第四章課件根軌跡

1、4-1 4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念4-2 4-2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則 4-3 4-3 廣義根軌跡廣義根軌跡 4-4 4-4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析第四章第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法線性系統(tǒng)的根軌跡法第四章課件根軌跡本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容： 本章闡述了控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法。本章闡述了控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法。包括根軌跡的基本概念、繪制系統(tǒng)根軌跡的包括根軌跡的基本概念、繪制系統(tǒng)根軌跡的基本條件和基本規(guī)則，參數(shù)根軌跡和零度根基本條件和基本規(guī)則，參數(shù)根軌跡和零度根軌跡的概念和繪制方法，以及利用根軌跡如軌跡的概念和繪制方法，以及利用根軌跡如何分析控制系

2、統(tǒng)的性能等內(nèi)容。何分析控制系統(tǒng)的性能等內(nèi)容。本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)： 掌握控制系統(tǒng)根軌跡所揭示出的系統(tǒng)極、掌握控制系統(tǒng)根軌跡所揭示出的系統(tǒng)極、零點(diǎn)對系統(tǒng)性能的影響，熟練掌握系統(tǒng)根軌零點(diǎn)對系統(tǒng)性能的影響，熟練掌握系統(tǒng)根軌跡圖的作圖步驟，會根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分析跡圖的作圖步驟，會根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的性能。系統(tǒng)的性能。第四章課件根軌跡4-1 4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念 根軌跡法是分析、設(shè)計(jì)線性定常控制系統(tǒng)的圖根軌跡法是分析、設(shè)計(jì)線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法，解方法，也是經(jīng)典控制理論中的基本方法之一。也是經(jīng)典控制理論中的基本方法之一。 1948年，年，伊凡思伊凡思()()根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)中

3、開環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)中開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了求解閉環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了求解閉環(huán)特征方程根的比較簡便的圖解方法，這種方法稱為特征方程根的比較簡便的圖解方法，這種方法稱為根軌跡法。因?yàn)楦壽E法直觀形象，所以在控制工根軌跡法。因?yàn)楦壽E法直觀形象，所以在控制工程中獲得了廣泛應(yīng)用。程中獲得了廣泛應(yīng)用。一、根軌跡概念一、根軌跡概念第四章課件根軌跡根軌跡：根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)（如根軌跡增根軌跡：根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)（如根軌跡增益）從零變化到無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根益）從零變化到無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在在s平面上變化的軌跡。平面上變化的軌

4、跡。設(shè)系統(tǒng)如圖示設(shè)系統(tǒng)如圖示 )2(2)15 . 0()( 開環(huán)傳遞函數(shù) ssKssKsGKssKsRsCs222)()()( 閉環(huán)傳遞函數(shù)2 022)( 閉環(huán)特征方程2 KsssDKs211 特征根2, 1 2, 00起點(diǎn)21 ssK時(shí)時(shí)，：15 . 02, 1 sK時(shí)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處， K第四章課件根軌跡二、根軌跡與系統(tǒng)性能二、根軌跡與系統(tǒng)性能1穩(wěn)定性穩(wěn)定性 穩(wěn)定性主要是考察根軌跡穩(wěn)定性主要是考察根軌跡 是否進(jìn)入右半平面。是否進(jìn)入右半平面。2穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能 系統(tǒng)屬于系統(tǒng)屬于型系統(tǒng)，根軌型系統(tǒng)，根軌 跡上的跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。3動態(tài)性能動態(tài)性能 時(shí)

5、時(shí)，系系統(tǒng)統(tǒng)呈呈過過阻阻尼尼狀狀態(tài)態(tài)5 . 00 K態(tài)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)呈臨界阻尼狀時(shí)，系統(tǒng)呈臨界阻尼狀5 . 0 K時(shí)時(shí)，系系統(tǒng)統(tǒng)呈呈欠欠阻阻尼尼狀狀態(tài)態(tài)5 . 0 K第四章課件根軌跡三、閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系三、閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系 前向通路的傳遞函數(shù)為：前向通路的傳遞函數(shù)為：反饋通路的傳遞函數(shù)為：反饋通路的傳遞函數(shù)為： qiifiiGqiifiiGpszsKsTsKsG11*11)()()1()1()( 前前向向通通路路增增益益GK前前向向通通路路根根軌軌跡跡增增益益*GK hjjljjHhjjljjHpszsKsTsKsH11*11)()()1()1()( 反饋通

6、路的根軌跡增益反饋通路的根軌跡增益*HK第四章課件根軌跡系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 式中：式中：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： niimjjhjjqiiljjfiiHGpszsKpspszszsKKsHsG11*1111*)()()()()()()()(hqn lfm 開開環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)根根軌軌跡跡增增益益*HGKKK mjjniihjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1*111*)()()()()()(1)()(第四章課件根軌跡 由開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式比較，由開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式比較，可以得出以下結(jié)論：可以得出以下結(jié)論：1 1閉

7、環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益等于開環(huán)前向通路根軌跡閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益等于開環(huán)前向通路根軌跡增益。增益。 2 2閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通路傳遞函數(shù)的極點(diǎn)組成。通路傳遞函數(shù)的極點(diǎn)組成。 3 3閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益均有關(guān)。均有關(guān)。 niimjjpszsKsHsG11*)()()()( mjjniihjjfiiGzsKpspszsKs1*111*)()()()()(第四章課件根軌跡根軌跡法的基本思路是：根軌跡法的基本思路是：(1)(1)在已知系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布的情況下，在已知系統(tǒng)開環(huán)

