《多邊形》名師教案(人教版八年級上冊數(shù)學(xué))

1、多邊形名師教案(人教版八年級上冊數(shù)學(xué))11.3 多邊形及其內(nèi)角和11.3.1 多邊形(王中煒)一、教學(xué)目標(biāo)1 .學(xué)習(xí)目標(biāo)(1) 1.1.1 了解多邊形及有關(guān)概念.(2) 1.1.2多邊形對角線條數(shù).(3) 1.1.3區(qū)別凸多邊形與凹多邊形，理解正多邊形的概念 .2 .學(xué)習(xí)重點(diǎn)多邊形對角線條數(shù)公式的推導(dǎo).3 .學(xué)習(xí)難點(diǎn)區(qū)別凸多邊形與凹多邊形，理解正多邊形的概念.二、教學(xué)設(shè)計(一)課前設(shè)計1.預(yù)習(xí)任務(wù)(1)在平面內(nèi)，由一些線段首尾 相接組成的 封閉圖形 叫做多邊形.(2)多邊形 相鄰兩邊 組成的角叫做多邊形的內(nèi)角.(3)多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.(4)連接多邊形不相鄰的

2、兩個頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線.(5)各個角 都相等,各條邊 都相等的多邊形叫做正多邊形.任務(wù)2(6)如圖，五邊形ABCDIW 5 條邊，它們分別是 AB BC CD DE EA;有 5一個 內(nèi)角，它們分別是 /A、/B、/C /D、/E .在下圖中畫出以A為端點(diǎn)的所有 對角線.該五邊形一共有_5一條對角線.(1)下列圖形中，是正多邊形的是()A直角三角形 B等腰三角形 C.長方形 D.正方形【知識點(diǎn)】正多邊形概念【解題過程】A直角三角形 有一個是直角，其它角不是.所以不是正多邊形；B.等腰三角形 只有有兩邊相等.所以不是正多邊形；C.長方形四個角相等，但四條邊不相等.所以不是正多邊形；D正

3、方形四個角相等，四條邊相等，所以是正多邊形.【思路點(diǎn)撥】正多邊形的邊、角都要相等【答案】D(2)六邊形的對角線有()A6條B.3條C.9條 D8條【知識點(diǎn)】多邊形對角線條數(shù)公式【解題過程】解：*3)=9 2【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用多邊形對角線條數(shù)的公式計算即可 .【答案】C(二)課堂設(shè)計1 .知識回顧(1)由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接成的封閉圖形叫三角形(2)三角形內(nèi)角和為180° .(3)三角形一邊延長線和另一邊的夾角叫三角形的外角 .2 .問題探究探究一師問：看下面的圖片，其中的房屋結(jié)構(gòu)、蜂巢結(jié)構(gòu)是由一些線段圍成的什么圖形?學(xué)生通過預(yù)習(xí)和已有的生活經(jīng)驗?zāi)芑卮鸪鑫暹呅巍⒘呅?，?/p>

4、師順勢板書多 邊形概念.多邊形及有關(guān)概念：這種在平面內(nèi)，由一些不在同一條直線上的線段首尾順 次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.活動多邊形概念的剖析師問：同學(xué)們，以上多邊形的概念中關(guān)鍵詞有哪些？學(xué)生小組討論，舉手發(fā)言.說到一處，老師就用紅色粉筆在黑板上標(biāo)記一處.(1)同一平面(與三角形概念不相同的地方)；(2)不在同一條直線上；(3)首尾順次相接；(4)封閉.活動與多邊形相關(guān)的概念多邊形的命名：多邊形按組成它的線段的 條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊 形、n邊形.這就是說，一個多邊形由幾條線段組成，就叫做幾邊形.三角形 是最簡單的多邊形.多邊形的內(nèi)角：與三角形類似地，多邊形 相鄰兩邊組成的角叫做多邊形

