立體幾何專題——空間角

1、b立體幾何專題：空間角第一節(jié)：異面直線所成的角、基礎(chǔ)知識(shí)1.定義:直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間一交 o,分別a?/a, b?/b,相交直線a?D斷成的b2.范圍:銳角(或直角)叫做(Ji -I3方法:ew 0- i< 2平移法、問量法、三線角公式a、b的平行線，構(gòu)造(1)平移法：在圖中選一個(gè)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)(通常是線段端點(diǎn)或中點(diǎn))作 個(gè)三角形，并解三角形求角。ab(2)向量法：可適當(dāng)選取異面直線上的方向向量，利用公式cos日=cos < a,b > =求出來方法1：利用向量計(jì)算。選取一組基向量，分別算出代入上式方法2:利用向量坐標(biāo)計(jì)算，建系，確定直線上某兩點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求出方向向量a=

2、(Xi,y，Zi)b =(X2,y2,Z2). cos =Xi X2_y y2_zZ2 X12y：Z12 X22Z22(3)三線角公式用于求線面角和線線角斜線和平面內(nèi)的直線與斜線的射影所成角的余弦之積等于斜線和平面內(nèi)的直線所成角的余弦即：coscos 2 = cosB二、例題講練例1、( 2007年全國高考)如圖，正四棱柱ABCD ABGD1中，AA=2AB,則異面直線 AB與Ad所成角的余弦值為 例 2、在長方體 ABCD-A 1B1C1D1 中，已知 AB= a , BC= b(a >b) ,AA 產(chǎn)c, 求異面直線DB和AC所成的角的余弦值。方法方法過B點(diǎn)作AC的平行線(補(bǔ)形平移法

3、) 過AC的中點(diǎn)作BD1平行線方法三：(向量法)例3、已知四棱錐P - ABCD的底面為直角梯形，AB/ DC , /DAB =90：PA_L底面 ABCD ,且1PA = AD=DC=, AB=1, M 是 PB 的中點(diǎn) 2(I)證明：面PAD，面PCD ;(n)求AC與PB所成的角；PtbDAV-L-C1 I/DABO例4、 如圖，在四棱錐 P - ABCD中，底面 ABCD為矩形，側(cè)棱 PA_L底面ABCD , 求直線AC與PB所成角的余弦值；AB=J3, BC=1, PA =2, E 為 PD 的中點(diǎn)2.正方體ACi中，O是底面ABCD的中心，則OA1和BDi所成角的大小為P到b的距離

4、為J5 ,則異面直線a與b所成的角為O2,點(diǎn)P到l的距離為2,C1ON分別是M、OOC訓(xùn)練題1.正方體的12條棱和12條面對(duì)角線中，互相異面的兩條線成的角大小構(gòu)成的集合3 .已知l為異面直線a與b的公垂線，點(diǎn)pw a ,若a、b間距離為4 .如圖正三棱柱 ABC-A 1B1C1中AB= J2AA 1, A1B1, A1C1的中點(diǎn)，則AM與CN所成角為5 .如圖PD_L平面ABCD,四邊形ABCD為矩形, AB=2AD=2DP , E 為 CD 中點(diǎn)。(1) AP與BE所成的角為(2)若F W直線pd,且AF與BE所成角為91.1 =30?行嗎？ DF2. 1=75?時(shí)；DP6 .空間四邊形 A

5、BCD中，對(duì)角線AC, BD與各邊長均為1,。為ABCD的重心，M是AC的中點(diǎn)，E是AO的中點(diǎn)，求異面直線 OM與BE所成的角D7 .空間四邊形 ABCD 中 AB=BC=CD , N BCD= N ABC=120 ?, AB -L CD , M、N 分別是中點(diǎn)(1) AC和BD所成的角為 。 (2) MN與BC所成的角為 8.已知正方體ACi中，(1) E、F分別是A1D1, A1C1的中點(diǎn)， 則AE與CF所成的角為(2) M、N分別是AA1, BB1的中點(diǎn)， 則CM和DiN所成的角是 c9、如圖，三棱錐 P-ABC中，PC_L平面 ABC , PC=AC=2 , AB=BC , D是PB上

6、一點(diǎn)，且.一一 ，一 .一一 幾、CD_L平面PAB. (I)求證：AB _L平面PCB; (II)求異面直線 AP與BC所成角的大?。?一)3第二節(jié)、直線和平面所成的角一、基礎(chǔ)知識(shí)1 .定義：（斜線和平面所成的角垂線與平面所成的角l U 0（或l / 口）2 .直線與平面所成角范圍是 。3 .斜線與平面所成的角是此斜線與平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角。（最小值定理）4 .求法： 幾何法公式法問量法（1）幾何法：作出斜線與射影所成的角，論證所作（或所找）的角就是要激的角，解三角 形求出此角。ccosF（2）公式法： cos9 =u cos日 1 =cos% cosHcos12AB _L口于點(diǎn)B