8、零、極點(diǎn)分布的情況下，通過圖解法繪制出系統(tǒng)的根軌跡；通過圖解法繪制出系統(tǒng)的根軌跡；(2)(2)分析系統(tǒng)性能隨參數(shù)的變化趨勢；分析系統(tǒng)性能隨參數(shù)的變化趨勢；(3)(3)在根軌跡上確定出滿足系統(tǒng)要求的閉環(huán)極在根軌跡上確定出滿足系統(tǒng)要求的閉環(huán)極點(diǎn)位置，補(bǔ)充閉環(huán)零點(diǎn)；點(diǎn)位置，補(bǔ)充閉環(huán)零點(diǎn)；(4)(4)再利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，對系統(tǒng)控制再利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，對系統(tǒng)控制性能進(jìn)行定性分析和定量估算。性能進(jìn)行定性分析和定量估算。第四章課件根軌跡四、根軌跡方程四、根軌跡方程系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： 或?qū)懽鳎夯驅(qū)懽鳎簩㈤_環(huán)傳遞函數(shù)代入可得：將開

9、環(huán)傳遞函數(shù)代入可得： )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 0)()(1 sHsG1)()( sHsG1)()(11* niimjjpszsK第四章課件根軌跡根軌跡方程可以用以下兩個(gè)方程描述：根軌跡方程可以用以下兩個(gè)方程描述：相角條件相角條件模值條件模值條件 )12(11*1 kjjniimjjeepszsK), 2, 1, 0(,)12()()(11 kkpszsniimjj mjjniizspsK11*第四章課件根軌跡例例1 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為其零、極點(diǎn)分布如圖所示。判斷其零、極點(diǎn)分布如圖所示。判斷s平面上某點(diǎn)是否是平面上某點(diǎn)是否是根軌跡上的點(diǎn)。根軌跡上的點(diǎn)。 )

10、()()()(321*pspsszsKsHsG 第四章課件根軌跡4-2 4-2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則一、繪制根軌跡的基本法則一、繪制根軌跡的基本法則法則法則1 1 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)： 根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。證明：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為證明：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為根軌跡的起點(diǎn)：當(dāng)根軌跡的起點(diǎn)：當(dāng) 根軌跡的終點(diǎn)：當(dāng)根軌跡的終點(diǎn)：當(dāng)0)()(1 sHsG0)()( 1*1 mjjniizsKps或或0* Kiniipsps 10)( *Kjmjjzszs 10)(第四章課件根軌跡例例2 2 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)

11、傳遞函數(shù)為 )3)(2()1()()(* ssssKsHsG第四章課件根軌跡法則法則2 2 根軌跡的分支數(shù)，對稱性和連續(xù)性：根軌跡的分支數(shù)，對稱性和連續(xù)性： 根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)，根根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)，根軌跡連續(xù)并且對稱于實(shí)軸。軌跡連續(xù)并且對稱于實(shí)軸。證明：根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮證明：根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮時(shí)，閉環(huán)特征方程式的根在時(shí)，閉環(huán)特征方程式的根在s平面上變化的軌跡，因平面上變化的軌跡，因此，根軌跡的分支數(shù)必與閉環(huán)特征方程根的數(shù)目一此，根軌跡的分支數(shù)必與閉環(huán)特征方程根的數(shù)目一致，即根軌跡分支數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)。實(shí)際系統(tǒng)都致，

12、即根軌跡分支數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)。實(shí)際系統(tǒng)都存在慣性，反映在傳遞函數(shù)上必有存在慣性，反映在傳遞函數(shù)上必有nm。所以一般。所以一般講，根軌跡分支數(shù)就等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)。講，根軌跡分支數(shù)就等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)。 實(shí)際系統(tǒng)的特征方程都是實(shí)系數(shù)方程，依代數(shù)實(shí)際系統(tǒng)的特征方程都是實(shí)系數(shù)方程，依代數(shù)定理特征根必為實(shí)根或共軛復(fù)根，實(shí)根位于復(fù)平面定理特征根必為實(shí)根或共軛復(fù)根，實(shí)根位于復(fù)平面的實(shí)軸上，共軛復(fù)根對稱于實(shí)軸，因此根軌跡必然的實(shí)軸上，共軛復(fù)根對稱于實(shí)軸，因此根軌跡必然對稱于實(shí)軸。對稱于實(shí)軸。第四章課件根軌跡 特征方程中的某些系數(shù)是根軌跡增益的函數(shù)，特征方程中的某些系數(shù)是根軌跡增益的函數(shù)，根軌跡增益從零連續(xù)變化到無窮

13、時(shí)，特征方程的系根軌跡增益從零連續(xù)變化到無窮時(shí)，特征方程的系數(shù)是連續(xù)變化的，因而特征根的變化也必然是連續(xù)數(shù)是連續(xù)變化的，因而特征根的變化也必然是連續(xù)的，故根軌跡具有連續(xù)性。的，故根軌跡具有連續(xù)性。法則法則3 3 根軌跡的漸近線：根軌跡的漸近線： 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)大于開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)m時(shí)，時(shí)，有有n-m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角為條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角為 、交點(diǎn)為、交點(diǎn)為 的一組漸近線趨向于無窮遠(yuǎn)處，且有的一組漸近線趨向于無窮遠(yuǎn)處，且有 a a mnzpmn,kmnkmjjniiaa11)1, 210( )12( 第四章課件根軌跡證明：根軌跡方程式可寫成如下