5、的內(nèi) 角.如圖中的/ A、/ R /C、/D E E.多邊形的外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外 角.(一個頂點(diǎn)處有兩個外角，它們是一組對頂角，是相等的.但在計算外角和時， 一個頂點(diǎn)只選一個外角)如圖中的/ 1是五邊形ABCD的一個外角.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，從生活中抽象出多邊形的模型，了解多邊形的 相關(guān)概念.同時在多邊形概念上體會數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)密性.問題探究二多邊形對角線條數(shù)四活動 動手操作，大膽猜想，從多邊形的一個頂點(diǎn)可引多少條對角線 ? 師問：同學(xué)們，從一個頂點(diǎn)引對角線，四邊形可畫幾條對角線

6、？五邊形可畫幾條對角線？六邊形可畫幾條對角線？請同學(xué)們動手畫圖看看 .（培養(yǎng)學(xué)生的動 手操作能力）你能猜想從一個頂點(diǎn)引對角線，n邊形可引多少條對角線嗎？（培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力，體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維模式）活動集思廣益，合作探究多邊形共多少條對角線 ？四邊形共有幾條對角線？五邊形共有幾條對角線？六邊形共有幾條對角線？你能猜想n邊形有多少條對角線嗎？說說你的想法.因為從n邊形的一個頂點(diǎn)可以引（n-3）條對角線，n個頂點(diǎn)共引n（n-3）條對角 線，又由于連接任意兩個頂點(diǎn)的兩條對角線是相同的，被重復(fù)計算了.所以，n邊形有nn二義條對角線.2【設(shè)計意圖】鼓勵學(xué)生獨(dú)立自主探究，讓學(xué)生初步感受通過動手

7、操作來掌握 多邊形對角線條數(shù)，在其探究過程訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力.例1.填空：（1）十邊形有個頂點(diǎn)，個內(nèi)角，個外角，從一個頂點(diǎn)出發(fā)可畫 條對角線，它共有 條對角線.（2）從多邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)畫對角線將它分成了四個三角形，這個多邊形是邊形.【知識點(diǎn)】多邊形相關(guān)概念和對角線條數(shù)【解題過程】（1） 一個n邊形有n個頂點(diǎn)，n個角，2n個外角，從一個頂點(diǎn)能畫出（n一 3）條對角線，共有n（n2 3）條對角線;將n = 10代入即可.（2） 一個n邊形從一個頂點(diǎn)可以引（n3）條對角線，把n邊形分成（n 2） 個三角形，所以n2=4, n=6,這個多邊形是六邊形.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)概念逐一填寫，根據(jù)公式代

8、入求值.【答案】（1） 10 10 20 7 35（2）六問題探究三 活動凸多邊形和凹多邊形£1師問：請同學(xué)們認(rèn)真觀察，下面的兩個多邊形有什么不同？17 / 13在圖（1）中，畫出四邊形ABC的任何一條邊所在的直線，整個圖形都在這 條直線的同一側(cè)，這樣的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；而 圖（2）就不滿足上述凸多邊形的特征，因為我們畫 B所在直線，整個多邊形不都在這條直線的同一側(cè)（某一條邊所在的直線將多邊形分成兩部分），我們稱它 為凹多邊形.注意：今后我們討論的多邊形指的都是凸多邊形活動正多邊形的概念我們知道，等邊三角形、正方形的各個角都相等，各條邊都相等，像這樣各 個

9、角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形卜面是正多邊形的一些例子.正六邊形【設(shè)計意圖】教師要求學(xué)生自己去解決這兩個問題， 可以通過討論、交流的形式去解決，完成以后，教師可以隨機(jī)地畫幾個多邊形讓學(xué)生進(jìn)行凸、 凹多邊形 的區(qū)分.對于正多邊形的概念，關(guān)鍵讓學(xué)生掌握住各邊都相等，各角都相等，二 者缺一不可.同時培養(yǎng)學(xué)生的動手實(shí)踐和觀察分析能力.【例2】 下列說法正確的個數(shù)有().(1)各邊都相等的多邊形是正多邊形；(2)由四條線段首尾順次相接組成的圖形是四邊形；(3)各角都相等的多邊形一定是正多邊形；(4)同一正多邊形的各個外角都相等.A. 2B. 1 C. 3 D. 4【知識點(diǎn)】正多邊形的概念【解

