第一章 彈性力學(xué)基本理論

1、1第一章彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論2 本章主要介紹彈性力學(xué)的基本理論，主要包括：本章主要介紹彈性力學(xué)的基本理論，主要包括：線彈性問線彈性問題的幾個假設(shè)；應(yīng)力、應(yīng)變的定義和性質(zhì)；應(yīng)力平衡方程、幾題的幾個假設(shè)；應(yīng)力、應(yīng)變的定義和性質(zhì)；應(yīng)力平衡方程、幾何方程和物理方程等彈性力學(xué)基本方程的推導(dǎo)。何方程和物理方程等彈性力學(xué)基本方程的推導(dǎo)。這些是進行機這些是進行機械結(jié)構(gòu)有限元分析的重要力學(xué)理論基礎(chǔ)。械結(jié)構(gòu)有限元分析的重要力學(xué)理論基礎(chǔ)。 要求要求: 學(xué)習(xí)并掌握應(yīng)力、應(yīng)變基本概念和主要性質(zhì)，掌握彈學(xué)習(xí)并掌握應(yīng)力、應(yīng)變基本概念和主要性質(zhì)，掌握彈性力學(xué)基本方程、應(yīng)力邊界條件、協(xié)調(diào)方程等。性力學(xué)基本方程、應(yīng)力邊界條件、協(xié)調(diào)方

2、程等。本章概述本章概述3彈性力學(xué)（彈性力學(xué)（Elastic Theory） 彈性力學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科彈性力學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，彈性力學(xué)是固體力學(xué)彈性力學(xué)是固體力學(xué)(solid mechanics)的一個分支，的一個分支，其基本任務(wù)是針對各種具體情況，確其基本任務(wù)是針對各種具體情況，確定彈性體內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變的分布規(guī)律。定彈性體內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變的分布規(guī)律。也就是說，當(dāng)已知彈性體也就是說，當(dāng)已知彈性體的形狀、物理性質(zhì)、受力情況和邊界條件時的形狀、物理性質(zhì)、受力情況和邊界條件時,確定其任一點的應(yīng)確定其任一點的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)和位移。在機械、航空、航天、土建和水利等領(lǐng)力、應(yīng)變狀態(tài)和位移。在機械、航空、航天、土建和水

3、利等領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)分析中域的結(jié)構(gòu)分析中,都需要應(yīng)用彈性力學(xué)的基本理論。都需要應(yīng)用彈性力學(xué)的基本理論。 1.1.1 彈性力學(xué)及其基本假設(shè)彈性力學(xué)及其基本假設(shè)4彈性力學(xué)與材料力學(xué)的區(qū)別彈性力學(xué)與材料力學(xué)的區(qū)別材料力學(xué)材料力學(xué)彈性力學(xué)彈性力學(xué)研究對象幾何形狀桿狀構(gòu)件桿狀構(gòu)件桿、板、殼、塊、桿、板、殼、塊、三維體三維體描述方程常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程求解難易程度容易容易困難困難適用范圍窄窄寬寬 彈性力學(xué)與材料力學(xué)(Strengths of Materials)在研究對象、研究內(nèi)容和基本任務(wù)方面有許多是相同的，但是二者的研究方法有較大差別。 5 彈性力學(xué)是一門基礎(chǔ)理論，彈性力學(xué)是一門基礎(chǔ)理論

4、，把彈性力學(xué)理論直接用于工程把彈性力學(xué)理論直接用于工程問題分析具有很大的困難，問題分析具有很大的困難，其主要原因主要是在于它的基本方其主要原因主要是在于它的基本方程即偏微分方程邊值問題求解通常比較困難。由于經(jīng)典的解析程即偏微分方程邊值問題求解通常比較困難。由于經(jīng)典的解析方法很難用于工程構(gòu)件分析，因此方法很難用于工程構(gòu)件分析，因此探討近似解法是彈性力學(xué)發(fā)探討近似解法是彈性力學(xué)發(fā)展中的一個重要任務(wù)。展中的一個重要任務(wù)。彈性力學(xué)問題的近似求解方法，如差分彈性力學(xué)問題的近似求解方法，如差分法和變分法等，特別是隨著計算機的廣泛應(yīng)用而不斷發(fā)展的有法和變分法等，特別是隨著計算機的廣泛應(yīng)用而不斷發(fā)展的有限單元