14、形式：證明：根軌跡方程式可寫成如下形式：式中式中左端用二項(xiàng)式定理展開，并取線性項(xiàng)近似有：左端用二項(xiàng)式定理展開，并取線性項(xiàng)近似有： niimjjpazb1111)()( niimjjpszsKsHsG11*)()()()(nnnnmmmmasasasbsbsbsK 111111*111*)( mnmnsbasK1 *111Ksbasmn mnmnKsbas 1*1111 mnKsmnbas 1*11)(1第四章課件根軌跡將將 代入，利用棣美弗定理可寫成：代入，利用棣美弗定理可寫成：令實(shí)部和虛部分別相等，有：令實(shí)部和虛部分別相等，有：從兩個(gè)方程中解出從兩個(gè)方程中解出： js 1, 2 , 1 ,

15、0)12(sin)12(cos*11 mnkmnkjmnkKjmnbamn mnKsmnbas 1*11)(1 mnkKmnbamn )12(cos*11 mnkKmn )12(sin* mnbamnktg11)12( 第四章課件根軌跡也可以寫為：也可以寫為： 這就是漸近線方程，這就是漸近線方程， 為漸近線斜率，為漸近線斜率， 為漸近為漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。線與實(shí)軸的交點(diǎn)。 證畢證畢 mnbamnktg11)12( )(aatg atg a mnzpmnbamn,kmnktgtgmjjniiaa1111)1, 210( )12( 第四章課件根軌跡例例3 3 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

16、： 試根據(jù)已知的基本法則，確定繪制根軌跡的有關(guān)試根據(jù)已知的基本法則，確定繪制根軌跡的有關(guān)數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)。 解：（解：（1） （2）有）有4條根軌跡的分支，且對稱于實(shí)軸條根軌跡的分支，且對稱于實(shí)軸 （3）有）有n-m=3條根軌跡漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處條根軌跡漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處 其漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)及交角為：其漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)及交角為： )22)(4()1()()(2* sssssKsHsG1,1,1,4, 014321 zjpjppp67. 114)1()1140(11 jjmnzpnimjjia )2 , 1 , 0( 300 ,180,6014)12()12( kkmnka 第四章課件根軌跡法則法

17、則4 4 實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的根軌跡： 實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。證明：證明： 設(shè)設(shè)s0為實(shí)軸上的某一測試點(diǎn)為實(shí)軸上的某一測試點(diǎn)； j是各個(gè)開環(huán)零點(diǎn)到是各個(gè)開環(huán)零點(diǎn)到s0點(diǎn)向量的相角點(diǎn)向量的相角； i是各個(gè)開環(huán)極點(diǎn)到是各個(gè)開環(huán)極點(diǎn)到s0點(diǎn)向量的相角。點(diǎn)向量的相角。 第四章課件根軌跡 )12( kij 由圖可見由圖可見, ,s s0 0點(diǎn)右邊開點(diǎn)右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零極點(diǎn)到環(huán)實(shí)數(shù)零極點(diǎn)到s s0 0點(diǎn)的向量點(diǎn)的向量相角均為相角均為 。s0 2 2 3 3 1 1 1 1

18、4 4 2 2 3 3 因?yàn)閺?fù)數(shù)共軛零、極點(diǎn)到實(shí)軸上的任一因?yàn)閺?fù)數(shù)共軛零、極點(diǎn)到實(shí)軸上的任一點(diǎn)的向量相角之和為點(diǎn)的向量相角之和為2 2 ，因此在確定實(shí)軸，因此在確定實(shí)軸上的根軌跡時(shí)，可以不考慮它們的影響。上的根軌跡時(shí)，可以不考慮它們的影響。 ）（1211 kpszsjnjimij0s s0 0點(diǎn)左邊開環(huán)實(shí)數(shù)零極點(diǎn)到點(diǎn)左邊開環(huán)實(shí)數(shù)零極點(diǎn)到s s0 0點(diǎn)的向量相角為點(diǎn)的向量相角為0 0。s s0 0位于根軌跡上的充要條件位于根軌跡上的充要條件是下列相角條件成立是下列相角條件成立: :第四章課件根軌跡 )12( kij ) 12( kij 因?yàn)檫@些相角中每一個(gè)相角都等于因?yàn)檫@些相角中每一個(gè)相角都等于

19、 , ,而而 與與- - 代表相同角度代表相同角度, ,于是上式條件可寫成于是上式條件可寫成: : j：s s0 0點(diǎn)之右所有開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)到點(diǎn)之右所有開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)到s s0 0點(diǎn)的向量相角和點(diǎn)的向量相角和 i：s s0 0點(diǎn)之右所有開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)點(diǎn)之右所有開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)到到s s0 0點(diǎn)的向量相角和點(diǎn)的向量相角和第四章課件根軌跡z1z2z3p4p3p2 j0第四章課件根軌跡法則法則5 5 根軌跡的分離點(diǎn)：根軌跡的分離點(diǎn)： 兩條或兩條以上根軌跡分支在兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立平面上相遇又立即分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)，分離點(diǎn)的坐標(biāo)即分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)，分離點(diǎn)的坐標(biāo)d是下列

