量子力學習題

1、河北大學課程考核試卷一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷別A（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）一、概念題：（共20分，每小題4分）1、簡述波函數的統(tǒng)計解釋；2、對“軌道”和“電子云”的概念，量子力學的解釋是什么？3、力學量（？在自身表象中的矩陣表示有何特點？4、簡述能量的測不準關系；八.2/x.v.z）'5、電子在包置和自旋SZ表象下，波函數中=如何歸一化？解釋2（x,y,z）；各項的幾率意義。二（20分）設一粒子在一維勢場U（x）=ax2+bx+c中運動（a>0）。求其定態(tài)能級和波函數。三（20分）設某時刻，粒子處

2、在狀態(tài)中（x）=B（sin2kx+coskx）,求此時粒子的平均動量和平均動能。四（20分）某體系存在一個三度簡并能級，即E1（0）=E20）=E30）=E。在不含時舊0&、微擾H?彳乍用下，總口密頓算符H?在H?（0）表象下為H=0Ei。求V竺E2；受微擾后的能量至一級。五（20分）對電子，求在Sx表象下的Sx、Sy、Sz的矩陣表示。一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷別B（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）、概念題：（共20分，每小題4分）1、何為束縛態(tài)？2、當體系處于歸一化波函數甲（r,t）所描述的狀態(tài)時，簡述在中（r

3、,t）狀態(tài)中測量力學量F的可能值及其幾率的方法。3、設粒子在位置表象中處于態(tài)中（r,t）,采用Dirac符號時，若將中（,。改寫為|中（F,t）有何不妥？采用Dirac符號時，位置表象中的波函數應如何表示？4、簡述定態(tài)微擾理論。5、SternGerlach實驗證實了什么？、一、一，一，一xlx>a、,一（20分）設粒子在三維勢場U（x,y,z）=中運動，求粒子定態(tài)能量9x<a和波函數。Axe三（20分）一維運動的粒子在態(tài)當x 0當x<0中運動，其中22一九>0。求（?）（?）=?四（20分）求一維線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。五（20分）對自旋為S=2的粒子，求在Sy表

4、象中Sx、Sy、Sz的矩陣表示。BJ-1 - 1河北大學課程考核試卷一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷另C_c（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）一、概念題：（共20分，每小題4分）1、一個物理體系存在束縛態(tài)的條件是什么？2、兩個對易的力學量是否一定同時確定？為什么？3、測不準關系是否與表象有關？4、在簡并定態(tài)微擾論中，如H的某一能級E?,對應f個正交歸一本征函數T（i=1,2,f）,為什么一般地九不能直接作為F?=H?（0）+白'的零級近似波函數？5、在自旋態(tài)？i（Sz）中，Sx和Sy的測不準關系gSx）2.（ASy）2

5、是多少？2其它區(qū)域二（20分）求在三維勢場U（x,y,z）=i出口中運動的粒子的定態(tài)0當x<a且y<b能量和波函數。三（20分）求氫原子基態(tài)的最可幾半徑。'c0a+i'四（20分）已知哈密頓算符H?在某表象下H=%050建-bi02，且知其基態(tài)日二3方8,求實數a,b,c0五（20分）求在Sz表象下，Sn二鼻©9*十號9z）的本征值及本征函數。當體系處于，1（4）態(tài)時，求Sn=的幾率為多少？22一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷另D_d（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）、概念題：（共20分，

6、每小題4分）1、在定態(tài)問題中，不同能量所對應的態(tài)的迭加是否為定態(tài)Schrodinger方程的解？同一能量對應的各簡并態(tài)的迭加是否仍為定態(tài)Schrodinger方程的解？2、兩個不對易的算符所表示的力學量是否一定不能同時確定？舉例說明3、說明厄米矩陣的對角元素是實的，關于對角線對稱的元素互相共腕。4、何謂選擇定則。5、能否由Schrodinger方程直接導出自旋？二（20分）求在一維勢阱U （x ）=UoI o0a二x二b升中運動的粒子的定態(tài)能級和波函其它數。三（20分）當體系處在狀態(tài) 中（中）=.3，、一一一sin中+cos中時，（這里華為角坐標）。2.二求角動量z分量Lz的可能值及其平均值。

