因式分解的常用方法

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介紹多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹一、提公因式法.： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運(yùn)用公式法 .在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例

2、如：（ 1） (a+b)(a-b) = a22-a22-b-b =(a+b)(a -b) ；(2) (a± b) 2 = a2± 2ab+b2 a 2± 2ab+b2=(a ±b) 2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a 3 +b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；(4)(a-b)(a2233-a3322+ab+b ) = a-b-b =(a -b)(a+ab+b ) 下面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a333222+b +c-3abc=(a+b+c)(a+b +

3、c-ab-bc-ca) ；三、分組分解法 .（一）分組后能直接提公因式練習(xí)：分解因式1、 a2abacbc2、 xy xy1（二）分組后能直接運(yùn)用公式例 3、分解因式：x 2y 2axay分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。解：原式 = ( x2y 2 )(axay)= ( xy)( xy)a( xy)= ( xy)( xya)例 4、分解因式： a 22abb 2c2解：原式 = (a 22abb2 )c 2= (ab) 2c 2= (abc)(abc)綜合練習(xí)： 1. a 26ab12b9b 24a2. a 42a3a

4、 293.4a 2 x 4a 2 y b 2 x b2 y4. x 22xy xz yz y 25. a22ab22b2ab16. y( y 2)(m1)(m 1)四、十字相乘法 .（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式x2( pq) xpq(x p)( xq) 進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（ 1）二次項(xiàng)系數(shù)是1；（ 2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；（ 3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例 . 已知 0 a 5，且 a 為整數(shù)，若2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合條件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三項(xiàng)式 ax2+bx+c ，都要求b24ac >0 而且是

5、一個(gè)完全平方數(shù)。于是9 8a 為完全平方數(shù)， a1（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1 的二次三項(xiàng)式ax 2bxc條件：（ 1） aa1 a2a1c1（ 2） c c1c2a2c2（ 3） b a1c2a2c1b a1 c2a2 c1分解結(jié)果： ax 2bxc = (a1 x c1 )( a2 x c2 )例 7、分解因式： 3x 2 11x 10分析：1-23 -5（ -6） +（ -5） = -11解： 3x 211x 10 = (x2)(3x5)練習(xí) 7、分解因式：（1） 5x27x6（ 2） 3x27 x 2（3） 10x 217 x3（ 4） 6y 211y 10（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1 的齊次多項(xiàng)式

6、例 8、分解因式： a 2 8ab 128b 2分析：將 b 看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于a 的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b2解： a8ab22128b = a8b( 16b) a8b( 16b)= ( a 8b)( a 16b)練習(xí) 8、分解因式 (1) x23xy2y 2(2)m26mn8n2(3)a 2ab6b 2（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例 9、 2x27xy6y 2例 10、 x2 y 23xy21-2y把xy 看作一個(gè)整體1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2

7、 y)( 2x3y)解：原式 = (xy1)( xy2)練習(xí) 9、分解因式：（1） 15x 27 xy4 y2（ 2） a 2 x 26ax8綜合練習(xí) 10、（ 1） 8x 67 x31（ 2） 12x211xy15 y 2（ 3） ( x y)23(x y) 10（ 4） (a b)24a 4b 3（ 5） x 2 y 25x 2 y 6x 2（ 6） m 24mn 4n23m 6n 2（ 7） x 24xy4 y 22x4 y3（ 8） 5( ab) 223( a2b 2 )10(ab) 2（ 9） 4 x24xy6 x3yy 210（ 10） 12( xy) 211( x2y 2 ) 2

8、( xy)2(11.) abcx2(a2 b 2c 2 )xabc五、換元法。例 13、分解因式（1） 2005 x2(2005 21)x2005（ 2） ( x1)( x2)( x3)( x6)x 2解：（ 1）設(shè) 2005= a ，則原式 = ax 2( a21)xa= (ax1)( xa)= (2005x 1)( x 2005)（ 2）型如 abcd e的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。原式 = ( x 27x6)( x25x6)x2設(shè) x25x6 A ，則 x 27x 6 A 2x原式 = (A2x) Ax 2 = A22Axx2= ( A x)2 = (x 26 x 6

9、) 2練習(xí) 13、分解因式（1） ( x2xyy 2 )24xy(x 2y 2 )（ 2） (x 23x2)(4x28x3) 90（ 3） (a21) 2( a25) 24(a 23)2六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法,試根法，短除法。例 15、分解因式（1） x 33x24解法 1拆項(xiàng)。解法 2添項(xiàng)。原式 = x31 3x23原式 = x33x24x 4x 4= (x 1)( x2x 1) 3( x 1)( x 1)= x(x 23x 4) ( 4x 4)= (x 1)( x2x 1 3x 3)= x( x 1)( x 4) 4( x 1) = (x 1)( x24x 4)= (x1)( x24x4)

10、= (x 1)( x 2) 2= ( x 1)( x 2)2（ 2） x 9x 6x3解：原式 = (x93= ( x= ( x31) ( x6 1) ( x3 1)1)( x6x31)(x 31)( x31) ( x31)1)( x6x 31 x31 1)1)( x 2x1)( x62x33)練習(xí) 15、分解因式（ 1） x 39x8（ 2） ( x 1) 4( x21)2( x 1) 4（ 3） x 47 x21（ 4） x 4x 22ax1a 2（ 5） x 4y 4( x y)4（ 6） 2a 2b 22a 2 c22b 2c 2a4b4c4七、待定系數(shù)法或雙十字相乘法。例 16、分解

11、因式 x2xy6y 2x 13 y 6分析：原式的前3 項(xiàng) x2xy6y 2 可以分為 ( x3y)( x 2 y) ，則原多項(xiàng)式必定可分為(x 3y m)( x2 yn)解：設(shè) x 2xy 6 y 2x 13 y6 = ( x3y (x 3ym)( x2yn) = x2xy6y 2 x2xy6 y2x13y6 = x 2xy 6 ymn1對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得3n2m 13mn6原式 = ( x3y2)( x2 y3)m)( x2 yn)(m n) x(3n 2m) y mn2( mn) x (3n 2m) y mnm2，解得3n練習(xí) 17、（ 1）分解因式 x23xy10 y2x9 y2（ 2）分解因式 x23xy2 y25x7 y61 在ABC 中，三邊 a,b,c滿足 a 216b 2c26ab10bc 0求證： ac2b2已知： x12，則 x 31_xx 33.已知： xy 6 ，xy1，求： x 3y 3 的值。4.求證： n 35n 是 6 的倍數(shù)。（其中n 為整數(shù)）5.已知：