20、方程的解：是下列方程的解：分離點(diǎn)的分離角為：分離點(diǎn)的分離角為： niimjjpdzd11111, 1 , 0)12( lklk 第四章課件根軌跡(1)(1)根軌跡出現(xiàn)分離點(diǎn)說明閉環(huán)特征方程有重根出現(xiàn)。根軌跡出現(xiàn)分離點(diǎn)說明閉環(huán)特征方程有重根出現(xiàn)。(2)(2)因?yàn)楦壽E對稱于實(shí)軸，故根軌跡的分離點(diǎn)或位因?yàn)楦壽E對稱于實(shí)軸，故根軌跡的分離點(diǎn)或位于實(shí)軸上，或以共軛復(fù)數(shù)形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面中，于實(shí)軸上，或以共軛復(fù)數(shù)形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面中，常見的根軌跡分離點(diǎn)是位于實(shí)軸上。常見的根軌跡分離點(diǎn)是位于實(shí)軸上。(3)(3)若根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間若根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間( (其中一

21、個(gè)可以是無限極點(diǎn)其中一個(gè)可以是無限極點(diǎn)) )，則在這兩個(gè)極點(diǎn)之間，則在這兩個(gè)極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)分離點(diǎn)；若根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相至少存在一個(gè)分離點(diǎn)；若根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間( (其中一個(gè)可以是無限零點(diǎn)其中一個(gè)可以是無限零點(diǎn)) )，則，則在這兩個(gè)零點(diǎn)之間也至少有一個(gè)分離點(diǎn)。在這兩個(gè)零點(diǎn)之間也至少有一個(gè)分離點(diǎn)。第四章課件根軌跡另一種解法：由代數(shù)定理可知，如果特征方程有重另一種解法：由代數(shù)定理可知，如果特征方程有重根出現(xiàn)應(yīng)滿足：根出現(xiàn)應(yīng)滿足：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的特征方程式為：系統(tǒng)的特征方程式為：對上式求導(dǎo)，得到：對上式求導(dǎo)，得到：由以

22、上兩式消去由以上兩式消去 得到得到解方程即得分離點(diǎn)解方程即得分離點(diǎn) 0)(0)( sDsD)()()()(*sQsPKsHsG 0)()()()(1)()(1)(* sPKsQsQsPKsHsGsD0)()()(* sPKsQsD0)()()()( sPsQsPsQ*K第四章課件根軌跡例例4 4 控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解：將系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)標(biāo)于解：將系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)標(biāo)于s平面，如圖所示。平面，如圖所示。 系統(tǒng)有系統(tǒng)有3條根軌跡分支，且有條根軌跡分支，且有n-m=2條根軌跡趨條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處。于無窮遠(yuǎn)處。(1)(1)實(shí)軸上的根

23、軌跡：實(shí)軸上的根軌跡：(2)(2)確定漸近線確定漸近線：有有n-m=2條漸近線條漸近線 )4)(1()2()()(* ssssKsHsGj , 1, 0 4, 2 -4-2-1 213)12(2313241 kaa第四章課件根軌跡(3)(3)確定分離點(diǎn)：確定分離點(diǎn)：方法一方法一經(jīng)整理得：經(jīng)整理得： 用試探法求得：用試探法求得： 2141111 dddd082011223 ddd55. 0 d第四章課件根軌跡方法二方法二 經(jīng)整理得：經(jīng)整理得： ssssQ45)(23 2)( ssP0)()()()( sPsQsPsQ082011223 sss55. 0 s第四章課件根軌跡法則法則6 6 根軌跡的

24、起始角和終止角：根軌跡的起始角和終止角： 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為起始角，以夾角，稱為起始角，以 表示；表示； 根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為終止角，以夾角，稱為終止角，以 表示。表示。 起始角、終止角可根據(jù)下式求出：起始角、終止角可根據(jù)下式求出：ip iz , 2, 1, 0)12()12(1111 kkkmijjnjzpzzzmjnijjpppzpijijiijiji 第四章課件根軌跡法則法則7 7 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)： 若根軌跡與虛軸相交，意味

25、著閉環(huán)特征方程若根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此根出現(xiàn)純虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此根軌跡與虛軸的交點(diǎn)位置很重要。軌跡與虛軸的交點(diǎn)位置很重要。(1)(1)應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定交點(diǎn)。應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定交點(diǎn)。 令勞斯表中第一列中包含令勞斯表中第一列中包含 的項(xiàng)為零，可以的項(xiàng)為零，可以確定出交點(diǎn)上的確定出交點(diǎn)上的 值，再利用勞斯表中值，再利用勞斯表中 行的行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，可解出純虛根數(shù)值，即交系數(shù)構(gòu)成輔助方程，可解出純虛根數(shù)值，即交點(diǎn)處的點(diǎn)處的 值。值。(2)(2)在閉環(huán)特征方程中令在閉環(huán)特征方程中令 ，然后分別令方程，然后分別令方程的實(shí)部和虛部

26、為的實(shí)部和虛部為0，從中求得交點(diǎn)的坐標(biāo)值及其，從中求得交點(diǎn)的坐標(biāo)值及其相應(yīng)的相應(yīng)的 值（臨界根軌跡增益）。值（臨界根軌跡增益）。 js K K K2s第四章課件根軌跡例例5 5 控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(1)(1)應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定交點(diǎn)。應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定交點(diǎn)。 21)()(* sssKsHsG*0*1*23036321s KsKsKs 606* KK，令令2 206332, 12*2 ，即交點(diǎn)，即交點(diǎn)，輔助方程：輔助方程：jSsKs 023*23 KssssD第四章課件根軌跡(2)(2)法則法則8 8 根之和與根軌跡分支的走向：根之和與根軌跡分支的走向： 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳

