將三角形分割成兩等腰三角形問題的教學(xué)探討-2019年作文

1、將三角形分割成兩等腰三角形問題的教學(xué)探討不是所有的三角形都可以分割成兩個(gè)等腰三角形,它與三角形三個(gè)內(nèi)角的大小有關(guān),當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角滿足一定關(guān)系時(shí),可被分割成兩個(gè)等腰三角形.文章介紹如何從最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題入手,引導(dǎo)學(xué)生利用從特殊到一般、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,探索并歸納出把一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形所需條件這一教學(xué)過程.問題情境；特殊到一般；分類討論；探究過程；歸納應(yīng)用數(shù)學(xué)活動(dòng)課是在學(xué)生完成了階段知識(shí)學(xué)習(xí)之后開設(shè)的在教師指導(dǎo)下以學(xué)生自主探究為主的數(shù)學(xué)課程,其目的是為了豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí),使學(xué)生所學(xué)知識(shí)在活動(dòng)課中得以充分應(yīng)用,并在活動(dòng)課中得以提升.同時(shí)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,學(xué)生還可以嘗試進(jìn)行探究性學(xué)

2、習(xí)方法、啟發(fā)性學(xué)習(xí)方法等其他的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法,以培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的水平.本文將介紹如何通過一個(gè)具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)課課例,引導(dǎo)學(xué)生探索“把一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形所需條件這一教學(xué)過程.引入：直角三角形可分割成兩個(gè)等腰三角形在學(xué)習(xí)了直角三角形之后,有這樣一道數(shù)學(xué)問題：公園內(nèi)有一個(gè)三個(gè)內(nèi)角分別為34°、56°、90°的直角三角形小花壇,因公園綠化需要,必須把它分割成兩個(gè)等腰三角形.你可以幫助辦到嗎由于直角三角形兩個(gè)銳角互余,而直角又是90°,因此把直角分成34.和56.兩個(gè)角,就得到內(nèi)角分別為：34.、34.、112°和56°、56

3、6;、68°的兩個(gè)等腰三角形.可見,由于任意直角三角形兩個(gè)銳角之和等于第三個(gè)角,只要分第三個(gè)直角都可以把原三角形分成兩個(gè)等腰三角形.問題1:等腰三角形是否可分割成兩個(gè)等腰三角形除了直角三角形可以分割成兩個(gè)等腰三角形外,等腰三角形是不是也可以呢例如：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角分別為72°72°、36°你能把它分割成兩個(gè)等腰三角形嗎三個(gè)角分別為72.、72.、36.的等腰三角形學(xué)生比擬熟悉,很快就得出結(jié)論：把原等腰三角形的一個(gè)底角平分成兩個(gè)角,即作一個(gè)36°角,得出一個(gè)等腰三角形,通過計(jì)算推導(dǎo)出另一個(gè)三角形也是等腰三角形做一個(gè)、證一個(gè)猜測(cè)：等腰三角形都可以

4、分割成兩個(gè)等腰三角形.我們知道,要判斷一個(gè)命題是假命題,最好的方法是舉反例假設(shè)一個(gè)等腰三角形三個(gè)內(nèi)角分別為80°、50°、50°,你能把它分割成兩個(gè)等腰三角形嗎由于底角小于頂角最小角不能分割,只能分割頂角,得三個(gè)內(nèi)角分別為50°、50°、80°和30°、50°、100°兩個(gè)三角形,其中三個(gè)內(nèi)角為30°、50°、100°的三角形不是等腰三角形.由此可見,我們的猜測(cè)是不成立的,該命題是假命題.結(jié)論1:有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角三倍的三角形可分割成兩個(gè)等腰三角形在學(xué)生畫完圖形后,老師繼

