分別求出體積解答：解：圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為2與4的矩形，當(dāng)母線為4時，圓柱的底面半徑是此時圓柱體積是當(dāng)母線為2時，圓柱的底面半徑是，此時圓柱的體積是綜上所求圓柱的體積是：或點評：本題考查圓柱的側(cè)面展開圖，圓柱的體積，是基礎(chǔ)題容易疏忽一種情況7（4分)函數(shù)log0.5(x2+4x+4)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？考點：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點 專題:計算題分析:本題是一個復(fù)合函數(shù)，故應(yīng)依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來判斷其單調(diào)性，先求出定義域，判斷出外層函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性,再依規(guī)則來判斷即可解答：解：令x2+4x+40，

10、得x2，由t=x2+4x+4知，其對稱軸為x=2故內(nèi)層函數(shù)在（，2）上是減函數(shù)，在（2，+)上是增函數(shù)因為外層函數(shù)的底數(shù)0。51,故外層是減函數(shù)，欲求復(fù)合函數(shù)的增區(qū)間，只須求內(nèi)層的減區(qū)間故函數(shù)y=log0.5(x2+4x+4）在(,2）上是增函數(shù)答：函數(shù)y=log0。5（x2+4x+4）在（，2)上是增函數(shù)點評:本題的考點是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,考查了對數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法以及定義域的求法8（4分)求方程的解集考點：三角函數(shù)的化簡求值 專題：計算題；數(shù)形結(jié)合分析：利用平方關(guān)系和倍角公式對方程進行整理,根據(jù)一個周期內(nèi)的正弦函數(shù)值求解，最后解集寫出幾何形式解答：解：由題意知，即1+sin2x

11、=，sin2x=，則2x=+2n或+2n（nZ），解得x=+n或+n（nZ)，所求方程的解集是:x|x=+n，nZxx=+n，nZ點評：本題考查了三角函數(shù)方程的求解，即利用同角的基本關(guān)系、倍角公式、兩角和差公式等等,對方程進行化簡，再由三角函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值和周期求出解集9（4分）求式子（|x+2）3的展開式中的常數(shù)項考點：二項式系數(shù)的性質(zhì) 分析：解法一：利用分步乘法原理展開式中的常數(shù)項是三種情況的和，解法二：先將利用完全平方公式化成二項式，利用二項展開式的通項公式求得第r+1項，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項解答：解法一：（x|+2)3=（x+2）（x|+2）(|x+2）得到常數(shù)項的情況有：三

12、個括號中全取2，得（2)3;一個括號取|x|，一個括號取,一個括號取2，得C31C21（2)=12,常數(shù)項為（2）3+（12）=20解法二：（|x+2)3=（）6設(shè)第r+1項為常數(shù)項，則Tr+1=C6r（1）r（)r|x|6r=（1）6C6r|x|62r，得62r=0,r=3T3+1=(1）3C63=20點評:本題考查解決二項展開式的特定項問題的重要工具有二項展開式的通項公式;還有分步乘法原理10(4分）求的值考點：極限及其運算 專題：計算題分析：分子、分母同時除以3n,原式轉(zhuǎn)化為，由此能求出的值解答：解：=0點評：本題考查數(shù)列的極限和運算，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化11（4分）要排一張有

13、6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單,任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰,問有多少種不同的排法（只要求寫出式子，不必計算）考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題 專題:計算題分析：首先分析兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分別求出舞蹈節(jié)目的排法及歌唱節(jié)目的排法，相乘即可得到答案解答:解:此題采用插空法,因為任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，即可把6個歌唱節(jié)目每個的前后當(dāng)做一個空位,共有7個空位，只需把舞蹈節(jié)目安排到空位上就不會相鄰了,共有P74種排法,舞蹈節(jié)目排好后再排歌唱節(jié)目共有A66種所以共有種P74A66排法,答案為P74A66點評:此題主要考查排列組合及其簡單的計數(shù)問題，對于不相鄰這種