7、四（20分）轉動慣量為I,電偶極矩為D的空間轉子，處在均勻電場名中，如電場較小，用微擾方法求轉子基態(tài)能量至二級。五（20分）已知J+=J：+iJ；,J為角動量算符，jm）為J2,Jz共同本征態(tài)，試證明：J：jm)=Jj(j+1)一m(m+1產j,m+1)D-1 1河北大學課程考核試卷一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷別E（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）一、概念題：（共20分，每小題4分）1、敘述量子力學的態(tài)迭加原理。2、厄米算符是如何定義的？3、據3,y=1,N?=今+左，N?n=nn,證明：aln）=Jnn-1）04、非簡并

8、定態(tài)微擾論的計算公式是什么？寫出其適用條件。5、自旋S=J,問J是否厄米算符？?是否一種角動量算符？史x<a二（20分）粒子在勢場U僅）=1u2f2中運動，求其定態(tài)能級及波函%噂（x-a）x>a2數。三（20分）氫原子處于基態(tài)。求（1）r的平均值；（2）動量P的平均值100,四（20分）已知哈密頓算符H=%02ai、0-ai3,求：（1）能量本征值；（2）當a很小時，能量修正至二級。11-五（20分）設Fi=2（1+1+京仃-L）,J=L+S,其中L,S=萬仃分別為軌道角動量和自旋S=胃的自旋角動量。l,j分別為L2,J2的量子數。求證:在l確定的態(tài)中，當j=l+12時F1=1;當

9、j=|-%時Fl=0。E1 1河北大學課程考核試卷一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷別F（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）一、概念題：（共20分，每小題4分）1、波函數的量綱是否與表象有關？舉例說明。2、動量的本征函數有哪兩種歸一化方法？予以簡述。3、知Ge鏟="e慳,問能否得到G=且？為什么？dx4、簡述變分法求基態(tài)能量及波函數的過程。5、簡單Zeemann效應是否可以證實自旋的存在？0r<a.二（20分）求在轅力場勢U（r）=，中運動的粒子，當1=0時的定態(tài)能級sr>a與波函數。（1為角量子數）三（20

10、分）證明g,弓=i"邑。其中L?x為軌道角動量x分量，P?y為動量y分量。102（a+i四（20分）已知哈密頓算符在某表象下H="020。求：0+bi03,（1）實數a,b;（2）能級和本征態(tài)。五（20分）已知H=A（S；+S：-Sz）+BLz,其中S為自旋s=（的自旋角動量，【為軌道角動量。求體系的定態(tài)能級與波函數。F11河北大學課程考核試卷一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷另G_G（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）一、概念題：（共20分，每小題4分）1、不考慮自旋，當粒子在庫侖場中運動時，束縛態(tài)能級En的

11、簡并度是多少？若粒子自旋為s,問En的簡并度又是多少？2、根據dFJ*J麗說明粒子在轅力場中運動時，角動量守恒。dt2ti'3、對線性諧振子定態(tài)問題，舊量子論與量子力學的結論存在哪些根本區(qū)別？4、簡述氫原子的一級stark效應。5、寫出J+|jm）的計算公式。當x<0二（20分）已知粒子在勢場U（x）=-U0當0<x<a中運動，U0>0,求束縛0當x>a態(tài)能級所滿足的方程。三（20分）證明：W,f（P）=/。0f（P）響四（20分）求線性諧振子在動量表象下的能級和波函數。五（20分）已知體系H=A（Lx+Lj-LZ）+BSz,其中L為軌道角動量，S為一，1

