常微分方程證明題及答案

1、證明題(每題10分)dx1、設(shè)函數(shù)f在0,+B)上連續(xù)且有界，試證明方程一+x=f(t)的所有解均在0,收)上有界.證明：設(shè)x=x(t)為方程的任一解，它滿足某初始條件X(t0)=X0,t0=0+°°)由一階線性方程的求解公式有y(x)=y0e"x"0)f(s)e(s-x)dsx0現(xiàn)只證x(t)在h,+9)有界,設(shè)|f(t)|勻M,tW0+8)于是對(duì)t0m<+迂有|y|-|y0|e-M(x-x0)x|f(s)ieM(sJ)dsx0_|x0|+Me-tesds,t0_|x0|+M1_e(t0_t)2、設(shè)函數(shù)f(x),p(x)在0,+oc)率0|+M即

2、證上連續(xù)，且Jimp(x)=a>0且|f(x)|<b(a,b,為3、設(shè)函數(shù)f(x)在0,-Hc)上連續(xù)，且limf(x)=b又a>0xJ二4、設(shè)函數(shù)y(x)在0,收)上連續(xù)且可微，且粵y'(x)十y(x)=0試證Jjmy(x)=05、若y1(x),y2(x)為微分方程y"+p(x)y'(x)+p?(x)=0的兩個(gè)解，則它們的朗斯基p(x)dx行列式為w(y1,y2)=ke'其中k為由山及僅)確定的常數(shù)6、求微分方程(x1)(y)2xyy'=x的通解(xy)dx-(x-y)dy7、解方程xdx2+2-0xy8、解方程(x?-l)(y)2

3、xyy'=x?-、e,(xy)dx-(x-y)dy八9、解萬程xdx-1LLJL=0xy2310、解方程yy(y)十(y)=011、已知f(x)是連續(xù)函數(shù)。(1)求初值問題<丫+到一”刈的解y(x),其中a是正常數(shù)。y|x=0=0k(2)若|f(x)|<k(k為常數(shù))，證明當(dāng)xA0時(shí)有|y(x)5°(1e)。a11x一,一人口sf(x)f(x)ftdt=012、已知當(dāng)x>1時(shí)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足V7x+10(1)求f'(x);(2)證明：當(dāng)x至0時(shí)有e/Ef(x)w1。13、設(shè)y1(x),y2(x)是方程y'+p(x)y=q(x)

4、的兩個(gè)不同的解，求證它的任何一個(gè)解滿足恒等式：y(x)-y1(x)=k(k為常數(shù))y2(x)-yi(x)14、當(dāng)*<x<8時(shí)，f(x)連續(xù)且|f(x)怪M。證明：方程y'+y=f(x)(1)在區(qū)間-oo<x上存在一個(gè)有界解，求出這個(gè)解。并證明：若函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則這個(gè)解也是以CO為周期的周期函數(shù)。15、設(shè)函數(shù)f(u),g(u)連續(xù)可微，且f(u)=g(u),試證方程孫yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有積分因子口=xy(f(xy)g(x)16、證明方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0具有形如N=叫?(x,y)的積分因子的充要條件-liN-

5、M=fN(x,y),并求出這個(gè)積分因子。<cy8人acyJ17、證明貝爾曼(Bellman)不等式。設(shè)k為非負(fù)常數(shù)，f(t)和g(t)是區(qū)間口Wt宅P上的t.非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿足不等式f(t)<kf(§g(9ds：-<t<:則有f(t)Mkexp(ag(s)ds),awtwB。18、設(shè)在方程y"+p(x)y'+q(x)y=0中，p(x)在某區(qū)間I上連續(xù)且恒不為零，試證：它的任意兩個(gè)線性無關(guān)的解的朗斯基行列式是區(qū)間I上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。19、假設(shè)x(t)#0是二階齊次線性方程x+a(t)x+a2(t)x=0的解，這里a(t)和a2(t)是區(qū)間a,

