奧數(shù)專題裂項法一含答案

1、奧數(shù)專題裂項法（一）同學(xué)們知道：在計算分數(shù)加減法時，兩個分母不同的分數(shù)相加減，要先通分化成同分母分數(shù)后再計算。（一）閱讀思考例如 111 ，這里分母 3、4 是相鄰的兩個自然數(shù)，公分母正好是它們的3412乘積，把這個例題推廣到一般情況，就有一個很有用的等式：即 111nn 1n(n 1)或111n(n 1)nn 1下面利用這個等式，巧妙地計算一些分數(shù)求和的問題?！镜湫屠}】例 1. 計算：111119861986198719871988199519851994分析與解答：上面 12 個式子的右面相加時， 很容易看出有許多項一加一減正好相互抵消變?yōu)?0，這一來問題解起來就十分方便了。像這樣在計算

2、分數(shù)的加、減時，先將其中的一些分數(shù)做適當?shù)牟鸱?，使得其中一部分分?shù)可以相互抵消，從而使計算簡化的方法，我們稱為裂項法。例 2.計算： 111111 21 23123100公式的變式當 n 分別取 1，2，3， 100 時，就有例 3. 設(shè)符號（）、 代表不同的自然數(shù)，問算式111中這兩個6( )符號所代表的數(shù)的數(shù)的積是多少？分析與解： 減法是加法的逆運算， 1(11就變成 111，6)6()與前面提到的等式 111相聯(lián)系，便可找到一組解，即nn 1n(n 1)1116742另外一種方法設(shè) n、 x、 y 都是自然數(shù)，且 xy ，當 111時，利用上面的變加為減的nxy想法，得算式 x n1 。

3、nxy這里 1 是個單位分數(shù)， 所以 xn 一定大于零，假定 xnt0 ，則 xnt ，y2代入上式得t1 ，即 y nn 。n(nt )yt又因為 y 是自然數(shù)，所以 t 一定能整除 n 2 ，即 t 是 n2 的約數(shù)，有 n 個 t 就有 n 個y ，這一來我們便得到一個比111更廣泛的等式，即當nn 1n( n 1)x n t ， yn 2n ， t 是 n2 的約數(shù)時，一定有 111，即tnxy上面指出當 xn t ， yn 2n ， t 是 n2 的約數(shù)時，一定有 111 ，這tnxy里 n 6 ,n236 ， 36 共有 1，2，3，4，6，9，12， 18，36 九個約數(shù)。當 t

4、1時， x7 ， y42當 t2 時， x8 ， y24當 t3時， x9 ， y18當 t4 時， x10 ， y15當 t6 時， x12 ， y10當 t9 時， x15 ， y10當 t12 時， x18 ， y 9當 t18 時， x24 ， y 8當 t36 時， x42 ， y 7故（）和 所代表的兩數(shù)和分別為49，32， 27，25。【模擬試題】 （答題時間： 20 分鐘）二 . 嘗試體驗：1.計算：2.計算： 1111111111111136101521283645556678911051203.已知 x、y 是互不相等的自然數(shù)，當111 時，求 xy 。18xy【試題答案】1.計算：2.計算： 1111111111111136101521283645556678911051203.已知 x、y 是互不相等的自然數(shù)，當111 時，求 xy 。18xyxy的值為： 75，81，96， 121， 1