27、遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 的分子、分母階次的分子、分母階次差差(n-m)大于等于大于等于2時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)之和。開環(huán)極點(diǎn)之和。 023*23 KssssD 023*23 KjjjjD js 令令 0302*23K 620*3 . 21K ，)()(sHsG211 mnpsniinii第四章課件根軌跡證明：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為證明：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中其中系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： mnasasasbsbsbsKpszsKsHsGnnnnmmmmniimjj 111111*11*)()( mjjmzzzzb1211)()()(

28、 mjjmmzzzzb121 niimppppa1211 niinnppppa121 mjjniizsKpssHsG1*1)()()()(1第四章課件根軌跡由上式可知：由上式可知： 由于閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和為一常數(shù)，由于閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和為一常數(shù)，因此當(dāng)因此當(dāng) 增大時(shí)，某些根軌跡分支（閉環(huán)極點(diǎn)）增大時(shí)，某些根軌跡分支（閉環(huán)極點(diǎn)）向左移動，而另一些根軌跡分支（閉環(huán)極點(diǎn)）必須向左移動，而另一些根軌跡分支（閉環(huán)極點(diǎn)）必須向右移動，才能維持閉環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)（用以判向右移動，才能維持閉環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)（用以判斷根軌跡在斷根軌跡在s平面上的走向）。平面上的走向）。 111*11,2ap

29、sKaAmnniinii 為為常常數(shù)數(shù)：等等于于閉閉環(huán)環(huán)極極點(diǎn)點(diǎn)之之和和，且且無無關(guān)關(guān)，則則開開環(huán)環(huán)極極點(diǎn)點(diǎn)之之和和與與時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) K第四章課件根軌跡 根據(jù)以上繪制根軌跡的八個(gè)法則，根據(jù)以上繪制根軌跡的八個(gè)法則，不難繪制出系統(tǒng)的根軌跡。具體繪不難繪制出系統(tǒng)的根軌跡。具體繪制某一系統(tǒng)根軌跡時(shí)，這八條法則制某一系統(tǒng)根軌跡時(shí)，這八條法則并不一定全部用到，要根據(jù)具體情并不一定全部用到，要根據(jù)具體情況確定應(yīng)選用的法則。況確定應(yīng)選用的法則。第四章課件根軌跡二、自動控制系統(tǒng)的根軌跡二、自動控制系統(tǒng)的根軌跡1.二階系統(tǒng)：二階系統(tǒng)： 例例6 設(shè)一單位反饋二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)一單位反饋二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函

30、數(shù)為：根軌跡繪制如下：根軌跡繪制如下：(1)(1)開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)( (起點(diǎn)起點(diǎn)) )：(2)(2)實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的根軌跡：(3)(3)漸近線：漸近線： TKKTssKTssKsG *)1()1()(Tpp1021 1, 0T 1 , 02)12(212111 kmnkTTmnzpanimjjia 第四章課件根軌跡(4)(4)分離點(diǎn)：分離點(diǎn)：系統(tǒng)根軌跡如圖示。系統(tǒng)根軌跡如圖示。 0)()()()( sPsQsPsQ1)(1)(2 sPsTssQTsTssPsQ21012)()( 第四章課件根軌跡 若希望系統(tǒng)的阻尼比若希望系統(tǒng)的阻尼比 ，試確定閉環(huán)傳遞，試確定閉環(huán)傳遞函數(shù)。函數(shù)。 做一條

31、做一條 射線交于根軌跡的射線交于根軌跡的R點(diǎn)。點(diǎn)。21 45cos1 第四章課件根軌跡R點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)對應(yīng)的此時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：此時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 221*21TLLK )1(21)( TssTsG1221)2121)(2121(21)(222 TssTTjTsTjTsTs第四章課件根軌跡2.2.開環(huán)具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)開環(huán)具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng) 一般情況下，在原開環(huán)傳遞函數(shù)零一般情況下，在原開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)的左邊增加零點(diǎn)會使原根軌跡向左半極點(diǎn)的左邊增加零點(diǎn)會使原根軌跡向左半部移動，舉例說明如下。部移動，舉例說明如下。例例7 7 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)

32、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：根軌跡繪制如下：根軌跡繪制如下：(1)(1)開環(huán)零極點(diǎn)開環(huán)零極點(diǎn): :(2)(2)實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡: : 2)5 . 0()1()12()1()()(*KKsssKsssKsHsG 15 . 0021 zpp), 15 . 0, 0 第四章課件根軌跡(3)(3)分離點(diǎn)分離點(diǎn): 整理后整理后根軌跡如圖所示。根軌跡如圖所示。 與無零點(diǎn)根軌跡與無零點(diǎn)根軌跡 比較可見根軌跡比較可見根軌跡 向左半平面彎曲向左半平面彎曲 和移動，可以證和移動，可以證 明該根軌跡在復(fù)明該根軌跡在復(fù) 平面內(nèi)是圓。平面內(nèi)是圓。 1)(5 . 0)(2 ssPsssQ0)()()()( sPsQ

33、sPsQ由由05 . 022 ss707. 1293. 021 ss第四章課件根軌跡3三階系統(tǒng)三階系統(tǒng) 一般情況下，在原開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)的左邊一般情況下，在原開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)的左邊增加極點(diǎn)會使原根軌跡向右半部移動，舉例說明如增加極點(diǎn)會使原根軌跡向右半部移動，舉例說明如下。下。 例例8 8 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 根軌跡繪制如下：根軌跡繪制如下：(1)(1)開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn): : (2)(2)實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡: : (3)(3)漸近線漸近線: )4)(1()()(* sssKsHsG4 1 0321 ppp), 41, 0 67. 134111 mnzpnimj