14、類型題目的求解,要想到可以用插空法求解,這種解題思路非常重要，要很好的理解記憶12（6分)設(shè)畫出函數(shù)y=H（x1）的圖象考點：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的圖象 分析:考查函數(shù)圖象的變化,y=H（x1）的圖象是由y=H（x）的圖象向右平移一個圖象得到的故可以先畫出H(x）的圖象然后再向右平移1個單位得到H(x1)的圖象解答:解:點評:考查函數(shù)圖象的平移問題記y=f(x），則y=f（x+1）,y=f(x1)，y=f（x）+1，y=f（x）1的圖象，是由y=f（x）圖象分別向左，向右，向上,向下平移1個單位得到的13（6分）畫出極坐標(biāo)方程的曲線考點:簡單曲線的極坐標(biāo)方程 專題：作圖題分

15、析：先將方程化簡一下，然后根據(jù)極坐標(biāo)方程的幾何意義進行畫圖即可解答：解：方程2=0或=0,即=2表示圓心在極點，半徑為2的圓=表示極角為的射線畫出圖象即可點評：本題主要考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程，以及作圖能力的考查，屬于基礎(chǔ)題14（12分）已知三個平面兩兩相交,有三條交線，求證這三條交線交于一點或互相平行考點：平面與平面之間的位置關(guān)系 專題：證明題;綜合題分析：三個平面兩兩相交,有三條交線，這三條交線交于一點，或互相平行證明時要分三條交線交于一點，和三條交線互相平行兩種情況；（1）證三線交于一點時，先由兩線交于一點，再證這一點也在第三條直線上；(2）證三線平行時，先由兩線平行，再證第三條直線與

16、這兩條平行線中的任一條直線平行即可解答：證明:設(shè)三個平面為，且=c，=b，=a；=c，=b,c，b；c與b交于一點，或互相平行（1）如圖，若c與b交于一點,可設(shè)cb=P由Pc,且c，有P；又由Pb，b，有P；P=a；所以,直線a，b，c交于一點（即P點)圖； 圖（2）如圖，若cb,則由b，且c，c；又由c,且=a，ca;所以a,b，c互相平行點評:本題考查了空間中的直線平行,或相交的證明,特別是幾何符號語言的應(yīng)用,是有難度的問題15（12分）設(shè)c，d，x為實數(shù)，c0，x為未知數(shù)，討論方程在什么情況下有解，有解時求出它的解考點：對數(shù)的運算性質(zhì);對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用;根的存在性及根的個數(shù)判

17、斷 分析：先將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1找到方程有根的等價條件后可解題解答：解:原方程有解的充要條件是：由條件（4）知，所以cx2+d=1再由c0，可得又由及x0，知，即條件(2）包含在條件(1)及(4）中再由條件（3）及,知x1因此，原條件可簡化為以下的等價條件組：由條件（1)（6)知這個不等式僅在以下兩種情形下成立：c0，1d0,即c0,d1;c0，1d0,即c0,d1、再由條件（1)(5）及（6）可知c1d從而，當(dāng)c0,d1且c1d時,或者當(dāng)c0，d1且c1d時，原方程有解，它的解是點評：本題主要考查對數(shù)式與指數(shù)式的互化和方程根的判定屬中檔題16

18、（12分)設(shè)p0，實系數(shù)一元二次方程z22pz+q=0有兩個虛數(shù)根z1，z2、再設(shè)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點是Z1,Z2，求以Z1,Z2為焦點且經(jīng)過原點的橢圓的長軸的長考點:復(fù)數(shù)的基本概念；橢圓的簡單性質(zhì) 專題：計算題分析：由題意兩個虛數(shù)根z1，z2是共軛復(fù)數(shù)，可得橢圓的短軸長：2b=|z1+z2|=2|p,焦距為2c=|z1z2，然后求出長軸長解答:解：因為p,q為實數(shù)，p0，z1，z2為虛數(shù)，所以(2p）24q0，qp20由z1，z2為共軛復(fù)數(shù),知Z1，Z2關(guān)于x軸對稱，所以橢圓短軸在x軸上，又由橢圓經(jīng)過原點，可知原點為橢圓短軸的一端點根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復(fù)數(shù)加，減法幾何意義及一元二次方程根