5、法，為解決工程實際問題開辟了廣闊的前景。限單元法，為解決工程實際問題開辟了廣闊的前景。6 彈性力學(xué)的基本任務(wù)是針對各種具體情況，確定彈性體內(nèi)彈性力學(xué)的基本任務(wù)是針對各種具體情況，確定彈性體內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變的分布規(guī)律。也就是說，當(dāng)已知彈性體的形狀、物應(yīng)力與應(yīng)變的分布規(guī)律。也就是說，當(dāng)已知彈性體的形狀、物理性質(zhì)、受力情況和邊界條件時，確定其任一點的理性質(zhì)、受力情況和邊界條件時，確定其任一點的應(yīng)力應(yīng)力、應(yīng)變應(yīng)變狀態(tài)狀態(tài)和和位移位移。 彈性力學(xué)的研究對象是彈性力學(xué)的研究對象是理想彈性體理想彈性體，所謂理想彈，所謂理想彈性體應(yīng)符合下述的五個假定。性體應(yīng)符合下述的五個假定。7 五個基本假設(shè)五個基本假設(shè)理想彈性

6、體理想彈性體（1） 連續(xù)性假定。連續(xù)性假定。也就是假定整個物體的體積都被組成該物體的介質(zhì)所填滿，不存在任何空隙。保證物體內(nèi)一些物理保證物體內(nèi)一些物理量（應(yīng)力、應(yīng)變、位移等）的連續(xù)性量（應(yīng)力、應(yīng)變、位移等）的連續(xù)性，從而可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來描述。 （2）完全彈性假定。）完全彈性假定。這是假定物體服從胡克定律，即應(yīng)變與引起該應(yīng)變的應(yīng)力成正比。保證物體在任意瞬時的應(yīng)變將保證物體在任意瞬時的應(yīng)變將完全取決于該瞬時物體所受到的外力或溫度變化等因素，而完全取決于該瞬時物體所受到的外力或溫度變化等因素，而與加載的歷史和加載順序無關(guān)與加載的歷史和加載順序無關(guān)。 8五個基本假設(shè)五個基本假設(shè)理想彈性體理想彈性體

7、（3） 均勻性假定。均勻性假定。假定整個物體由同一材料組成。保證整個保證整個物體的所有各部分具有相同的彈性，因而物體的彈性常數(shù)才不物體的所有各部分具有相同的彈性，因而物體的彈性常數(shù)才不會隨位置坐標(biāo)而變會隨位置坐標(biāo)而變，可以取出該物體的任意一小部分來加以分析，然后把分析所得的結(jié)果應(yīng)用于整個物體。（4）各向同性假定。）各向同性假定。假定物體的彈性在所有各方向上都相同。假定物體的彈性在所有各方向上都相同。也就是說，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變化。（5）小位移和小變形的假定。）小位移和小變形的假定。假定物體受力以后，物體所有各點的位移都遠遠小于物體原來的尺寸，并且其應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都小于1。保證在建立變形體的

8、平衡方程時，可以用物體變形前的保證在建立變形體的平衡方程時，可以用物體變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致引起顯著的誤差尺寸來代替變形后的尺寸，而不致引起顯著的誤差，在考察物體的變形及位移時，對于轉(zhuǎn)角和應(yīng)變的二次冪或其乘積都可以略去不計。 9（1）外力）外力作用于物體的外力通常可分為兩類：作用于物體的外力通常可分為兩類：面力面力(Surface Force) 體力體力(Body Force) 10 面力面力是指分布在物體表面上的外力，是指分布在物體表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如壓力容器所受到的內(nèi)壓、水壩所受的

9、靜水壓力、物體和物體之間的接觸壓力等等。通常情況下，面力是物體表面各點的位置坐標(biāo)的函數(shù)。在物體表面P點處取一微小面積S，假設(shè)其上作用有表面力F，則P點所受的表面力定義為SSSFQ0lim T,SXYXYZZQ （1.1）（1.2）通常用各坐標(biāo)方向上的分量來表示面力，即11 體力體力(Body Force)一般是指分布在物體體積內(nèi)的外力一般是指分布在物體體積內(nèi)的外力，作用于彈性體內(nèi)每一個體積單元。通常與物體的質(zhì)量成正比、且是各質(zhì)點位置的函數(shù)，如重力、慣性力、磁場力等。作用在物體內(nèi)P點上的體力，可按面力定義方式進行定義，即在P點處取一微小體積V，假定其上作用有體力R，則P點所受的體力可定義為VRQ

10、0limVV 一般也是用各坐標(biāo)方向上的分量來表示體力，即T,VXYXYZZQ（1.3）（1.4）12 物體在外力作用下，其內(nèi)部將產(chǎn)生抵抗變形的“附加”內(nèi)力。若假想用一經(jīng)過物體內(nèi)P點的截面mn將物體分為兩部分A和B，移去其中的一部分B。顯然，在截面mn上必定有某種力存在使A平衡，這種力就稱為內(nèi)力，實際上也就是物體內(nèi)部的相互作用力。 （2）內(nèi)力）內(nèi)力圖1-1 物體內(nèi)任意點處的應(yīng)力 B m n P A G T y x z o A 13 所謂一點處某個截面上的應(yīng)力所謂一點處某個截面上的應(yīng)力(Stress)就是指該截面上的就是指該截面上的“附加內(nèi)力附加內(nèi)力”，即應(yīng)力是應(yīng)力是內(nèi)力在該點處的集度內(nèi)力在該點處