34、jia 第四章課件根軌跡(4)(4)分離點(diǎn)分離點(diǎn): : 整理后整理后(5)(5)根軌跡根軌跡與虛軸的交點(diǎn)與虛軸的交點(diǎn): )2 , 1 , 0(180,60)12( kmnka 1)(45)(23 sPssssQ0)()()()( sPsQsPsQ由由87. 2 467. 0 04103212 ssss467. 0 1 s取取代代入入令令 jsKssssD 045)(*2320 2 * K 得得到到第四章課件根軌跡 根軌跡如圖所示。增加極點(diǎn)后會使原根軌跡向根軌跡如圖所示。增加極點(diǎn)后會使原根軌跡向右半平面移動。右半平面移動。第四章課件根軌跡根軌跡示例根軌跡示例1j0j0j0j0j0j00j0j0j

35、j00j第四章課件根軌跡根軌跡示例根軌跡示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0第四章課件根軌跡三、閉環(huán)極點(diǎn)的確定三、閉環(huán)極點(diǎn)的確定例例9 9 某單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：某單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：(1)(1)試概略繪制系統(tǒng)根軌跡；試概略繪制系統(tǒng)根軌跡；(2)(2)求臨界根軌跡增益及該增益對應(yīng)的三個(gè)閉求臨界根軌跡增益及該增益對應(yīng)的三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)；環(huán)極點(diǎn)；(3)(3)用根軌跡法確定系統(tǒng)在穩(wěn)定欠阻尼狀態(tài)下用根軌跡法確定系統(tǒng)在穩(wěn)定欠阻尼狀態(tài)下的開環(huán)根軌跡增益的開環(huán)根軌跡增益 的范圍；的范圍；(4)(4)計(jì)算阻尼比計(jì)算阻尼比 的的 值以及相應(yīng)的閉環(huán)值以及相應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。極點(diǎn)。)15

36、. 0)(1()( sssKsG*K5 . 0 *K第四章課件根軌跡解解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)(1)(1)概略繪制系統(tǒng)根軌跡概略繪制系統(tǒng)根軌跡開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)( (起點(diǎn)起點(diǎn)):):實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡: : 漸近線漸近線: :分離點(diǎn)分離點(diǎn): : KKsssKsG2)2)(1()(* 210321 ppp), 21, 0 2 , 1 , 0180,60)12(132111 kmnkmnzpAnimjjia 1)(23)(23 sPssssQ0)()()()( sPsQsPsQ由由0263 2 ss432. 0 取2 s第四章課件根軌跡根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn):令實(shí)

37、部虛部分別為令實(shí)部虛部分別為0，有，有 系統(tǒng)根軌跡如圖所示系統(tǒng)根軌跡如圖所示 jsKssssD 023)(*23令023)(*23 KjjjD 020332* K 62 *K 第四章課件根軌跡(2)(2)求臨界根軌跡增益及該增益對應(yīng)的三個(gè)閉求臨界根軌跡增益及該增益對應(yīng)的三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)環(huán)極點(diǎn) 由于根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為由于根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 ，對應(yīng)的根軌跡增益為對應(yīng)的根軌跡增益為 ，因此當(dāng)因此當(dāng) 時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。 為系統(tǒng)臨界根軌跡增益。為系統(tǒng)臨界根軌跡增益。 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為對應(yīng)的兩個(gè)閉環(huán)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為對應(yīng)的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)可由根之和法則求得：極點(diǎn)，第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)可由

38、根之和法則求得： 60* K6* K3,2221033321 sjjssss22, 1js 6* K第四章課件根軌跡(3)(3)用根軌跡法確定系統(tǒng)在穩(wěn)定欠阻尼狀態(tài)下用根軌跡法確定系統(tǒng)在穩(wěn)定欠阻尼狀態(tài)下的開環(huán)的開環(huán)根軌跡根軌跡增益增益 的范圍的范圍 從根軌跡圖上可以看出，分離點(diǎn)為從根軌跡圖上可以看出，分離點(diǎn)為 對應(yīng)的對應(yīng)的 值可以由模值條件求出值可以由模值條件求出 穩(wěn)定欠阻尼狀態(tài)的根軌跡增益的范圍為穩(wěn)定欠阻尼狀態(tài)的根軌跡增益的范圍為 *K432. 02 s*K4 . 0* K64 . 0* K第四章課件根軌跡(4)(4)計(jì)算阻尼比計(jì)算阻尼比 的的 值以及相應(yīng)的值以及相應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)。 為

39、了確定滿足阻尼比條件時(shí)系統(tǒng)的為了確定滿足阻尼比條件時(shí)系統(tǒng)的3 3個(gè)閉個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，首先做出的環(huán)極點(diǎn)，首先做出的等阻尼線等阻尼線OAOA，它與負(fù)實(shí)，它與負(fù)實(shí)軸夾角為軸夾角為 等阻尼線等阻尼線OA與根軌跡的交點(diǎn)即為相應(yīng)的與根軌跡的交點(diǎn)即為相應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)，可設(shè)相應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)分別閉環(huán)極點(diǎn)，可設(shè)相應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)分別為為 60arccos 5 . 0 *Knnnnnnnnjjsjjs 866. 05 . 01866. 05 . 012221 第四章課件根軌跡閉環(huán)特征方程式為：閉環(huán)特征方程式為：023)()()()()(*232332233321 KssssssssssssssssDnnnn *23