12、,自旋（s=-）角動量。求體系的定態(tài)能級與波函數。2專業(yè)（類）學年第學期考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷另J_H（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）、概念題：（共20分，每小題4分）1、由4廣dz=1,說明波函數的量綱。2、F?、（？為厄米算符，問F,（?與iF?,6是否厄米算符？3、據a?,夕*=1,N?=3+0?,N?n）=nn）證明：白n）=Vn+1|n+1）,4、利用量子力學的含時微擾論，能否直接計算發(fā)射系數和吸收系數？5、什么是耦合表象？（20分）粒子在勢場u收vz-：0當xl<a，yl<b且lzl<c中運動，求其定態(tài)U（x

13、,y,z）-其它能級及波函數。（20分）球諧振子基態(tài)為中=一-re2,求動能平均值和最可幾半徑。四（20分）某體系）存在三個非簡并能級：E01,E02,E03,相應波函數為中01a-aie中02,甲。3。受微擾Hr=aibd下，求其能量至二級，波函數至一級。（注：h'是在h?s選象下給出的）。五（20分）求在丸表象下，Sn=2（26x+摩0y）的本征值及本征函數。H-1 1河北大學課程考核試卷一學年第學期級專業(yè)（類）當體系處于（Sz）態(tài)時，求S的幾率為多少?考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷別_I（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）一、概念題：（

14、共20分，每小題4分）1、不考慮粒子內部自由度，宇稱算符P?是否為線性厄米算符？為什么？2、寫出幾率密度與幾率流密度所滿足的連續(xù)性方程。ii3、已知？J_Lf（Aa）+）,PxJ.Q夕一夕十），且郛n=Mn，22JiI2J夕卻n=J不和口由，試推出線性諧振子波函數的遞推公式。4、寫出一級近似下，躍遷幾率的計算式。5、何謂無耦合表象？二（20分）粒子在U（x,y）=12i2x2十國2y2中運動，求其定態(tài)能級及波函數。22212tq21二（20分）證明：7r2,其中目=一+一|02r；:rfr2iJrr七-i0"四（20分）F?在某表象下矩陣形式為F=i00，求其本征值及本征函數。200

15、,五（20分）證明（JA）（aB）=A,B+石，ZB）0其中A,B為與J對易的矢量算符，S=±。為s=；的自旋算符。河北大學課程考核試卷K-1 1一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷別J（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）一、概念題：（共20分，每小題4分）1、給出線性諧振子定態(tài)波函數的遞推公式。2、秘二中二（？是否線性算符？3、在什么樣的基組中，厄米算符是厄米矩陣？4、何謂選擇定則？5、寫出Jjm）公式。當xv0或x>b二、（20分）已知粒子在U（x）=，U0當0<x<a中運動，求束縛態(tài)能級滿足|0當a

16、xb的關系式。2-2三、（20分）設粒子在一維無限深勢阱中運動，其基態(tài)能量為Ei=2：,現體a系處在由歸一化波函數=4.2sincos2所表示的狀態(tài)，求：,aaa（1）包含區(qū)間0,a的勢阱位置；（2）寫出測量基態(tài)的幾率的計算公式。4J四、（20分）當l=1時，求在？/表象中£與？y的矩陣表示。五、(20 分)求在中=2/12(sz)Y10(9,*)+/_12(sz)Y11（8,金j）中，算符嚴與Jz的本征值。一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷另J_K（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）一、概念題：（共20分，每小題4分）

17、1、何為束縛態(tài)？2、寫出位置表象中pX,?,?和？的表示式。3、對于定態(tài)問題，試從含時Schrodinger方程推導出定態(tài)Schrodinger方程；4、對于氫原子，其偶極躍遷的選擇定則對主量子數n是否存在限制？為什么？5、在現階段所學的量子力學中，電子的自旋是作為一個基本假定引入的，還是由其它假定自然推出的？二、（20分）求在一維勢場U（x）=Ax2+B（A>0）中，運動的粒子的定態(tài)能級和波函數。.0當0Ex<a三、（20分）一粒子在一維無限深勢阱U（x）=Y-中運動，求其產當x<0或乂>a處于定態(tài)時的平均動能To四、（20分）設嘗試函數為ce7x2,c為歸一化系數，