11、的集度。如圖1-1所示，在截面mn上P點處取一微小面積A，假設(shè)作用于A上的內(nèi)力為G，則 圖1-1 物體內(nèi)任意點處的應(yīng)力（1.5） B m n P A G T y x z o A AGT0limAT就是P點處的應(yīng)力。 通常將應(yīng)力沿截面A的法向和切向進行分解，相應(yīng)的分量就是常用的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。它們滿足222nnnT（1.6）1.1.3 應(yīng)力應(yīng)力14 在物體內(nèi)的同一點處，不同方向截面上的應(yīng)力是不同的不同方向截面上的應(yīng)力是不同的。只有同時給出過該點截面的外法向方向，才能確定物體內(nèi)該點處此截面上應(yīng)力的大小和方向，才能表示這一點的應(yīng)力狀態(tài)。 o y z x y z y x z zx x zy yx yz

12、 zy zx xy xz yz xy yx xz P A C B 圖1-2 微小正方體元素的應(yīng)力狀態(tài) 如圖1-2所示，正方體各面上的應(yīng)力可按坐標(biāo)軸方向分解為一個正應(yīng)力和兩個剪應(yīng)力，即每個面上的應(yīng)力都用三個應(yīng)力分量來表示。這樣，用9個應(yīng)力分量來表示正方體各面上的應(yīng)力，即zzyzxyzyyxxzxyxij（1.7） 其中，為正應(yīng)力，下標(biāo)表示作用面和作用方向；是剪應(yīng)力，第一下標(biāo)表示截面外法線方向，第二下標(biāo)表示剪應(yīng)力的方向。 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)15 應(yīng)力分量的符號規(guī)定：應(yīng)力分量的符號規(guī)定：若應(yīng)力作用面的外法線方向與坐標(biāo)軸的正方向一致，則該面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸的正方向為正，沿坐標(biāo)軸的負方向為負。相反

13、，如果應(yīng)力作用面的外法線是指向坐標(biāo)軸的負方向，那么該面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸的負方向為正，沿坐標(biāo)軸的正方向為負。（1.8）剪應(yīng)力互等定理：剪應(yīng)力互等定理：xyxyzxzxzyyz 6個獨立的應(yīng)力分量個獨立的應(yīng)力分量 Txyzxyyzzx16 物體在外力作用下，其形狀要發(fā)生改變，變形(Deformation)指的就是這種物體形狀的變化。因此，為了考察物體內(nèi)某一點處的應(yīng)變應(yīng)變(Strain)，可在該點處從物體內(nèi)截取一單元體，研究其棱邊長度和各棱邊夾角之間的變化情況。對于微分單元體的變形，將分為兩部分討論： （1）棱邊長度的伸長量棱邊長度的伸長量，即正應(yīng)變(或線應(yīng)變, Linear Strain)

14、 （2）兩棱邊間夾角的改變量兩棱邊間夾角的改變量（用弧度表示），即剪應(yīng)變（或角應(yīng)變, Shear Strain）。 17 在圖1-3(a)中，單元體在x方向上有一個的伸長量。微分單元體棱邊的相對變化量就是x方向上的正應(yīng)變。即 xuxx相應(yīng)地，y軸方向的正應(yīng)變?yōu)椋簓uyyx-y 平面內(nèi)的剪應(yīng)變： 12tan;tanyxuuxy（1.9）（1.10）（1.11）(a) x方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變 (b) )y方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變 (c) xy面內(nèi)的剪應(yīng)變面內(nèi)的剪應(yīng)變圖圖 1-3 應(yīng)變的幾何描述應(yīng)變的幾何描述 18yuxuxyxy21因此，剪應(yīng)變xy為應(yīng)變分量的矩陣型式xxyxzyxyyzzxy

15、yz（1.12）（1.13） 除了上面的兩種應(yīng)變，還有一種體積應(yīng)變(Volume Starin)。體積應(yīng)變表示彈性體體積的擴張或收縮，按線彈性理論，體積應(yīng)變的大小等于三個線應(yīng)變的和，即zyxVV（1.14）19 彈性體在外力作用下產(chǎn)生應(yīng)力場，彈性體內(nèi)任意一點的應(yīng)力狀態(tài)可以用6個應(yīng)力分量描述。一點的應(yīng)力狀態(tài)與所選定的坐標(biāo)系相關(guān)。以下從應(yīng)力坐標(biāo)變換、任意截面的應(yīng)力分解實現(xiàn)對一點的應(yīng)力狀態(tài)進行分析，并介紹主應(yīng)力等概念。20圖1-4 一點附近的坐標(biāo)系及其旋轉(zhuǎn)變換z 用一個斜面切過實體，并與三個互相垂直的坐標(biāo)面相交，就會隔離出關(guān)于一點的四面體單元。設(shè) 軸為斜面的外法線， 和 與該斜平面相切， ， 和 構(gòu)