6、b上的連續(xù)函數(shù)。試證：x2(t)為方程的解的以要條件是Wx,x2+a1Wx1,x2=0o其中Wx,x2表示x(t),x2(t)的朗斯基行列式。20、在方程y"+3y'+2y=f(x)中，f(x)在a,收)上連續(xù)，且班f(x)=0。試證明:已知方程的任一解y(x)均有l(wèi)imy(x)=0。xx21、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)=sinx-(xt)f(t)dt。求證：1xf(x)=sinxcosx.2222、設(shè)X是常系數(shù)線T方程組=Ax(t)的基解矩陣，適合條件X(0)=E，試證對(duì)dt任彳51t,s成立等式X(t+s)=X(t)X(s).23、設(shè)X(t)是連續(xù)的n階方陣，X

7、(0)存在，且適合關(guān)系X(t+s)=X(t)X(s),|X(0)|#0.試證：存在n階常值方陣A,使得dX-l)=AX(t)odt證明題附加題1,設(shè)方程y"+p(x)y'+q(x)y=0中的p(x)和q(x)在a,b上連續(xù)，且q(x)<0,試證：xP(s)ds對(duì)方程任一非零解y=y(x),函數(shù)f(x)=e'x°y(x)y'(x)為單調(diào)遞增的。x0a,b。2,設(shè)函數(shù)f(x),p(x)在0,七叼上連續(xù)，且limp(x)=a>0,且|f(x)|<b(a,b為常數(shù))，x-:：試證：方程=p(x)y=f(x)的解在0,")上有界。d

8、x3,若y(x),y2(x)為微分方程y"+p(x)y'(x)+p?(x)=0的兩個(gè)解，則它們的朗斯基行列pi(x)dx式為W(y1，y2)=ke,其中k由y1(x),y2(x)確定的常數(shù)。4,已知方程(p(x)u')'+q(x)u=0(1)其中p'(x),q(x)是a,b上的連續(xù)函數(shù),p(x)#0,若u(x),v(x)為(1)的兩個(gè)解，則p(x)u(x)v'(x)u'(x)v(x)恒等于常數(shù)。5。設(shè)f(x)是二次可微函數(shù)，且f"(x)+f'(x)-f(x)=0,證明：若f(x)在某不同兩點(diǎn)處的函數(shù)值為0,則f(x)在

9、該兩點(diǎn)之間恒為零。6,設(shè)y=ex是微分方程xy'+p(x)y=x的一個(gè)解，證明此方程滿足條件yx=ln2=0的特xe1-1解為y=exe2。7,設(shè)f(x)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，f(0)=f'(0)=0,且曲成積分JL(ex+sinx)ydx十(f'(x)一f(x)dy1 11與路徑無關(guān)，證明：f(x)=e+xe+cosx-一sinx。2 22證明題答案1、證明：設(shè)x=x為方程的任一解，它滿足某初始條件x(t0)=X0,t0=0+00)(X-Xc)x(s-x).由一階線性方程的求解公式有y(x)=y0e-f(s)edsx0現(xiàn)只證x(t)在t0,+9)有界,設(shè)|f(t)|加,t

10、W0+8)于是對(duì)t°m<+8有|y|”y0|e-M(xx0),下怛dsx。x，-t,ts.-|x0|+Mereds_|x0|+M1-e(t0_t)率0|+M即證2、證明：設(shè)y=y(x)為方程的任一解，它滿足某初始條件y(x0)=y0,x0三0,十/)由一階線性方程的求解公式有y(x)=y0eYx'0)f(s)e(s-x)dsx0現(xiàn)只證y(x)在x0,+0°)有界，tW0+00),不妨設(shè)x0充分大于是對(duì)x0<x<+00有l(wèi)imp(x)=a>0,則存在Mi>0,使當(dāng)x之x0時(shí)，有|p(x)|就ixF|丫|中0e-叱“下怛dsx0、一Mxy0

11、|+(eMx0b-M-)Meby01+加(1,M(x-x0)-e)b一日yo|+即證Mi3、證明：設(shè)y=y(x)為方程的任一解，它滿足某初始條件y(xo)=yo,xo可0,十無)由一階線形方程的求解公式有-a(x-x0)N=ye0-Xa(s_x)f(s)edsX0Xasy=y0e(0)-e-f(s)eds.0兩邊取極限a(xx)axasJ?y(x)="二y°em：ex0f(s)edslimxt,二axf(x)e_ax一ae4、證明：設(shè)y=y(x)為方程的任一解，它滿足某初始條件y(x0)=y0,x0W0,y)由一階線性方程的求解公式有y(x)=y0e"x"