18、氣為與x無關的變分參數,試用變分法求線性諧振子的基態(tài)能量及波函數。T-22五、（20分）求在自旋態(tài)4Sz）=廣中的測不準關系HE）*（ASy）=?河北大學課程考核試卷一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷別L（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）一、概念題：（共20分，每小題4分）1、假如波函數應滿足的方程不是線性方程，波函數是否一定能歸一化？2、試寫出動量表象中？，r?,?x,?的表式3、幺正算符是怎樣定義的？4、我們知道，平面單色波的電場能和磁場能相等，而在用微擾論計算發(fā)射系數和吸收系數時，我們?yōu)槭裁春雎粤舜艌鰧﹄娮拥淖饔茫?、對于

19、自旋為3/2的粒子，其自旋本征函數應是幾行一列的矩陣？二、（20分）試求三維各向同性諧振子的基態(tài)波函數。三、（20分）推導對易關系2,g,其中？為坐標分量算符，？x為軌道角動量分量算符。0-i0'四、（20分）已知某表象下力學量F?=i00,求其本征值及本征函數。900,五、（20分）在自旋態(tài)«Sz）=中，其測不準關系（&Sy）*（ASz）=?3J一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷別M（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）、概念題：（共20分，每小題4分）1、寫出德布羅意關系式及自由粒子的德布羅意波。I12

20、2,2、一維線性諧振子基態(tài)歸一化波函數為中,匚二eFx,試計算積0一、二e分je-口x2dx；03、當體系處于歸一化波函數巾所描述的狀態(tài)時，簡述在山態(tài)中測量力學量F的可能值及其幾率的方法；4、已知氫原子徑向Schrodinger方程無簡并，微擾項只與r有關，問非簡并定態(tài)微擾論能否適用？5、自旋是否意味著自轉？-22二、（20分）一體系哈氏量為H=_V2-e+cLz其中c為常數，24二；0r求其定態(tài)能級及波函數。三、（20分）試證明1?義？+?義17=2啤四、一粒子在一維勢場U（x）=2n（o2x2+bx中運動，b很小，試用微擾論求其定2態(tài)能量至二級，波函數至一級。五、（20分）已知角動量了=?

21、i+Z,求在態(tài)I1I2jm）=|1110）中的££的值。h/l-1 1河北大學課程考核試卷一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷另J_N（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）一、概念題：（共20分，每小題4分）1、光到底是粒子還是波；2、兩個對易的力學量是否一定同時具有確定值？在什么情況下才同時具有確定值？3、不考慮自旋，求球諧振子能級En的簡并度；4、我們學過，氫原子的選擇定則&=±1,這是否意味著a=±3的躍遷絕對不可能發(fā)生？5、克萊布希一高登系數是為解決什么問題提出的？、（20分）設

22、粒子在二維勢場U僅,y）=Ax2+By2+cx中運動，其中常數A>0,B>0.求其定態(tài)能級和波函數0當0Ex<a三、（20分）在一維無限深勢阱U（x）=w5中運動的粒子，求它g當x<0或x>aJ處在定態(tài)時的平均坐標x。四、（20分）求氫原子處于基態(tài)時，在恒定外弱電場8作用下，其定態(tài)能級至二級和波函數至一級。五、（20分）根據在邑表象下的矩陣表示，求自旋gy的本征值及對應本征函數（粒子s=%）一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷另O_o（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）一、概念題：（共20分，每小題4分