16、成新的直角坐標(biāo)系。斜面的外法線方向角定義為 ， 和 ，即 軸分別與x，y，z軸的夾角。如圖1-4，這些夾角的余弦值定義為 軸的方向余弦。分別為：xyzxy x xyxzxxxxxxncosyxyxncoszxzxncos（1.15）三個方向余弦滿足如下關(guān)系：1222zxyxxxnnn（1.16）21 相應(yīng)地，分別求解 ， 軸的方向余弦，新坐標(biāo)系三個軸向的方向余弦寫成如下矩陣形式zzyzxzzyyyxyzxyxxxnnnnnnnnnT T T即為應(yīng)力變換矩陣。根據(jù)靜力學(xué)平衡條件可知T TT其中， TT是 T的轉(zhuǎn)置矩陣。 , 分別為新坐標(biāo)系和原坐標(biāo)系下的一點的應(yīng)力矩陣。 yz（1.17）（1.18

17、）圖1-4 一點附近的坐標(biāo)系及其旋轉(zhuǎn)變換22例題：例題： 如該坐標(biāo)系先繞z軸旋轉(zhuǎn)45，然后再繞新的x軸旋轉(zhuǎn)30，試確定該點在新的坐標(biāo)系下的應(yīng)力矩陣。MPa某一點在xyz坐標(biāo)系內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)已知，其應(yīng)力矩陣如下 522246268zyxzyx1000cossin0sincos111（a）解：對于每一次旋轉(zhuǎn)，都可以通過一系列的坐標(biāo)變換得到彈性體表面的法線向量，并可將該法向向量分別投影到x,y,z軸，得到三個方向上的向量分量。其中第一次旋轉(zhuǎn)得到的向量分量為23（b）zyxcossin0sincos0001111zyx=將第一式代入上式，可得第二次旋轉(zhuǎn)確定了xyz坐標(biāo)，它們與 坐標(biāo)的關(guān)系如下111zyx

18、zyxcossin0sincos00011000cossin0sincoszyx=cossincossinsinsincoscoscossin0sincoszyx=（c）24將 和 代入，得到變換矩陣T，為將T代入式(1.18)，解得變換后的應(yīng)力矩陣 453023424221464602222TT T20. 871. 200. 371. 280. 420. 500. 320. 500. 4MPa25圖1-5 一點的應(yīng)力狀態(tài) XN N y P A C B z x xz zx xy yz yx xy ZN YN x y z o 設(shè)平面ABC的外法線為N，而N的方向余弦為cos (N, x)= nx

19、，cos (N, y)= ny，cos (N, z)= nz （1.19） 可見，如果把平面ABC的外法線N作為變換后的任一坐標(biāo)軸，則上面方向余弦對應(yīng)變換矩陣的一行。用應(yīng)力變換的方法可快速求得平面ABC上的正應(yīng)力 n222222xxyxzxnxyzyxyyzyzxzyzzxxyyzzxyxyyzyzzxzxnnnnnnnnnn nn nn n（1.20）(1) 用坐標(biāo)變換法求任意截面上的應(yīng)力用坐標(biāo)變換法求任意截面上的應(yīng)力26（2）用靜力平衡推導(dǎo)法求任意截面上的應(yīng)力）用靜力平衡推導(dǎo)法求任意截面上的應(yīng)力見圖1-5 ，由平衡條件 Fx = 0，得 即0 AnAnAnATzxzyxyxxxn = xn

20、xxyy xzz xTnnn同理，還可得到另外兩個相似的方程：zzyzyxzxznzyzyyxyxynzxzyxyxxxnnnnTnnnTnnnT 該方程稱為柯西應(yīng)力公式柯西應(yīng)力公式（Cauchys stress formula）。公式描述了彈性體內(nèi)任一點P的6個應(yīng)力分量，與通過P點任一平面上的應(yīng)力之間的關(guān)系。（1.21）（1.22）圖1-5 一點的應(yīng)力狀態(tài) XN N y P A C B z x xz zx xy yz yx xy ZN YN x y z o 27（2）用靜力平衡推導(dǎo)法求任意截面上的應(yīng)力）用靜力平衡推導(dǎo)法求任意截面上的應(yīng)力由上述公式很容易求出平面ABC上的全應(yīng)力：故有22222

