導(dǎo)數(shù)壓軸題之隱零點問題專輯含答案

1、導(dǎo)數(shù)壓軸題之隱零點問題導(dǎo)數(shù)壓軸題之隱零點問題(共13題)1.函數(shù)f(x)=(aex-a-x)ex(a0,e=2.718；e為自然對數(shù)的底數(shù)),假設(shè)f(x)0對于xR包成立.(1)求實數(shù)a的值；(2)證實：f(x)存在唯一極大值點刈,且0(刖)0,由于ex0,所以aex-a-x0包成立,即a(ex-1)?x包成立,x=0時,顯然成立,x0時,ex-10,故只需a?在(0,+8)恒成立,ex-l令h(x)=-,(x0),X1e-1h,(x)J)巳；11,x0時,ex-10,故只需a0在(-8,0)恒成立,ex-l令g(x)=,(x0,(es-l)故h(x)在(-oo,0)遞增,而,=lin.：=1

2、,L口k-*0ex故a01,綜上：a=1；(2)證實：由(1)f(x)=ex(exx1),故f(x)=ex(2exx2),令h(x)=2ex-x-2,h(x)=21,所以h(x)在(-00ln)單調(diào)遞減,在(ln,+)單調(diào)遞增,22h(0)=0,h(心=2elnl-ln-2=ln2-K0,h(-2)=2e-2-(-2)-2222=工,0,e.h(-2)h(lnl)0由零點存在定理及h(x)的單調(diào)性知,2方程h(x)=0在(-2,ln)有唯一根,2設(shè)為x0且2ex0-刈-2=0,從而h(x)有兩個零點刈和0,所以f(x)在(-oo,x)單調(diào)遞增,在(小,0)單調(diào)遞減,在(0,+00)單調(diào)遞增,從

3、而f(x)存在唯一白極大值點x0即證,箕+2由2ex0-x0-2=0得ex07一,xw1,；f(x0)=ex0(ex0-x0-1)=的尸(-jx0-1)=-(-x0)(2+x0)乂口：+“口占占JJT-2=14取等不成立,所以f(刈)二得證,4又丁-2x0f(2)=e2e2-(2)-1=e-4+e-2e-20得證,從而0f(x0)成立.2,函數(shù)f(x)=ax+xlnx(aR)(1)假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間e,+oo)上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)當(dāng)a=1且kCZ時,不等式k(x-1)(Tnx-1)max=-2.二a一2.；a的取值范圍是-2,+oo).(2)a=1時,f(x)=x+1nx,k

4、CZ時,不等式k(x1)f(x)在xC(1,+oo上包成立,.k1).那么h(x)=1-工=工一0,/.h(x)在(1,+00)上單增,.h(3)=1-ln30,存在xoC(3,4),使h(x0)=0.即當(dāng)1xxO時h(x)0即g(x)x0時h(x)0即g(x)0g(x)在(1,x0)上單減,在(xo+oo)上單增.令h(刈)=x0-1nx0-2=0,即1nx0=x02,、xn(l+lnxn)xn(I+kh-2).、g(x)min=g(x0)=%e(3,4).M-l盯-1kg(x)恒成立,求正整數(shù)m的最大值.【解答】解：(1)函數(shù)f(x)定義域是(0,+oo),(i)當(dāng)時,1+8a00,當(dāng)xC

5、(0,+oo)時f(x)0,C函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+00);.1,(ii)當(dāng)aC,2x2+x+a=0的兩根分另是:80,當(dāng)xC(0,xi)時f(x)0,函數(shù)f(x)的單調(diào)速遞增,當(dāng)xC(x2,+00)時f(x)0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減；綜上所述,(i)當(dāng)時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+),8(ii)當(dāng)?shù)胊g(x),即m(x+2)ex-lnx+x,設(shè)h(x)=(-x+2)ex-lnx+x,x(0,1,(k)二(lr)(一上),.當(dāng)0x0,設(shè)口儀)=/2,那么u(K)=/金0,；u(x)在(0,1)遞增,工X又;u(x)在區(qū)間(0,1上的圖象是一條不間斷的曲線,且_一二：u1一,

6、三工口E4,1)使得u(x0)=0,即巳0二1一,In工口二r,當(dāng)xC(0,x0)時,u(x)0,h(x)0,h(x)0;函數(shù)h(x)在(0,x0單調(diào)遞減,在xO,1)單調(diào)遞增, 一、一,、,八支一,八1一,2. ,一：=-1),五oAoQ.二+2工在x(0,1)遞減,x(j臺,1),h(x0)=-l+2x0(Si4),上X口 二當(dāng)m03時,不等式me+1.e【解答】(I)解：=a=0時,.fGJeTru,Fy-e=(eT)(x1),f(1)=e,f(1)=e-1, 函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(1)處的切線方程：即(e-1)x-y+1=0；(R)證實：p工產(chǎn)乂,設(shè)g(x)=f(x),那么(x