7、,/AOB = a,/AOC = 61 /BOC =%（即：與斜線射影所成的兩角的余弦的積等于斜線和平面內(nèi)的直線所成角的余弦值）m, n , 則 m,n 的余角或其補(bǔ)角的余角即為a與口 所成的角日,余弦值。（3）向量法：設(shè)直線a與平面a所成角為日，直線a的方向向量與面 a的法向量分另是例3、四棱錐S ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面 SBC _L底面ABCD .已知/ABC =450, AB =2, BC =2后，SA=SB=V3.(I)證明 SA_LBC ;D(n)求直線SD與平面SAB所成角的大小.例4、如圖J/2是互相垂直的異面直線，M、N分別在1/2AB 在 li 上，C 在

8、 12 上,AM=MB=MN 。（1）證明：AC _LNB若/ ABC=60 ?,求NB與平面ABC所成角的余弦值。訓(xùn)練題1、（2008年高考全國卷1）已知三棱柱 ABC-A iBiCi的側(cè)棱與底面邊長都相等，Ai在底面ABC內(nèi)的射影為三角形 ABC的中心，則ABi與底面ABC所成的角的正弦值等于 2、（2008上海高考）如圖，在棱長為 2的正方體ABCD ABGDi中，E是BCi的中點(diǎn)。Ai求直線DE與平面ABCD所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）3、過點(diǎn)P作平面0的兩條斜線段 PA和PB,則PA=PB是斜線PA和PB與平面a成等角的 條件。4、如圖所示，/ BOC在平面口內(nèi)，OA是儀的

9、斜線，/ AOB= / AOC=60 ?, OA=OB=OC=a , BC= J2a,求OA和平面口所成的角的大小。b5、如圖，已知正方形 ABCD , SA_L現(xiàn)面ABCD ,且SA=AB , M、N分別為SB、SD的中 點(diǎn)，求SC和平面AMN所成的角b第6題圖第7題圖6、給出下列命題，其中正確命題序號(hào)是 。(1)若PA、PB、PC與平面a成等角，則適 P在平面ct上的射影。是AABC的外心(2)已知直線上l與平面a所成角是,直線a是a內(nèi)與l異面的任一直線，則l與平面a4所成角范圍是(3)在三麴隹P-ABC中，若二面角 P-AB-C , P-BC-A , P-CA-B ,大小相等，則點(diǎn) P在

10、平面 ABC上射影 O是iABC內(nèi)心。(4)坡度為a的斜坡，有一條與坡腳水平線成30?的小道，若沿小道每前進(jìn)100m,高度就上升25m,那么此坡坡度為30?。D是AB的中點(diǎn)，且BD7、如圖，在三棱錐 V -ABC中，VC ±底面ABC , AC ± BC , .冗AC =BC =a , /VDC =日；0<6一.2(I)求證：平面 VAB ± VCD ;(II)試確定日的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為 。6(出)當(dāng)解日變化時(shí)，求直線 BC與平面VAB所成的角的取值范圍.第三節(jié)平面與平面所成的角一、基礎(chǔ)知識(shí)1 .定義：二面角：由一條直線出發(fā)的 所組成的

11、圖形叫做二面角平面角：過棱上同一點(diǎn)分別位于二面角的兩個(gè)面內(nèi),且與棱同時(shí)垂直的兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范圍是 .注:二面角是空間圖形，平面角是平面圖形。在書寫時(shí)不要寫成 ”/ AOB為所求二面角”, 而應(yīng)寫成AOB為二面角a -l -P的平面角”。2 .求法：幾何法向量法公式法（1）幾何法：作出二面角的平面角,再求解，常見的有作法圖 形定義法在才愛CD上找一點(diǎn)O,在兩個(gè)面內(nèi)分別作棱的垂線 AO,BO / AOB為二面角C -CD _p的平面角垂面法過棱上一點(diǎn)O作棱的垂直平面了與兩 個(gè)半平面的交線分別為 AOBO / AOB 為口 _CD - P的平面角三垂線法過B內(nèi)一點(diǎn)A

12、,作AB 1 0（交0（于B, 作 BO _L CD 于 O,連結(jié) AO, / AOB 的a _CD _p平面角或其補(bǔ)角（2）向量法：分別求出口和P的法向量m,n ,則二面角a -1 - P的大小為< m,n >或冗一<m,n> 用此法須知：1需建空間直角坐標(biāo)系，定準(zhǔn)相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)2通常容易找到一個(gè)面的法向量，只需通過二次垂直，求另一個(gè)平面的法向量3當(dāng)ot -1 一 P為銳角時(shí)m n < m,n > （<m,n >為銳角）或 Tt m m,n > （cm,nA 為鈍角）L上I在平面 a內(nèi) /C,EF 在平面p內(nèi)，bd_Lef,且 bwef分別