21、2zzyzyzxxyzzyyxyxzxzxyyxxznynxnnnnnnnnnnnTTTT（1.23） 而平面ABC上的正應(yīng)力則可通過 ， ， 三個分量投影后合成得到，或參考公式(1.20)，即xnTynTznT222222nxxnyynzznxxyyzzxyxyyzyzzxzxn Tn Tn Tnnnn nn nn n因為全應(yīng)力 與正應(yīng)力、剪應(yīng)力之間滿足如下關(guān)系(見式1.6） nT222nnnT22nnnT（1.24）（1.25）（1.26）28（1）主應(yīng)力的定義）主應(yīng)力的定義 在過一點的所有截面中，存在著三個互相垂直的特殊截面，在這三個截面上僅有正應(yīng)力。這種沒有剪應(yīng)力存在的截面稱為過該點的

22、主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為該點的主應(yīng)力，主應(yīng)力的方向總是與主平面的法線方向平行，稱為該點應(yīng)力的主方向。由柯西應(yīng)力公式，可得zyynxxnnTnTnTzn , ,zzyyzxxzzznzyzyyxxyyynzxzyxyxxxxnnnnnTnnnnTnnnnT 設(shè)一主方向的方向余弦為nx，ny，nz，因為在主平面上沒有剪應(yīng)力，可用 代表該主平面上的全應(yīng)力，則全應(yīng)力在x,y,z軸的投影可表示為0)(0)(0)(zzyyzxxzzyzyyxxyzxzyxyxxnnnnnnnnn（1.28）（1.27）（1.29）29將此行列式展開，得到一個關(guān)于應(yīng)力的一元三次方程因為 ，即 不全為0，上述方程組中 有

23、非平凡解的條件是其系數(shù)矩陣的行列為0，即1222zyxnnnzyxnnn,zyxnnn,0)()()(zyzxzyzyxyxzxyx32222222-()(- ) -(2-) 0 xyzx yy zz xxyyzzxx y zxy yz zxx yzy zxz xy （1.30）（1.31） 可以證明，該方程有三個實根，而這三個根就是P點處的三個主應(yīng)力。將主應(yīng)力分別代入（1.28），結(jié)合（1.29）式便可分別求出各主應(yīng)力方向的方向余弦。還可以證明，三個主方向是相互垂直的。30（2）應(yīng)力不變量）應(yīng)力不變量方程式(1.31)中， 的系數(shù)以及常數(shù)項記為定義為第一，第二，第三應(yīng)力不變量。 (1.31)

24、可表示為,2zyxI1xzxxzzzyzzyyyxyyxxzxyzxyxzzyyxI2222zyzxzyzyxyxzxyxxyzzxyyzxzxyzxyzyxI22232321,III032213III（1.35）31 一點的應(yīng)力狀態(tài)可以用六個直角應(yīng)力分量組成的矩陣來表示： 應(yīng)力不變量可以用主應(yīng)力表示成：xxyxzxyyyzxzyzz123000000321313322123211;III（1.36） 也可以通過選擇主坐標(biāo)作為參考坐標(biāo)，用主應(yīng)力組成的矩陣來表示：32（3）摩爾圓）摩爾圓 彈性體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)可以用摩爾圓來表示，一點的應(yīng)力狀態(tài)的具體值在陰影區(qū)域表示。 主應(yīng)力按代數(shù)值排列 ，以

25、 和 為坐標(biāo)軸的橫軸和縱軸，沿著 軸標(biāo)記出 和 ，接著畫三個圓，直徑分別為( ), ( ) 和 ( ), 如圖1-6所示 圖1-6 應(yīng)力摩爾圓32121 ,3213231 用摩爾圓圖形可顯示任一可能截面上的應(yīng)力，如圖1.6陰影區(qū)，這個陰影區(qū)叫做摩爾應(yīng)力的平面，這三個圓就叫作摩爾圓。 從圖中可以得出以下結(jié)論： （1）主應(yīng)力用圖上點A，B和C來表示，這些點相應(yīng)的剪應(yīng)力為0。 （2）最大剪應(yīng)力為 ，對應(yīng)的正應(yīng)力為 ，可用圖上D點表示。2/ )(312)(31 （3）對于正應(yīng)力有三個極限值和所對應(yīng)的平面叫主應(yīng)力平面 ，主剪應(yīng)力有2)(;2)(; 2/ )(213312321（1.38）33 一般情況下