7、)二小依叱0,x ,-g(x)是增函數(shù),.ex+aea,.由/!=工44,x .當(dāng)xe-a時,f(x)0；假設(shè)0x1?ex+aea1,由巳屋丁1,Xf(x)0,f(x)遞減;.,當(dāng)0xmin1,ea1時,f(x)0,故f(x)=0僅有一解,記為x0,那么當(dāng)0Vxx0時,f(x)0,f(x)遞增；f(工)mm二f(x口)二巳艾“*-1口乂了二二3=二:10K0記h(x)=lnx+x,貝U(工口)-lnK0=h(),uFk.al?-a-l?h(xo)h(),eee而h(x)顯然是增函數(shù),.0k口露.h(1-)h(Q=R+1.Jex0x0綜上,當(dāng)al,時,f(x)e+1.e本資料分享自千人教師QQ群

8、323031380高中數(shù)學(xué)資源大全5 .函數(shù)f(x)=axe0時,函數(shù)f(x)0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.【解答】解：(1)假設(shè)a=1,貝Uf(x)=xex-2(2x-1),當(dāng)x=0時,f(0)=2,f(x)=xex+ex-4,當(dāng)x=0時,f(0)=-3,所以所求切線方程為y=-3x+2.(3分)(2)由條件可得,首先f(1)0,得心0,e-1而f(x)=a(x+1)ex-2(a+1),令其為h(x),h(x)=a(x+2)ex恒為正數(shù),所以h(x)即f(x)單調(diào)遞增,而f(0)=-2-a0,所以f(x)存在t一根xe(0,1,且函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(刈+)上單調(diào)遞增,所

9、以函數(shù)f(x)的最小值為f(xo)=axoeK-(a+l)(2x0-l),只需f(刈)0即可,又x.滿足廣二良+2代入上式可得：.(a+1)(-2xa2+K0+l)一x0+l,x0e(0,1,2町2+xq+i)o,即：f(x0)0包成立,所以心二一(13分)E-16 .函數(shù)f(x)=xex-ax+b的圖象在x=0處的切線方程為：y=-x+1.(1)求a和b的值；(2)假設(shè)f(x)滿足：當(dāng)x0時,f(x)lnx-x+m,求實數(shù)m的取值范圍.【解答】解：(1)f(x)=xe-ax+b,f(x)=(x+1)ex-a,由函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程為：y=-x+1,知：伐斗二1*啟a?If(

10、0)=1-a=-l解得a=2,b=1.(2)f(x)滿足：當(dāng)x0時,f(x)lnx-x+m,m0,那么二：,IM,設(shè)g(xo)=0,xo0,那么Jn=,從而lnx=-xd,x0g.)=3(醇l)0,由g.)g(1)0,知:工口Wg,i),fad占當(dāng)xC(0,xo)時,g(x)0,函數(shù)g(x)在(0,xo)上單調(diào)遞減,在(xo,+00)上單調(diào)遞增.g(x)min=g(xo)=KnB耳口xolnxo=xx.lnxo=xo?xo+x0=1.cX.mxex-xlnx+1恒成立？m0,得x2;令小x)0,得ln2Vxg(x).證實如下：設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=3ex+x29x+1,=h(x)=3

11、ex+2x-9為增函數(shù),.可設(shè)h(x0)=0,vh(0)=-60,x0(0,1).當(dāng)xM時,h(x)0;當(dāng)x刈時,h(x)0,:h(x)min0,f(x)g(x).8,函數(shù)f(x)=lnx+a(x1)2(a0).(1)討論f(x)的單調(diào)性；3(2)假設(shè)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一的零點x0,證實：口丁2【解答】解：(1)F二2a-2+1當(dāng)00,y=f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,當(dāng)a2時,設(shè)2ax2-2ax+1=0的兩個根為“.?.?父),且町一2a2ay=f(x)在(0,x1),(x2,+00)單調(diào)遞增,在(x1,x2)單調(diào)遞減.(2)證實：依題可知f(1)=0,假設(shè)f(x)在區(qū)間(

12、0,1)內(nèi)有唯一的零點x0,由(1)可知a2,且上金打七(0,-于是:lnxc+a(x0-l)2=02a工口0+1二0由得InxrJ二0,設(shè)g(x)=ImsT,(工E1),uzx02x那么(Q=鋁,因此g(x)在(0,3)上單調(diào)遞減,2x232-1又式匕2)二10,3根據(jù)零點存在定理,故佇下打巳T.9.函數(shù)f(x)=3Ko,其中a為常數(shù).(x+a)(1)假設(shè)a=O,求函數(shù)f(x)的極值；(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在(0,-a)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍；(3)假設(shè)a=T,設(shè)函數(shù)f(x)在(0,1)上的極值點為xo,求證：f(xo)0,解得0x,令f(x),那么f(x)在(0,)遞增,在(Ve,