12、;0)f(s)e(s")ds-x0x-.(x-x0)-xs=y°eef(s)edsx0兩邊取極限xxsef(x).limy(x)=limy0e,limef(s)eds=0+limx=xx0x,二x°x，二ex5、證明：由朗斯基行列式定義有w(yi,y2)二yiy'i丫2.,二%丫2一丫。2y2dw二(yiy'2-y'iy2)i=yiy''2-y''1y2-pi(yy'2-y'iy)-pi(x)wdx用分離變pi(x)dx量法求解有w(y1y2)二k顯然k為由yi(x),y2(x)確定的常數(shù)-:

13、M-:N所以方程僅有與X有關(guān)的積分因子貝U：d(Jx2exdx)+d(x3y2)=0故:M(x)=ex尹二x2(x2f2x2)exx3y2;c“、-y17、解：原方程化為qdy=3dx1y2xx3積分得1Ln(1y2)=Lnx一十Ln(1x2)Lnc故(1y2)(1x2)=c1x28、解：方程化為lndy-ydx=0lnududx這是齊次方程，令y=ux,則有=一u（1lnu）x.-lnu-ln(1+lnu)=lnx+lnc從而通積分cy=1ln-x9、x=±1,y=y為方程的解解：首先，易知均其次，由方程得到xdxydy-2"x-1y.Ln(x2-1)Ln(y2-1)=L

14、nc即(x2-l)(y2-1)二cy.1.10、解：分離變重得rdy=?dx1y2xx321d(1y2)21y2xx1x2)dx積分得2Ln(1y2)=LnxLn(1-x2)-Lnc故(1y2)(1x2)=c1x211、證：(證法一)(1)原方程的通解為一adxaxdx_axoxaxy(x)=eC，If(x)edx=Ceef(x)edx記F(x)為f(x)eax的任一原函數(shù)y(x)=Ceax+eaxF(x)。由y|x斗=0得到C=-F(0)。所以y(x)=e，x|-F(*F(0=)一e：f(t)tedtxxaxataxatax(2)|y(x)|三ef(t)edt三keedt=ke一(eo0a（

15、證法二）（1）在方程兩邊乘以eax（積分因子）y'ex+aye二（f）xx從而(ye)f(x)e由f(0)=0得到：ye=f(t)edtx即y=e0f(t)edt(2)證法同上12、解：(1)由題設(shè)知f'(0)=f(0)=0。則f'(0)=f(0)=1且x(x1)f'(x)f(x)=0ftdt令y=f(x)兩邊求導(dǎo)得到(x+1)(y"+y')+y'=0(x>-1)設(shè)y'=P(x)y''=p'(x得dp=-dxpx1c兩邊積分得lnp=-x=lnK1)1cny'=P=ex1代入初始條件p(0)

16、=f'(0)-1,c-1-xe故f'(x)=-僅1)x1(2)利用拉格朗日中值定理知：當(dāng)x0時(shí)e-f(x)-f(0)=f'd)x=x<0U在0和x之間于是f(x)Mf(0)=11VV另外(f(x)-ex)Lf'x)卞=-ee0僅-0)1 x所以f(x)-e"在(0,f)單調(diào)增加，而(f(x)e/)|xm=f(0)1=0。故當(dāng)x<0有f(x)-e)>0O從而當(dāng)x>0時(shí)eWf(x)W1。13、證：由通解公式知：任一解y=y(x)可由公式-p(x)dxp(x)dxy(x)=e，C+1q(x)e)dxj(1)表示，其中C為y(x)對(duì)應(yīng)的

17、某常數(shù)。y1(x),y2(x)也應(yīng)具有上述形式，設(shè)它們分別對(duì)應(yīng)常數(shù)C1,C2HC1C2,則由(1)式得y(x)-y1(x)=C-C1=ky2(x)f(x)C2-Ci14、證：方程(1)的通解為一0t.一一(由假設(shè)知，此廣義積分收斂)，得解1)取C-ef(t)dtxx.ty(x)=e，f(t)etdt*-joO則由xW(m,+s),|f(x)區(qū)M易證|y(x)1Mx/空，+笛)此即為(1)的一個(gè)有界解。2)若f(x)=f(x+切)，對(duì)(1)中確定的解(3),當(dāng)*亡(,依)有y(x+切)=e'x*飛，f(t)etdtJ-od令t=z+。，則上式右端為xx_xe4xezf(z)dz'