26、物體內(nèi)不同的點將有不同的應(yīng)力。各點的應(yīng)力分量都是點的位置坐標(biāo)（x, y, z）的函數(shù)，而且在一般情況下，都是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。當(dāng)彈性體在外力作用下保持平衡時，可根據(jù)平衡條件來導(dǎo)出應(yīng)力分量與體積力分量之間的關(guān)系式，即平衡微分方程。這是彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論中的一個重要方程式。 圖1-7 微小單元體的應(yīng)力平衡A B B D D C C x xxxdx yx zxzxzdz zx yxyxydy x z y A 根據(jù)平衡方程，有，0 Xdxdydzdxdydxdydzzdxdzdxdzdyydydzdydzdxxzxzxzxyxyxyxxxx整理得xyxzxxyzX 0（1.39）（1.40）34同理可

27、得y方向和z方向上的平衡微分方程。即xyxzxxyyzyxzyzzxyzXxyzYxyzZ 000得, 0AAM022)(22)()()(22)()(2)(2dydxdydydxdydzzdxdxdydxdxdydzzdxdzdyydxdzdyydxdxdzdxdxdzdyydydzdxdxxdydydzdxxdydydzzxzxzxzyzyzyyxyxyxyxyyyxyxyxxx（1.41）（1.42）35展開這個式子，略去四階微量，整理后得到或0dxdydzdxdydzyxxyyxxy同理，得zyyz和xzzx將上面三個式子聯(lián)立，得到任意一點處應(yīng)力分量的另一組關(guān)系式y(tǒng)xxyzyyzxzzx

28、這個結(jié)果表明：任意一點處的六個剪應(yīng)力分量成對相等，即剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理 xyzxyyzzx為便于表示，一點的九個應(yīng)力分量寫成應(yīng)力列陣 ，（1.43）（1.44）（1.45）36 彈性體受到外力作用時，其形狀和尺寸會發(fā)生變化，即產(chǎn)生變形。應(yīng)變分量與位移分量之間存在的關(guān)系式一般稱為幾何方程，或叫做Cauchy幾何方程(Geometrical Equations)。 從物體內(nèi)P點處取出一個正方微元體，其三個棱邊長分別為dx、dy、dz，如圖1-8所示。當(dāng)物體受到外力作用產(chǎn)生變形時，不僅微元體的棱邊長度會隨之改變，而且各棱邊之間的夾角也會發(fā)生變化。為研究方便，可將微元體分別投影到三個坐標(biāo)面上

29、。圖1-9為投影到xoy 面的情況。圖1-8 微元體zyxdzdydxodxdyvuyoAABDCBCDxuxdxvxdxuydyvydy圖1-9 位移與應(yīng)變37據(jù)此，可以求得 根據(jù)線應(yīng)變（正應(yīng)變）的定義，AB線段的正應(yīng)變?yōu)?A Bdxuxdxvxdx222 xA BABAB 因 ，故由上式可得 ABdx A BABdxxx11代入(1.46）式，得22222xxuxuxvx 由于只是微小變形的情況，可略去上式中的高階微量（即平方項）。xux 當(dāng)微元體趨于無限小時，AB線段的正應(yīng)變就是P點沿x方向的正應(yīng)變。用同樣的方法考察AD線段，則可得到P點沿y方向的正應(yīng)變。（1.46）（1.47）（1.4

30、8）（1.49）38式中 與1相比可以略去，故 現(xiàn)在再來分析AB和AD兩線段之間夾角（直角）的變化情況。在微小變形時，變形后AB線段的轉(zhuǎn)角為yvy xuxvdxxudxdxxvtg 1 uxxv 同理，AD線段的轉(zhuǎn)角為 uy由此可見，AB和AD兩線段之間夾角變形后的改變（減?。┝繛閤yvxuy （1.50）（1.51）（1.52）（1.53）（1.54）39幾何方程完整表示如下： , xyzxyyzzxuxvywuvwvuwvzvuxyzxyyzxywvyzuwzx , Tuwzx（1.55） 把AB和AD兩線段之間直角的改變量 xy 稱為P點的角應(yīng)變（或稱剪應(yīng)變），它由兩部分組成，一部分是由

31、y方向的位移引起的，而另一部分則是由x方向位移引起的；并規(guī)定角度減小時為正、增大時為負。40例題例題1-4考慮位移場 ，求在P(1,0,2)的直角坐標(biāo)應(yīng)變分量是多少？ 解： 在(1，0，2)線應(yīng)變?yōu)?2210)64(3kxyzjiys2210 yu2103yzv2210)64(xw0 xu0 xv21012xxw2102yyu2103zyv0yw0zu2103yzv0zw0;106; 02zwyvxuzyx4122101210120000000 xwzuywzvxvyuxzyzxy 在(1，0，2)剪應(yīng)變?yōu)?2（1）應(yīng)變的直角坐標(biāo)分量表達及坐標(biāo)變換）應(yīng)變的直角坐標(biāo)分量表達及坐標(biāo)變換一點的應(yīng)變矩

