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文檔簡介

1、word迎風型WENO格式考慮一維標量雙曲守恒型方程s。它的半離散守恒型格式如下(1)其中L是空間離散算子。下面我們將通量進行矢通量分裂為:(2)在此的分裂規(guī)那么是:,可以采用多種分裂形式,例如采用簡單的Lax-Friedrichs分裂格式:那么有(3)對于時間項,我們可以使用Runge-Kutta法來提高精度。三階TVD型Runge-Kutta法簡寫為RK-3為:四階非TVD型Runge-Kutta法簡寫為RK-4為:下面我們假定,討論的計算,并且略去上標“+;當時,與關于對稱。簡要介紹一下迎風型WENO格式的重構,詳細過程請參考Jiang和Shu的論文。其根本思想通過線性組合低階通量得到高

2、階通量,這些系數(shù)叫做線性權重。WENO格式是基于ENO格式構造出來的,有關ENO格式的構造這里就不再贅述,可以參考Shu和Osher的文章。根據(jù)r階精度的ENO格式的選取模板即插值區(qū)域思想,考慮迎風效應,選取初始模板為,經(jīng)過r-1次擴充,可能的模板有r個:r階ENO格式是從上述模板中選取一個最光滑的模板,在其上構造插值多項式來逼近f在附近的數(shù)值通量,其數(shù)學表達式為: (4)其中是一個插值多項式,它滿足下面的關系式:(5)a2l為常數(shù),可以從Shu和Osher的文章查到,例如:?,F(xiàn)以三階的ENO格式為例說明之。此時被選模板有三個:它們對應的數(shù)值通量分別為:。首先我們來確定,根據(jù)式(4)可以得到其

3、中是在上構造的二次插值多項式,用Newton插值方式表示如下:于是我們可以得到所以(6)同理可得和所以(7)所以(8)ENO的思想就是在假設干個模板里選出一個最光滑的,并由它求出數(shù)值通量。在包含間斷的模板里,我們非常希望采用這種方法,因為它能排除包含間斷模板中的不是很精確甚至完全不精確的信息。然而在光滑的模板里面,這種做法卻不是我們所希望的,因為此時所有可能的插值模板都提供著同樣精確的信息,從而浪費了其他r1個模板。事實上對于r階ENO格式而言,有r個被選模板,如果將它們合并在一起將形成一個包含2r1個格點的插值區(qū)域,按照式子(4)可以給出網(wǎng)格界面處2r1階的近似:(9)下面,我們依舊以三階E

4、NO為例,它的三個模板一共包含五個點,所以可以構造一個四次插值多項式:那么數(shù)值通量函數(shù)可以構造為:求得界面處的數(shù)值通量: (10)它正好是五階上游中心格式的數(shù)值通量,但是它不能排除包含間斷的模板所帶來的不精確信息,用它所計算的通量在間斷附近會產生非物理的振蕩。為此,構造WENO格式以解決此問題。WENO格式的數(shù)值通量表達式為: (11)其中由(4)確定,是賦予相應模板的權重,問題的關鍵是如何選擇。為了獲得根本無振蕩的性質,應該使與相應模板的光滑性聯(lián)系起來,使得包含間斷的模板被賦予幾乎為零的權重。同時要求在光滑的模板中權重的分布將使得式(11)與式(9)的通量相接近。其實可以組合r1階數(shù)值通量來

5、求得2r1階數(shù)值通量: (12)通過簡單的代數(shù)運算可以確定這些系數(shù),并且它們滿足。對于三階ENO格式而言,把式(6)(7)(8)和(10)帶入(12)就可以確定這些系數(shù),它們的值為: (13)由式(11)和(12)等號兩邊相加,可得因為,如果要求,那么上式就可以改寫為: (14)上式右端第一項為哪一項的2r-1階近似,其精度為。因為式(14)第二項的求和符號內的兩項的乘積的第二項的精度是,所以如果再要求權重系數(shù)滿足,那么式(14)右端第二項的精度在光滑區(qū)域將到達。也就是說如果的選擇符合下述三個條件,那么式(11)的精度在光滑區(qū)域將有;同時此數(shù)值通量將有ENO根本無振蕩的性質,此時稱為最正確權重

6、。 組合系數(shù)符合; 在光滑區(qū)域內組合系數(shù)滿足; 任何包含間斷的模板都被賦予幾乎為零的權重,即。Jiang和Shu選取如下符合上面三個條件的系數(shù): (15)其中,是一個小量,一般取10-6,用來防止分母為0;p是大于等于2的正整數(shù),它的作用是放大模板的不光滑性,使得包含間斷的模板的權重更??;ISk是第k個模板的光滑性度量。Jiang和Shu采用如下方法度量模板的光滑性: (16)對于三階ENO而言,將前面的帶入上式,有 (17)當r=3時,我們驗證一下是否符合最正確權重條件。首先,由上述各式構造的符合。其次,分析的精度,將式(17)進行Taylor展開,我們可以得到:如果,有;將進行Taylor

7、展開,有,把它帶入的表達式,并利用Taylor展開和,可得;這說明在光滑區(qū)域,WENO格式有五階精度。當,即極值點附近,從Taylor展開有,此時,那么有;這就意味著在極值點附近,WENO的精度將是四階,而不是像Jiang和Shu的文獻所述有五階精度,這一點原文可能有誤。最后,如果模板包含了間斷,那么對應的ISk是很大的值,從而和將是接近于零的值。綜上所述,對于r=3,由式(1)、(2)、(3)、(6)、(7)、(8)、(11)、(13)、(15)和(17)所確定的WENO格式空間極值點附近除外具有五階精度,并且繼承了ENO的根本無振蕩的性質。應當指出的是上述格式只給出了,Jiang和Shu的

8、論文指出與關于對稱,也就是當特征值為負時,上述所有公式的各個節(jié)點系數(shù),相對于特征值為正時的節(jié)點系數(shù),關于點對稱。因此,對于三階ENO格式而言下述模板的對應節(jié)點的系數(shù)是相同的:特征值為正的節(jié)點:特征值為負的節(jié)點:從而可以得到相應的表達式。也可以再重復一遍的推導過程來得到的表達式。下面給出三階ENO格式,也就是五階WENO格式的相應結果。當時,根據(jù)迎風思想,初始模板選取為,經(jīng)過兩次擴充,備選的模板為:在這些模板上的二次插值函數(shù)分別為: (18)此時,四次插值多項式為:那么可以求得組合系數(shù):權重的表達式為:每個模板的光滑性度量:下面,我們把上述WENO格式推廣到多維向量雙曲方程。對于一維的Euler方程組,它的半離散格式為:(19)本文采用Lax-Friedrichs(LF)矢通量分裂方法:其中是F的Jacobian矩陣特征值的絕對值的最大值。我們取的Jacobian矩陣的半點平均值。Aj+1/2的左右特征向量矩陣記為

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