18、ee:jf(z)ezdz=e"_f(z)ezdz=y(x)一學(xué)一所以y(x)也是以0為周期的周期函數(shù)。15、證：用N乘方程兩端，得f(xy)dxg(xy)xf(xy)-g(xy)yf(xy)-g(xy)dy=0因?yàn)镸(x,y)=f(xy)xf(xy)-g(xyN(x,y)g(xyyf(-xygx»:M：:N+.:y改1f'(xy)xIf(xy)-g(xy)I-f(xy)xIf'(xy)-g'(xy)11f(xy)-g(xy)2-f'(xy)g(xy)f(xy)g'(xy)lf(xy)-g(xy)2所以(1)是全微分方程。、一、心、=一

19、曲一酣屋MN16、證：方程有積分因子N(x,y)的充要條件是NM=-N,excyI3y改令喂(x,y),則有n4-M-史加漢y)。甲ex。中。y1為exJ即N=NW(x,y)滿足下列微分方程(x,y)上式右端應(yīng)為邛(x,y)的函數(shù)，這就證明了N=叫中(x,y)為方程的積分因子的率要條件%M,工列cNY/N-M政人ex=f：(x,y)f(：(x,y)d求解(1)式得叫中(x,y)=e)t17、證：1)k>0時(shí)，令0(t)=k+f(s)g(s)ds,則切'(t)=f(t)g(t)wg(t)6(t),由co(t)A0可得-)<g(t)兩邊從a到t積分得(t)ln.t()ln：(&

20、lt;)gsd§a即有-'(t)(t)tMexp.g(s)dso(a)=k>0所以即有2)k=0時(shí)，對(duì)任意t(t)Ekexp.g(s)dst_f(t)<©(t)<kexp(fag(s)dsawtMP。tWA0,由于f(t)Ef(s)g(s)ds,所以a0.時(shí)，有根據(jù)劉維19、證：充分性。因?yàn)閃Q2=x：XiXiWXi,X2a(t)Wx1,x2乂2x2a1(t)X2X2f(t)E8+Qf(s)g(s)ds。由1),有f(t)w®exp(Qg(s)ds)。當(dāng)f(t)<0O因?yàn)閒(t)20,即得f(t)三0。從而f(t)Ekexp(Qg(

21、s)ds),aMtMP由1),2)知，不等式成立。證畢。18、證：設(shè)y(x),y2(x)是已知方程的定義在區(qū)間I上的任意兩個(gè)線性無關(guān)的解。(P(dx爾公式有W(x)=W(x0)ex0x,dW(x)一.p(.)d.其中W(x0)=0?？疾?一U=W(x0)p(x)eJ0dxx一p(.)d.dW(x)l由于W(x0)#0,p(x)在I上恒不等于零，并且e>0,故在I上恒dx為正或恒為負(fù)，從而W(x)在I上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。XiX2X1a1(t)X1X2a1(t)X1而X1(t)#0是已知方程的解，所以Xi-a2(t)XiX2X2aiX2=Xi1-a2(t)X2X2aiX2故有X2+a1X2+a

22、2X2=0,即X2(t)是已知方程的解。必要性。因?yàn)閃Xi,X2為方程的解Xi(t),X2(t)的朗斯基行列式WXi,X2=XiX2XiX2刈+a2(t)XiX2X2a2(t)X2Xi-a(t)XiX2-ai(t)X2=-ai(t)=-ai(t)WXi,X2即wXi,X2滿足WX,X2/aWX,紜o020、證：已知方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為現(xiàn)在利用常數(shù)變易法求已知方程形如y=&1、C2e”yi=不/C2X鏟的一個(gè)特解。得到Ci'(X),C2'(x)所滿足的方程組Ci'(x)eX=cosx-xf(x)+(xf(x)-1fof(t)dt)=cosx10fdtf"(x)=-sinx-f(x)即f"(x)+f(x)=-sinx(i)+C2'(x)e"=0-2Ci'(x)eX-C2'(x)e"=f(x)X解得Ci'(x)uef(x),G(x)=-ief(t)dtXXtC2'(X)=ef(x),Ci(x)=0ef(t)dt故已知方程的通解為(i)XXy=CieC2e.-eoef(t)dte"°ef(t)dt由洛必達(dá)法則同理