19、與系數(shù)的關(guān)系,可得橢圓的短軸長=2b=z1+z2|=2|p|，焦距離=2c=z1z2=，長軸長=2a=點評：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念,橢圓的基本性質(zhì),是小型綜合題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力17（9分)求經(jīng)過定點M（1，2），以y軸為準(zhǔn)線,離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；軌跡方程 分析：先確定橢圓的位置,設(shè)左定點的坐標(biāo)為A（x，y)，然后根據(jù)離心率的含義得到左焦點的坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的第二定義確定方程解答：解:因為橢圓經(jīng)過點M（1，2），且以y軸為準(zhǔn)線，所以橢圓在y軸右側(cè)，長軸平行于x軸設(shè)橢圓左頂點為A(x，y）,因為橢圓的離心率為，所以左頂點A到左焦點F的距離為A到y(tǒng)軸的

20、距離的，從而左焦點F的坐標(biāo)為設(shè)d為點M到y(tǒng)軸的距離，則d=1根據(jù)及兩點間距離公式，可得這就是所求的軌跡方程點評:本題主要考查橢圓方程的第二定義，平面上到定點F距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點的集合18（12分）在ABC中,A，B，C所對的邊分別為a,b，c，且c=10，P為ABC的內(nèi)切圓上的動點,求點P到頂點A,B,C的距離的平方和的最大值與最小值考點：三角函數(shù)的最值；正弦定理 專題：計算題分析：利用正弦定理可求得，進而根據(jù)題設(shè)等式求得整理求得A+B=判斷出三角形為直角三角形,進而可利用勾股定理求得a和b，利用直角三角形的性質(zhì)求得其內(nèi)切圓的半徑，如圖建立直角坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓的方程可得，設(shè)出p

21、的坐標(biāo)，表示出，S=|PA|2+|PB2+|PC2,利用x的范圍確定S的范圍，則最大和最小值可得解答：解：由,運用正弦定理,有，sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B因為AB,所以2A=2B，即A+B=由此可知ABC是直角三角形由c=10，a2+b2=c2以及a0，b0可得a=6，b=8如圖，設(shè)ABC的內(nèi)切圓圓心為O,切點分別為D，E，F(xiàn)，則AD+DB+EC=（10+8+6）=12但上式中AD+DB=c=10,所以內(nèi)切圓半徑r=EC=2，如圖建立坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓方程為：（x2）2+（y2）2=4設(shè)圓上動點P的坐標(biāo)為（x，y），則S=|PA|2+PB2+|PC|2=(x8）2+

22、y2+x2+（y6）2+x2+y2=3x2+3y216x12y+100=3（x2）2+(y2）24x+76=3×44x+76=884x因為P點在內(nèi)切圓上，所以0x4，S最大值=880=88，S最小值=8816=72點評：本題主要考查了三角函數(shù)求最值的問題，直角三角形內(nèi)切圓的問題,圓的性質(zhì)問題考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用19（12分）設(shè)a2，給定數(shù)列xn，其中x1=a,求證：（1）xn2,且；（2）如果a3，那么考點:用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 專題:計算題；壓軸題分析：（1)我們用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，先證明不等式xn2當(dāng)n=1時成立，再假設(shè)不等式xn2當(dāng)n=k(k1）時成立,進而證明當(dāng)n=k+1時，不等式xk+12也成立，最后得到不等式xn2對于所有的正整數(shù)n成立;（2）我們用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，先證明不