40、32323 Ksssnnnn 比比較較系系數(shù)數(shù)有有 04. 133. 23767. 032 解得*3Ksn 為為值值以以及及相相應(yīng)應(yīng)的的閉閉環(huán)環(huán)極極點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)在在*K5 . 0 33. 2 ,58. 033. 0 ,58. 033. 0321 sjsjs第四章課件根軌跡第四章課件根軌跡4-3 4-3 廣義根軌跡廣義根軌跡 一、參數(shù)根軌跡一、參數(shù)根軌跡 除開環(huán)根軌跡增益除開環(huán)根軌跡增益 以外的其它參量從以外的其它參量從零變化到無窮大時(shí)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根零變化到無窮大時(shí)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。軌跡。 繪制參數(shù)根軌跡的法則與繪制常規(guī)根軌繪制參數(shù)根軌跡的法則與繪制常規(guī)根軌跡的法則完全相同。只需要

41、在繪制參數(shù)根軌跡的法則完全相同。只需要在繪制參數(shù)根軌跡之前，引入跡之前，引入“等效開環(huán)傳遞函數(shù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)”，將繪，將繪制參數(shù)根軌跡的問題化為繪制常規(guī)根軌跡的制參數(shù)根軌跡的問題化為繪制常規(guī)根軌跡的形式來處理。形式來處理。*K第四章課件根軌跡繪制常規(guī)根軌跡時(shí)，系統(tǒng)的特征方程為：繪制常規(guī)根軌跡時(shí)，系統(tǒng)的特征方程為：式中式中 為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。 如果選擇其它參量為可變參數(shù)時(shí)，引入如果選擇其它參量為可變參數(shù)時(shí)，引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，將系統(tǒng)的特征方等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，將系統(tǒng)的特征方程也化為上式的形式。程也化為上式的形式。對對 進(jìn)行等效變換，將其寫成如進(jìn)行等效變換，

42、將其寫成如下形式：下形式： 0)()(1)()(1)()(1*11* sDsNKpszsKsHsGniimjj)()(sHsG0)()(1 sHsG第四章課件根軌跡A是除是除 以外系統(tǒng)的其它可變參數(shù)，而以外系統(tǒng)的其它可變參數(shù)，而 和和 為兩個(gè)與為兩個(gè)與A無關(guān)的多項(xiàng)式。無關(guān)的多項(xiàng)式。因此得到等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：因此得到等效開環(huán)傳遞函數(shù)為： 利用上式繪制的根軌跡，就是參數(shù)變化利用上式繪制的根軌跡，就是參數(shù)變化時(shí)的參數(shù)根軌跡。時(shí)的參數(shù)根軌跡。 1)()( sQsPA*K)(sP)(sQ0)()(1)()( sHsGsAPsQ顯然)()()()(11sQsPAsHsG 第四章課件根軌跡例例10 10

43、時(shí)的根軌跡。時(shí)的根軌跡。解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 構(gòu)造等效開環(huán)傳遞函數(shù)構(gòu)造等效開環(huán)傳遞函數(shù) 以以 作為可變參數(shù)作為可變參數(shù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)有等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)個(gè)開環(huán)極點(diǎn): )1()(41)(2 ssassG 0a04141)(23 assssD221)21(41)41(41)( ssasssasGa4121 0321 ppp第四章課件根軌跡實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡: :漸近線漸近線: : 分離點(diǎn)分離點(diǎn): :由模值條件得分離點(diǎn)處的由模值條件得分離點(diǎn)處的a值值: ),2121, 0 ,33)12(3132121kaa61 02112111 dddd272 ,

44、5412142 ddadda第四章課件根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：將與虛軸的交點(diǎn)：將 帶入閉環(huán)特征方帶入閉環(huán)特征方程式程式系統(tǒng)根軌跡如圖所示。系統(tǒng)根軌跡如圖所示。 js 04)(41)()()(23 ajjjjD 121 a 解解得得第四章課件根軌跡 從根軌跡圖中可以看出參數(shù)從根軌跡圖中可以看出參數(shù)a變化對變化對系統(tǒng)性能的影響。系統(tǒng)性能的影響。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)落在實(shí)軸上，時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)落在實(shí)軸上，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)過程。系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)過程。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，離虛軸近的一對復(fù)數(shù)閉時(shí)，離虛軸近的一對復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)逐漸向虛軸靠近，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為振環(huán)極點(diǎn)逐漸向虛軸靠近，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為振蕩收斂過程。蕩收斂過程。

45、當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有閉環(huán)極點(diǎn)落在右半時(shí)，有閉環(huán)極點(diǎn)落在右半s平面，平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定，階躍響應(yīng)振蕩發(fā)散。系統(tǒng)不穩(wěn)定，階躍響應(yīng)振蕩發(fā)散。2720 a1272 a1 a第四章課件根軌跡二、零度根軌跡二、零度根軌跡 在負(fù)反饋條件下根軌跡方程為在負(fù)反饋條件下根軌跡方程為 ，相角條件為：相角條件為：稱相應(yīng)的常規(guī)根軌跡為稱相應(yīng)的常規(guī)根軌跡為 根軌跡。根軌跡。 在正反饋條件下，系統(tǒng)特征方程為：在正反饋條件下，系統(tǒng)特征方程為：此時(shí)根軌跡方程為此時(shí)根軌跡方程為 相角條件為相角條件為相應(yīng)繪制的根軌跡稱為相應(yīng)繪制的根軌跡稱為 根軌跡。根軌跡。 1)()( sHsG, 2, 1, 0)12()()( kksHsG 0)()(1