32、陣xyxzxxyyzyxzyzz 假如彈性體一點P的6個應(yīng)變分量已知，可以計算出任意PQ方向的線應(yīng)變。設(shè)PQ方向與坐標(biāo)軸的夾角方向余弦為 , 和 ，可推導(dǎo)出PQ方向的線應(yīng)變xnynznzxxzzyyzyxxyzzyyxxPQnnnnnnnnn222（1.56）（1.57）),(,zxxzzyyzyxxy43（1）應(yīng)變的直角坐標(biāo)分量表達及坐標(biāo)變換）應(yīng)變的直角坐標(biāo)分量表達及坐標(biāo)變換可以像應(yīng)力分析那樣用變換矩陣快速求出任意PQ方向的線應(yīng)變 。 （1.58）zxxzzyyzyxxyzzyyxxzyxzyzxzzyyxyzxyxxzyxPQnnennennennnnnneeeeeennn222222有時

33、用彈性應(yīng)變矩陣來表示一點的應(yīng)變狀態(tài)，表達方法如下xyxzxxyyzyxzyzzeeeeee)(2121xvyuexyxy其中，44（2）主應(yīng)變）主應(yīng)變 對于彈性體內(nèi)任一點，存在這樣一個面，在該面內(nèi)只有線應(yīng)變沒有剪應(yīng)變，該線應(yīng)變稱之為主應(yīng)變，該平面法線方向稱之為主應(yīng)變方向（或主應(yīng)變軸）。任一點都有三個互相垂直的主平面。通常情況下，對于各向同性的材料主應(yīng)變平面與主應(yīng)力平面重合。 這里利用彈性應(yīng)變矩陣直接寫出主應(yīng)變的求解式。求解式為其中032213JJJzyxJ1xxzzxzzzyyzyyyxxyxeeeeeeJ2zzyzxyzyyxxzxyxeeeeeeJ3（1.59）45 變形協(xié)調(diào)方程也稱變形連

34、續(xù)方程或相容方程，它描述應(yīng)變分量之間所存在的關(guān)系。 在彈性力學(xué)中，我們認為物體的材料是一個連續(xù)體，它是由無數(shù)個點所構(gòu)成，這些點充滿了物體所占的空間。物體在變形前后都是連物體在變形前后都是連續(xù)的續(xù)的。設(shè)想把一個薄板劃分成許多微元體，如圖1.13 所示。如果六個應(yīng)變分量之間沒有關(guān)聯(lián)，則各微元體的變形便是相互獨立的。 (a) (b) (c) (d)圖圖1-13 變形協(xié)調(diào)的討論變形協(xié)調(diào)的討論 ,yvxuyxxvyuxy六個應(yīng)變分量之間的關(guān)系可以分兩組來討論。有幾何方程46對于幾何方程的剪切應(yīng)變與位移關(guān)系式)()(2232222322xvyxxyvxyuyxyxuyyxyxxvyuyxxyxyyx 22

35、2222zuxwywzvxvyuzxyzxy,xzvyzuzxy22yxwzxvxyz22zyuyxwyzx22yxwzyxxyzxyz22yxzyxwzyxzzxyzxyz2322)(（1.60）（1.61）（1.62）（1.63）（1.64）前兩式分別對y、x求二階偏導(dǎo)數(shù) 求偏導(dǎo) 消位移分量 對z求偏導(dǎo) 47 綜上兩組公式將得到應(yīng)變分量之間的如下六個微分關(guān)系式，即變形協(xié)調(diào)方程（1.65）xzyxzyzyxzyxyxzyxzxzzxzyyzyxxyyzxyzxyxyzxyzxzxyzxyzzxxzyzzyxyyx2222222222222222222)(2)(2)( 上述方程從數(shù)學(xué)上保證了物

36、體變形后仍保持為連續(xù)，各微元體之間的變形相互協(xié)調(diào)，即各應(yīng)變分量之間滿足一定的相容性協(xié)調(diào)條件。 48 本節(jié)討論應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的方程式，即物理方程（Physical equation）。物理方程與材料特性有關(guān)，它描述材料抵抗變形的能力，也叫本構(gòu)方程(Constitutive equation)。本構(gòu)方程是物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，是建立在實驗觀察以及普遍自然原理之上的建立在實驗觀察以及普遍自然原理之上的。對物理現(xiàn)象進行準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)描述一般都十分復(fù)雜甚至不可行，本本構(gòu)關(guān)系則是對一般真實行為模式的一種近似構(gòu)關(guān)系則是對一般真實行為模式的一種近似。另外，本構(gòu)方程本構(gòu)方程只描述材料的行為而不是物體的行為只描述材料的