13、求出 AC,BD,則 A= EF< AC,BD a即為二面角a - EF - P的大小(3)公式法：設(shè)二面角 a -1 - P 的大小為d AB Ca,CD c P,AB _L 1,CD _L 1,令A(yù)B =m,CD =n,BD =d，則AC2 =m2 n2 d2 - 2mncos -注意：BA與DC所成的角一定與二面角的平面角大小相等，但不一定是異面直線BA和CD所成角的大小。面積法： 設(shè)二面角a -l - P的平面a內(nèi)某一圖形(一般取三角形)面積為 S,該圖形 在平面 P上射影面積為S', 二面角a-l-P的大小為日,則SS cos6 =一(8為銳角)或8$日=-一(6為鈍角

14、)SS二、例題講練例1、如圖，已知棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，且AA，面ABCD , /DAB =60 : AD=AA, F為棱AAi的中點(diǎn)，M為線段BD1的中點(diǎn), C1(1)求證：MF，面 BDD1B1 ；(2)求面BFD1與面ABCD所成二面角的大小.A，k.a例2、如圖，直二面角 D- AB-E中，四邊形 的點(diǎn)，且BH平面ACE(1)求證：AEX平面BCE(2)求二面角 B- AC- E的大??；ABCD邊長為2的正方形，AE=EB F為CE上E例 3、 如圖所示的幾何體 ABCDE 中，DA _L平面 EAB CB/DA, EA =DA =AB =2CB , EA _L

15、 AB , M 是 EC 的中點(diǎn).(I )求證：DM _LEB ;(n )求二面角 M -BD - A的余弦值.b已知四棱錐 P _ABCD的底面為直角梯形，AB/DC , / DAB = 90：PA_L底面ABCD ,且 PA = AD = DC = 2(I)證明：面PAD，面PCD ;(n )求面 AMC與面BMC所成一例5、如圖，三棱錐 P-ABC中，,AB =1 , M是PB的中點(diǎn).二面角的大小./;刁DCPC_L 平面 ABC , PC=AC=2 ,例4、AB=BC , D 是 PB 上一點(diǎn)，且 CD ITa PAB .(I)求證：AB _L平面PCB;(II)求一面角 C-PA-B

16、的大小.訓(xùn)練題1.如圖：三棱錐 A-BCD 中，AC=AB=BD=DA=2 , BC=CD=PFV3 ,則二面角A-BD-C大小為_v126_arccos 。 一面角 B-AC-D 大小為12_2.已知直線au% ,直線a與l所成角為4(0口£6<90°),0 i P大小為e 3則恒成立的是()*A. cosB2 = cos% cosUB. sin 日2 = sinRsin/C. sin % = sing1sinS2D. cos93 = cos 1cos日2/3.如圖，四邊形 BCEF、AFED 都是矩形，且平面/ACF =a,/ABF =P,/BAC =B ,則下列

17、結(jié)論中正確的是b/BCDC口與B所成角為0 2,AFED ,平面 BCEF ,ADCBb/ bad=90?，pP"底面 ABCDJABCD的長方體被截面（補(bǔ)形成正方體）A. cos a = cosP cos 6B. sin a =sin C cos6C. cos P =cosa cos6D. sin P =sin a cos日3 .如圖，四棱錐 P-ABCD中所有的棱長都相等。求:二面角C-PD-B大小設(shè)M、N分別為AD、PC中點(diǎn)，試求MN與底面AC及平面BDP所成的角平面PAB與平面PCD所成二面角的大小4 .如圖，四邊形 ABCD 為直角梯形，AD/BCPA=AD=AB=2BC

18、, M、N 分別為 PC、PB 的中點(diǎn) 求證：PB _ DM求BD與平面ADMN所成角的大小求二面角A-PB-C5 .如圖所示多面體是由底面為BC=2, C Ci=3, BE=1求BF求二面角A-EF-B6 .如圖，在正方體 ABCD-A 1B1C1D1中，點(diǎn)E在CC1上 求證：AE_BD當(dāng)AiE與面BED所成角為多大時(shí)，面 AiBD，面EBDD在（2）的結(jié)論下，求此時(shí)二面角 A-A 1D-E的大小8.如圖，在棱長AB=AD=2 , AAi=3的長方體ACi中點(diǎn)E是平面BCCiBi上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)試確定E的位置，使DiE_L平面ABiF 求二面角Bi-AF-B的大小9、如圖，在四棱錐 V - ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面 VAD是正三角形平面VAD _L底面ABCD.(I)證明：AB _L平面VAD ;(n )求面VAD與面DB所成的二面角的大小.證明