23、）1、在球坐標系下，波函數中（r,e*）為什么應是進動角6的周期函數？2、設當|x<a和y<b時，勢能為常數U。，試將此區(qū)域內的二維Schrodinger方程分離變量（不求解）；3、何謂力學量完全集？4、定性說明為什么在氫原子的Stark效應中，可將H?'=e5,F視為微擾項？.95、Pauli算符。？是否潴足角動量的定義式？."Un當aEx<b二、（20分）有一粒子在一維勢場U（x）=0中運動，求其定態(tài)其匕能級及波函數。三、（20分）已知F?,G=iF?,其中F?、<?均為厄米算符，利用關系2工2I（0=N必F?i&G?WdE20證明測不準關

24、系（Ap）2（6）22乂。40-i0"四、（20分）已知?z、Ly的伴隨表示分別為g=五i00及、000“0i“?y=方000L00求lX的矩陣表示。五、（20分）求在自旋態(tài)/ 1 （s ）= 2 y0的測不準關系（&）2wSx）2=?山O-1 1河北大學課程考核試卷一學年第學期級專業(yè)（類）考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷別P（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）、概念題：（共20分，每小題4分）1、簡述量子力學產生的背景；2、寫出位置表象中直角坐標系下Lx、也、£、L2的表示式；3、Rnri為有心力場中的徑向波函數，問R；l

25、Rn；l，r2dr=66nn；是0否成立？為什么？4、定態(tài)微擾論是否適用于主量子數n很大的氫原子情況？為什么？5、有關角動量的定義，我們學過哪兩種？哪一種更廣泛？自旋角動量是按哪一種定義的？2、（20分）電子在三維勢場U（F）=-J+D?x中運動，其中D為常數，求4二0r其定態(tài)能級及波函數。三、（20分）試推導區(qū)2的對易關系。四、（20分）在各向同性三維諧振子H?中加入微擾項H?'=Ixy,其中九為很小的常數，求第一激發(fā)態(tài)能量的一級修正。五、（20分）求在態(tài)|lil2jm）=|2,1,3,1）中的g£的值，其中角動量J=l?i+L2c專業(yè)（類）學年第學期考核科目量子力學課程類

26、別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷另Q_Q（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）一、概念題：（共20分，每小題4分）1、說明6（x）的量綱；2、說明在定態(tài)問題中，定態(tài)能量的最小值不可能低于勢能的最低值；3、簡述占有數表象；4、試說明對易的厄米算符的乘積也是厄米算符；5、何為偶極近似？22e22二、（20分）一粒子的哈密頓算符為H=盯十BL,其中BH24二；0r為常數，求其定態(tài)能級及本征函數。三、（20分）已知母、？z分別為坐標和角動量的分量算符，推導其對易關系?,?z。四、（20分）在各向同性三維諧振子的哈氏算符田中加入微擾項HT=其中九為很小的常數，求其第一激發(fā)態(tài)能量的一級近

27、似。五、（20分）求在Sy表象下，Sx的本征值及對應本征函數（粒子S=%）。0.-1 1河北大學課程考核試卷專業(yè)（類）學年第學期考核科目量子力學課程類別必修課考核類型考試考核方式閉卷卷另R_R（注：考生務必將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上的無效）、概念題：（共20分，每小題4分）1、量子力學克服了舊量子論的哪些不足?ha2、寫出|?z=二的本征值及對應本征函數;i3、一個物理體系存在束縛態(tài)的條件是什么？4、簡述態(tài)的表象變換的方法；5、已知總角動量J=Ji+J2,試說明J2,J2=0。二、（20分）令H?f為氫原子哈密頓算符，已知一粒子H?=H?（0）+A?y,求此粒子的定態(tài)能級及波函數（其中A為常數）。三、（20分）設粒子在一維線性諧振子勢中運動，求其基態(tài)的測不準關系（x）2（?）2=?四、（20分）已知h?=H?f）+h?，其中H?（0勺n0）=En°an0）已精確求出，試推導e，）、e6）、中n11中n2）（分別為能量的一級、二級修正及波函數的一級、二級修正）所滿足的方程組。五、（20分）已知總角動量了二£+己，匕、己的角量子數分別為li、LJ?的角量子