37、行為而不是物體的行為，所以，它描述的是同一點的應(yīng)力狀態(tài)與它相應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)之間的關(guān)系。491.7.1 廣義胡克定律廣義胡克定律 （1）廣義胡克定律的一般表達式 在進行材料的簡單拉伸實驗時，從應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線上可以發(fā)現(xiàn)，在材料達到屈服極限前，試件的軸向應(yīng)力 正比于軸向應(yīng)變 ，這個比例常數(shù)定義為楊氏模量E，有如下表達式 E彈性體剪切應(yīng)力與剪應(yīng)變也成正比關(guān)系 GE2 1 對于理想彈性體，可以設(shè)6個直角坐標(biāo)應(yīng)力分量與對應(yīng)的應(yīng)變分量成線性關(guān)系，Dzxyzxyzyxzxyzxyzyxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa666564636261565554535251464

38、544434241363534333231262524232221161514131211（1.72）（1.73）（1.74）50 上式即為廣義胡克定律的一般表達式。這里 描述了應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系，對于線彈性材料，式（1.74）可進一步變?yōu)? ,1,2,6ijai j 111213212223313233445566000000000000000000000000 xxyyzzxyxyyzyzzxzxaaaaaaaaaaaa（1.75）51 對于各向同性的線彈性材料，在工程上，廣義胡克定律常采用的表達式為 對于剪應(yīng)力和剪應(yīng)變，線性的各向同性材料的剪應(yīng)變與剪應(yīng)力的關(guān)系是yxzzxzyyzyxx

39、EEE111yxzzxzyyzyxxEEE121112111211Gxyxy（1.78a）式中，G剪切模量。2(1)EG（1.76）（1.77）52 這樣，一點的六個應(yīng)力分量和六個應(yīng)變分量之間的關(guān)系可以用如下矩矩陣形式來表示GyzyzGzxzxxxyyzzxyxyyzyzzxzxD（1.78b）（1.78c）（1.79）其它剪應(yīng)變與其相應(yīng)的剪應(yīng)力的關(guān)系為 53 式中，D彈性矩陣，它是一個常數(shù)矩陣，只與材料常數(shù)楊氏模量E和泊松比 有關(guān)。其表達式為。 對于二維問題，有1111111120001122 11200002 112000002 1ED2101011002ED（1.80）xxyyxyxyD

40、以及，SYM541D（1.81）由式(1.79)可知這里， 可表示為1D11000100010002(1)000002(1)000002(1)00000EEEEEEEEEEEED（1.82）55 對于用主應(yīng)力和主應(yīng)變表示的情況，應(yīng)力應(yīng)變之間有關(guān)下物理方程)(1)(1)(1213313223211EEE（1.83）56 彈性體的基本方程包括平衡微分方程、幾何方程（變形協(xié)調(diào)方程）、物理方程，上述方程分別描述了體積力、應(yīng)力、位移、應(yīng)變等量值之間的關(guān)系，詳見表1-1。各類基本方程之間可進行轉(zhuǎn)換，而這些轉(zhuǎn)換是求解彈性力學(xué)問題的基礎(chǔ)。本節(jié)將對上述方程進行必要的轉(zhuǎn)換，推導(dǎo)出用位移表達的平衡微分方程。 方程名

41、稱方程名稱所描述的量值關(guān)系所描述的量值關(guān)系平衡微分方程體積力 應(yīng)力幾何方程位移 應(yīng)變物理方程應(yīng)力 應(yīng)變表1-1 彈性力學(xué)基本方程與所描述的各物理量 x軸方向的應(yīng)力平衡微分方程為 0 xyxxzXxyz（1.84） 由表1-1可知，要推導(dǎo)用位移表達的平衡微分方程，即是要建立起體積力同位移之間的關(guān)系。57xwzuxvyuxuxzxyx,（1.86）（1.87）（1.88）式(1.85)代入式(1.84):進一步替換：整理得：由物理方程可知111 2xxyzE xyxyGxzxzG， （1.85）2(2)012xyxxzGGXxxyz上式可認為是用應(yīng)變表示的平衡微分方程。下面再用幾何方程 222222222(2)01 2GuuvuwGXxxyx yzx z 2222222()()01 2GuuuuvwGGXxxyzxxyz58其中考慮到體積應(yīng)變的公式 xyzuvwxyz 考慮由另外兩式 導(dǎo)出的平衡微分方程 ，經(jīng)過類似推導(dǎo)可得到另外兩個用位移表示的平衡微分方程。定義拉普拉斯算子0, 0zyFF2222222zyx（1.89）（1.90）（1.91）最后得到：2222222()()()012GuvwuuuGGXxxyzxyz2222()01 22()01 22()01 2GGGuXxGGGvYyGGGwZz59