46、)( sHsGsD1)()( sHsG, 2, 1, 02)()( kksHsG 0180第四章課件根軌跡 需要繪制需要繪制 根軌跡的來源有二根軌跡的來源有二:一是系統(tǒng)一是系統(tǒng)中具有正反饋內(nèi)回路，二是非最小相角系統(tǒng)中具有正反饋內(nèi)回路，二是非最小相角系統(tǒng)中包含中包含s最高次冪的系數(shù)為負(fù)值的因子。最高次冪的系數(shù)為負(fù)值的因子。 以正反饋內(nèi)回路為例：以正反饋內(nèi)回路為例： 系統(tǒng)的根軌跡方程系統(tǒng)的根軌跡方程 0)()(1)()()(sHsGsGsRsC 1)()( sHsG第四章課件根軌跡相角條件：相角條件：模值條件：模值條件： 與常規(guī)根軌跡的相角條件和模值條件相比，模與常規(guī)根軌跡的相角條件和模值條件相比

47、，模值條件沒有變化，因此零度根軌跡的繪制的法則只值條件沒有變化，因此零度根軌跡的繪制的法則只要考慮相角條件所引起的某些法則的修改。需要修要考慮相角條件所引起的某些法則的修改。需要修改的根軌跡繪制法則有：法則改的根軌跡繪制法則有：法則3、法則、法則4、法則、法則6。 ), 2, 1, 0(,20)()(11 kkpszsniimjj mjjniizspsK11*第四章課件根軌跡4-4 4-4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析 本節(jié)討論如何利用根軌跡分析、估算系統(tǒng)性能，本節(jié)討論如何利用根軌跡分析、估算系統(tǒng)性能，同時(shí)分析附加開環(huán)零、極點(diǎn)對根軌跡及系統(tǒng)性能的同時(shí)分析附加開環(huán)零、極點(diǎn)對根軌跡及系統(tǒng)性能的影響

48、。影響。一、條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析一、條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析 參數(shù)在一定的范圍內(nèi)取值才能穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為參數(shù)在一定的范圍內(nèi)取值才能穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。條件穩(wěn)定系統(tǒng)可以通過根軌跡圖來?xiàng)l件穩(wěn)定系統(tǒng)。條件穩(wěn)定系統(tǒng)可以通過根軌跡圖來確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)參數(shù)的取值范圍?，F(xiàn)舉例說明。確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)參數(shù)的取值范圍?，F(xiàn)舉例說明。 第四章課件根軌跡例例12 12 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 試?yán)酶壽E圖討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)試?yán)酶壽E圖討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) 的取的取值范圍。值范圍。由圖可以看出：由圖可以看出：系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的這種情況稱為條件穩(wěn)這種情況稱為條件穩(wěn)定系

49、統(tǒng)，通過根軌跡定系統(tǒng)，通過根軌跡 圖的分析可以確定要求系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。圖的分析可以確定要求系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。 )14 . 1)(6)(4()42()(22* sssssssKsG*K19564 140 * KK和和當(dāng)當(dāng)6414 195 * KK和和當(dāng)當(dāng)?shù)谒恼抡n件根軌跡二、利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)二、利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)例例1313 在例在例9中，在計(jì)算阻尼比中，在計(jì)算阻尼比 的的 值以及相值以及相應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)的情況下，估算此時(shí)系統(tǒng)的動態(tài)性能應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)的情況下，估算此時(shí)系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。指標(biāo)。解解 根軌跡根軌跡如圖如圖 所所示。示。 等阻尼線等阻尼線OA與與 根

50、根軌跡的交點(diǎn)軌跡的交點(diǎn) 即為即為相應(yīng)的閉相應(yīng)的閉 環(huán)極點(diǎn)，環(huán)極點(diǎn)，在例在例9 中已計(jì)算中已計(jì)算出出 值以及值以及相應(yīng)的閉相應(yīng)的閉 環(huán)極點(diǎn)。環(huán)極點(diǎn)。 5 . 0 *K*K第四章課件根軌跡 在所求得的在所求得的3 3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)中個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)中， 至虛軸的距離與至虛軸的距離與 (或或 )至虛軸的距離之比為：至虛軸的距離之比為： 是系統(tǒng)的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)。于是，該系統(tǒng)可由是系統(tǒng)的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)。于是，該系統(tǒng)可由主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)所構(gòu)成的二階系統(tǒng)來估算原三階系統(tǒng)主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)所構(gòu)成的二階系統(tǒng)來估算原三階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。原系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡增益為的動態(tài)性能指標(biāo)。原系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡增益為1，因，因此相應(yīng)的二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：此相應(yīng)的二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：52. 0204. 1* KKK33. 2 ,58. 033. 0 ,58. 033. 0321 sjsjs3s1s2s倍倍 733. 033. 2 21ss、第四章課件根軌跡 原系統(tǒng)為原系統(tǒng)為型系統(tǒng)，系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤型系統(tǒng)，系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)計(jì)算如下：差系數(shù)計(jì)算如下： 系統(tǒng)在單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為：系統(tǒng)在單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為： 525. 0)15 . 0)(1(