5、續(xù)提問：如果把三角形的三個(gè)內(nèi)角改為32°、96°、52°,這個(gè)三角形能分割成兩個(gè)等腰三角形嗎學(xué)生通過動(dòng)手畫圖,不難發(fā)現(xiàn)有兩種不同分割方法(最小角不能分割),必須進(jìn)行分類討論.而在實(shí)際操作過程中發(fā)現(xiàn)：只有分割96°為32和640才能出現(xiàn)兩個(gè)等腰三角形,而分割52°角是不可以的.這里由于96°角是32角的三倍,分96°角可以成兩個(gè)等腰三角形.于是得出猜測(cè)：當(dāng)三角形一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角三倍的時(shí),分3倍角可把原三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.同學(xué)甲：這個(gè)結(jié)論是正確的.比方三角形的三個(gè)內(nèi)角為40°、120°、20

6、76;時(shí),由于120°角是40°角的3倍,把120°角分成40°和80°,就得到內(nèi)角分別為：40°、40°、100°和80°、80°、20°的兩個(gè)等腰三角形.同學(xué)乙：我同意甲的結(jié)論.設(shè)三角形兩個(gè)內(nèi)角分別為x,3x(0<x<45)那么第三個(gè)角為180°-4x,把3x角分成x0和2x就得到內(nèi)角分別為：x>x>180-2x和2x、2x°、180°-4x的兩個(gè)等腰三角形.所以當(dāng)三角形三內(nèi)角中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角三倍的時(shí),此三

7、角形可分割成兩個(gè)等腰三角形.問題2:任意三角形滿足什么條件才可以分割成兩等腰三角形還有滿足其他條件的三角形可以分割成兩個(gè)等腰三角形嗎大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為肯定還有其他三角形可以分割成兩個(gè)等腰三角形,由前面對(duì)等腰三角形的探索可知不是所有三角形都可以分割,可是又無法證實(shí)這些結(jié)論.于是,局部學(xué)生用舉例子和反例的方法來說明這兩個(gè)結(jié)論.這時(shí),老師可以接著提問：那么三角形必須滿足什么條件時(shí)才可以分割成兩個(gè)等腰三角形呢這里老師通過巧妙地設(shè)置問題,使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知上的困惑,激發(fā)他們對(duì)問題探索的熱情,點(diǎn)燃他們對(duì)問題思考的火花.通過前面的探索我們知道不是所有三角形都可以分割成兩個(gè)等腰三角形.三角形能否分割,應(yīng)該與它的三個(gè)內(nèi)

8、角有關(guān)系.如果一個(gè)三角形可以被分割成兩個(gè)等腰三角形,那么它的三個(gè)內(nèi)角應(yīng)當(dāng)滿足什么關(guān)系呢為解決這個(gè)問題,我們應(yīng)該從一般三角形入手,利用前面探索的兩個(gè)結(jié)論：1最小角不能分；2做一個(gè)、證一個(gè)的方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索.如圖：三角形DEF中,/F>/D,問三角形三個(gè)內(nèi)角/D,/E,/F之間滿足什么關(guān)系,可以把DEF分割成兩個(gè)等腰三角形解：過F作FO使得/D=/DFO交DE于O點(diǎn),那么OD=OF.顯然DFO已是等腰三角形,只要EOF也是等腰三角形問題就解決了.要使EOF也是等腰三角形有三種情況,因此要進(jìn)行分類討論.假設(shè)OF=OE那么/E=/OFE/D+/DFE+E=180°,2/DFE=18

9、0,/DFE=90WADEF為直角三角形可得結(jié)論：當(dāng)一個(gè)三角形是直角三角形時(shí),分直角可以把它分割成兩個(gè)等腰三角形.假設(shè)EO=EF貝U/EOFNEFO/EOF=D+/DFO=2D,./EFO=EOF=2ZD,那么/DFE=3D,可得結(jié)論：有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角三倍的三角形分三倍角可得兩個(gè)等腰三角形.假設(shè)FO=FE那么/FOENE,/FOEND+/DFO=2D,./E=2ZD,可得結(jié)論：有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形分第三個(gè)角可得兩個(gè)等腰三角形.問題3:分割成兩等腰三角的三角形需具備什么條件通過前面的探索,我們得出三個(gè)結(jié)論.同學(xué)們非常興奮,以為這下拿到了“尚方寶劍,只要三角形滿足這三個(gè)結(jié)論中的

