合肥工業(yè)大學(xué)大一上學(xué)期高數(shù)期末考試題

1、高數(shù)期末考試一、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)2,lim(13x)sinx=1. x-0.已知吧是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則(“xicosxdx：2. xx3.2n-1、IIIcos)=n2lim(cosnn二22二一cosnn12 2xarcsinx1,dx=1 1-x24. 2.二、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1-x設(shè)u(x)=,P(x)=33x,則當(dāng)xt1時(shí)()5. 1x.(A)二與P(x)是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮?。?B)3與日(x)是等價(jià)無(wú)窮?。?C)支(x)是比網(wǎng)刈高階的無(wú)窮?。?D)»x)是比口(x)高階的無(wú)窮小.6. 設(shè)f(x)

2、=cosx(x+sinx),貝U在x=0處有()(A) f'(0)=2(B)f(0)=1(C)f(0)=0(D)f(x)不可導(dǎo).x7.若F(x)(2t一x)f(t)dt其中f(x)在區(qū)間上(-1二階可導(dǎo)且f'(x)A0,則().(A)函數(shù)F(x)必在x=0處取得極大值；(B)函數(shù)F(x)必在x=0處取得極小值；(C)函數(shù)F(x)在x=o處沒(méi)有極值，但點(diǎn)(0,F(0)為曲線y=F的拐點(diǎn)；(D)函數(shù)F(x)在x=0處沒(méi)有極值，點(diǎn)(0，F(xiàn)(0)也不是曲線y=F(x)的拐點(diǎn)。18.設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)=x+2J0f(t)dt，則f(x)=(2(A)2)2,(B) 2(C)x

3、-1(D)x+29.三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分)求11.10.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ex'+sin(xy)=1確定，求y'(x)以及y'(0).1-x-dx.x(1x)12.13.xe-x,x<0-i設(shè)f(x)=<.求J3f(x)dx.J2x-x,0<x<1一g(x)=設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，if(xt)dt0f(x)limA，且xx,A為常數(shù).求g(x)并討論g(x)在x=0處的連續(xù)性.iy(1)二14 .求微分方程xy+2y=xlnx滿足9的解.四、解答題(本大題10分)15 .已知上半平面內(nèi)一曲線y=y(x)(x*0),

4、過(guò)點(diǎn)(0,1),且曲線上任一點(diǎn)M(xo,y。)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線x=x°所圍成面積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.五、解答題(本大題10分)16 .過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=1nx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(1)求D的面積A;(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分)17 .設(shè)函數(shù)f(x)在h11上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對(duì)任意的q70,11,q1f(x)dx-qf(x)dx00.JI311f(x)dx=0f(x)cosxdx=018.設(shè)函數(shù)f(x)在0,n1上連續(xù)，且0,。證明：

5、在(。產(chǎn))內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)J,2,使fC1)=f-2)=0.(提xF(x)二f(x)dx示：設(shè)0)解答一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1、D2、A3、C4、C、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)5.31312.8.38分,共40分)1zcosx.2-()+c.6.2x.7.二、解答題(本大題有5小題，每小題9.解：方程兩邊求導(dǎo)exy(1y)coy(xy)(y=)exyy(x)=Keycos(xy)xcos(xy)x=0,y=0y'(0)=1-一76.10.解：u=x7xdx=du1(1-u)11du(-7u(1u)7u2)du11二7(ln|u|

6、-2ln|u1|)c1727.=-ln|x|-ln11x|Cf(x)dx=xe,dx，i,2x-x2dx11.解：J匕J。"=jxd(-eJ<)01-(x-1)2dxxx002.=|_-xe_-e_13十Jncos日d6(令x-1=sin日)一一一2二3=2e3-1412.解：由f(0)=0,知g(0)=0。x1xlf(u)dug(x)=f(xt)dt=00x(x=0)xxf(x)-f(u)dug(x)=02(x=0)xxf(u)dug(0)=lim2=limf(x)=Ax-oxx02x2xxf(x)-f(u)duAg(x)=HmX02=A一萬(wàn)A2,g'(x)在x=0處

7、連續(xù)。dy2y=lnx13.解：dxx-2dx12dxx(exInxdxC)1小二一xlnx-31-y(1產(chǎn)-1C=91xlnxx四、解答題(本大題10分)X-1,2=2.14.解：由已知且y'=210ydx+y,將此方程關(guān)于x求導(dǎo)得y"=2y+y'特征方程：r2r2=。解出特征根:x2x其通解為y=C1eC2e代入初始條件y(0)=y<0)=1,得C12/ye故所求曲線方程為：3五、解答題(本大題1。分)2x15.解：(1)根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為(X0,lnX。)，切線方程y-lnX01(x-X。)Xo由于切線過(guò)原點(diǎn)，解出Xo=e，從而切線方程為:11A=(ey

8、-ey)dye-1則平面圖形面積。2(2)三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為JV1,則曲線y=lnx與X軸及直線X=e所圍成的圖形繞直線X=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2V2=1(e-ey)2dy0D繞直線二2V=VV2=(5e2-12e3)旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積6六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共12分)f(x)dx-qf(x)dx=f(x)dx-q(f(x)dxf(x)dx)16.證明:q010,q2q,1二(1-q)f(x)dx-qf(x)dxf(1)_f(2)q(1-q)f(1)-q(1-q)f(2)-0故有:q1f(x)dx-qf(x)dx00證畢。17.XF(x)=f(t)dt,。工乂£二證：構(gòu)造輔助函數(shù)：。其滿足在。產(chǎn)上連續(xù)，在(。,兀)上可導(dǎo)。F(x)=f(x),且FlSnF”)：。JIJI0=f(x)cosxdx=cosxdF(x)=F(x)cosx|一sinxF(x)dx由題設(shè)，有00100,冗F(x)sinxdx=0有0,由積分中值定