13、+)遞減,故f(x)極大=f(Ve)=,無極小值；2e(2)函數(shù)f(x)的定義域為x|x0且xw-a.(x+a)(2x+2a)l+-21nxfz(x)-一,(x+a)(x+a)3要使函數(shù)f(x)在(0,-a)上單調(diào)遞增,那么a0,又xC(0,一a)時,ax+a2xlnx-x在(0,一a)上恒成立,由y=2xlnx-x的導(dǎo)數(shù)為y=21+lnx)-1=1+2lnx,當(dāng)x關(guān)時,函數(shù)y遞增,0x%時,函數(shù)y遞減,yeNe當(dāng)a0_卜即-a0,矛盾不成立；Ve7心當(dāng)a勺即a-時,函數(shù)y在(0,-T)遞減,在(4,a)遞增,yeyeyeye可得y2aln(a)+a,解彳4-10a0,那么a的范圍是-1,0)

14、；(3)證實：a=-1,貝Uf(x)=G-l)2l-21nx-導(dǎo)數(shù)為f(x)=(X-1)3設(shè)函數(shù)f(x)在(0,1)上的極值點為X0,可得1-2lnx0-=0,即有21nx0=1-,殉一、一一lnxn要證f(刈)2,即3+20,(叼-1產(chǎn)1-Xn_1_由于+2=+22(z0-irl-4x0+4x02(1-2町戶=-7=125(x(jT)2xQGqT)由于xoC(0,1),且x0二,21nx0=1-二不成立,2打In.+20,故f(刈)2(1na1n2).【解答】解：(I)F缶)二工-1上(2分)xxx(0,1)時,f(x)0,y=f(x)單增；x(1,+oo)時,f(x)0,y=f(x)單減.

15、(4分)(H)證實：令h(x)=axS-4x-21nx+2x-2=axe0,x0):一(5分)h(z)=a(eK+sez)-2-=ae7(s+l)-2-xx故,：:.2lna-2ln2(12分)11 .函數(shù)f(x)=/-(a-2)x-alnx(aR).(I)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；(H)當(dāng)a=1時,證實：對任意的x0,f(x)+exx2+x+2.【解答】解：(I)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+8),f,(x)=2x-(a-2)7=(算+1)(2La).q分)當(dāng)a00時,f(x)0對任意xC(0,+8)包成立,所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+oo)單調(diào)遞增；(4分)當(dāng)a0時,由f(x)0得

16、x且,由f(x)x2+x+2,只需證實exlnx20,設(shè)g(x)=ex-lnx-2,那么問題轉(zhuǎn)化為證實對任意的x0,g(x)0,令g(x)=ex-=0,彳導(dǎo)ex=：,xx容易知道該方程有唯一解,不妨設(shè)為x.,那么x0滿足ex0,叼當(dāng)x變化時,g(x)和g(x)變化情況如下表x(0,x0)x0(x0,8)g(x)一0+g(x)遞減遞增g(x)min=g(x0)=ex0-lnx0-2=+x0-2,x0由于X00,且X0W1,所以g(x)min271-2=0,因此不等式得證.本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全12 .函數(shù)_吹(I)當(dāng)a=2時,求曲線y=f(x)在點(1,f(

17、1)處的切線方程；(ii)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(H)假設(shè)1a2,求證：f(x)-1.【解答】解：(I)當(dāng)a=2時,二星上一2力定義域為(0,+00),X972Tnxc2lnk2xf-j2=2f(1)=-1-2=-3,f(1)=2-2=0;所以切點坐標(biāo)為(1,-3),切線斜率為0所以切線方程為y=-3；(ii)令g(x)=2-lnx-2x2,/(x)=-4z0即f(x)0所以當(dāng)x(1,+oo)時,g(x)0即f(x)0綜上所述,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+8).(H)證實：f(x)1,即一色其0),h(k)二f二2,工XJX設(shè)小(x)=-ax2-lnx+2.(

18、x)二-2ax二二一%區(qū)T0所以小/(x)在(0,+)小于零包成立即h(x)在(0,+)上單調(diào)遞減由于1a0,h(e2)=-a0,h(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xC(x0,+00)時,h(x)0,h(x)單調(diào)遞減,匚Lq&j、1.口乂口所以h(s)=h(xn)=皂Kq+1,z0QXIn為因以所IX-SIA.(xo)=0得甌=liVl+8a4a,由于1a2,所以l+Vl+8a4a1,由于(1,J),所以h(xo)0包成立,(x)0包成立,綜上所述,當(dāng)1a2時,f(x)-1.13.函數(shù)f(x)=(x-a)lnx+-x,(其中aRR2(1)假設(shè)曲線y=f(x)在點(xo,f(xo)處的切線方程為y=i-x,求a的值;(2)假設(shè)上a0.2e【解答】解：(1)f(x)的定義域為(0,+8),(6二In乂堡號1r(xo-a)lnic0=0lnir-H-l=0x0不亍.由題意知3寸)lnx癮m貝u11山.不+丁了解