10、一個(gè),它就一定可以分割成兩個(gè)等腰三角形.不要考慮其他因素為了突破這一難點(diǎn),教師要及時(shí)提出問題讓學(xué)生思考：在DEF中,/D=27,/E=102°,/F=51°,你能把它分割成兩個(gè)等腰三角形嗎?學(xué)生容易對(duì)號(hào)入座,/E=2ZF,一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍,應(yīng)該可以分,而實(shí)際動(dòng)手畫圖時(shí)發(fā)現(xiàn)不能分割成兩個(gè)等腰三角形,與歸納的結(jié)論產(chǎn)生矛盾.這是為什么關(guān)鍵：一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的兩倍的三角形是可分割成兩個(gè)等腰三角形,但要分第3個(gè)角,由于最小角不能分,所以第3個(gè)角不能是最小角.而此題的最小角是第3個(gè)角,因此不能分.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,通過拓展延伸,既穩(wěn)固了新知,開展應(yīng)用意識(shí),實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的遷移和

11、升華,又培養(yǎng)了學(xué)生探究的水平,突破了本活動(dòng)課的難點(diǎn).結(jié)論2:能分割成兩等腰三角形的三角形要具備的條件前面學(xué)生探究得出更一般性的結(jié)論后,教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生對(duì)探究的全過程進(jìn)行回憶,找出規(guī)律性的東西,歸納一般性的結(jié)論,并用自己的語言表述這個(gè)結(jié)論.當(dāng)一個(gè)三角形是直角三角形時(shí),分直角可以把它分割成兩個(gè)等腰三角.有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角三倍的三角形分三倍角可得兩個(gè)等腰三角形.有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形分第三個(gè)角可得兩個(gè)等腰三角形.但第三個(gè)角不能是最小角.結(jié)論在實(shí)際解題中的應(yīng)用有了這些結(jié)論,我們用它來解決有關(guān)問題顯得方便多了.不但正確率高,而且解題時(shí)少走彎路,在進(jìn)行分類討論時(shí)可以做到不重、不漏.下面例題是

12、第二十五屆“希望杯全國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽八年級(jí)第2試的最后一題.例：將一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形,假設(shè)原三角形的一個(gè)內(nèi)角是36°,那么原三角形的另兩個(gè)內(nèi)角有多少種可能的情況寫出各種可能的情況.解：由結(jié)論可知,當(dāng)這個(gè)三角形是直角三角形時(shí)可分割.由于一個(gè)內(nèi)角是36.,所以另兩個(gè)內(nèi)角應(yīng)該是：90.和54.由結(jié)論可知,當(dāng)三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角3倍時(shí)可分割,因此該三角形三個(gè)內(nèi)角只能是：36°、108°、36°或36°、12°、132°,所以另兩個(gè)內(nèi)角應(yīng)該是：108°、36°或12°、132°.由結(jié)

13、論可知,當(dāng)三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角2倍時(shí)可分割,因此該三角形三個(gè)內(nèi)角只能是：36°、72°、72°或36°、18°、126°或36°、48°、96°.由于這種情況要分第三個(gè)角且第三個(gè)角不能使最小角,因此三個(gè)內(nèi)角是36.、48.、96.的三角形不能分.所以以另兩個(gè)內(nèi)角應(yīng)該是：72°、72°或18°、126°.綜上所述,將一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形,假設(shè)原三角形的一個(gè)內(nèi)角是36°,那么原三角形的另兩個(gè)內(nèi)角有5種可能的情況,分別是：90°、54°108°、36°12