10、題過程】(1)不正確，各邊都相等，各角也都相等的多邊形才是正多邊形，這兩個 條件必須同時具備，如菱形雖然四邊都相等，但它不是正多邊形；(2)不正確，一是要在同一平面內(nèi)，二是不能在同一條直線上；(3)不正確，如長方形四個角都是直角，都相等，但邊不一定相等，所以不是正多邊形；(4)正確，因為同一正多邊形各個內(nèi)角都相等，同頂點(diǎn)的內(nèi)角與外角互為 鄰補(bǔ)角，所以各個外角也相等.故選 B.【思路點(diǎn)撥】強(qiáng)調(diào)邊和內(nèi)角都要相等的多邊形才能判定其為正多邊形.【答案】B3 .課堂總結(jié)【知識梳理】(1)多邊形相關(guān)定義.(2) n邊形對角線條數(shù)公式：nn速.2(3)凹、凸多邊形的區(qū)別，正多邊形的特點(diǎn).【重難點(diǎn)突破】在對角

11、線條數(shù)公式的探究過程中，從一個點(diǎn)能引幾條對角線到所有點(diǎn)一共能 引多少條對角線，從四邊形、五邊形、六邊形共有幾條對角線到n邊形有多少條 對角線，遵循了由點(diǎn)到面、由特殊到一般的研究路徑，降低了學(xué)生的準(zhǔn)入門檻.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自王突破1 .分別畫出卜列各多邊形的對角線，觀察思考 形有條對角線.DEDA.BA ，B【知識點(diǎn)】多邊形對角線條數(shù)【解題過程】畫圖部分如下圖：四邊形有2_CD:四邊形有條對角線,五邊C.條對角線，五邊形有_5_條對角線.A B A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對角線定義 【答案】2,5 .2.從六邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)， 條；B，將不相鄰的兩定點(diǎn)做連接畫出對角線.最多口以引殺對角線，具對角線

12、共有 【知識點(diǎn)】多邊形對角線【解題過程】6-3 = 3, 6父（6-3）=92【思路點(diǎn)撥】根據(jù)n邊形的一個頂點(diǎn)可引對角線條數(shù)為：數(shù)公式：nn二2,將n=6代入即可求出答案。2【答案】3, 93.卜列圖中不是凸多邊形的是（） O /ABCABCDn-3和n邊形對角線條r 0D【知識點(diǎn)】凸多邊形與凹多邊形辨析【思路點(diǎn)撥】將多邊形的每一條邊都延長，被分割了的多邊形就是凹多邊形【答案】C4 .若從多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引10條對角線，則它是（）A.十三邊形 B.十二邊形C.十一邊形 D.十邊形【知識點(diǎn)】從n邊形的一個頂點(diǎn)可以引（n-3）條對角線【解題過程】n-3=10, n =13.【思路點(diǎn)撥

13、】用公式直接建立方程即可.【答案】A5 .若一個多邊形共有十四條對角線，則它是（）A.六邊形 B. 七邊形C.八邊形 D.九邊形【知識點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)公式：nn辿.2【解題過程】勺=142n = 7【思路點(diǎn)撥】根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式直接建立方程.【答案】B6 .若一個多邊形的邊數(shù)增加1 ,它的對角線條數(shù)增加7,則它是（）A.六邊形 B. 七邊形 C.八邊形 D.九邊形【知識點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)公式：皿a2【解題過程】（n+1）（n+1-3）- 如3 = 722n=8【思路點(diǎn)撥】用多邊形對角線條數(shù)公式建立方程【答案】C能力型師生共研7.若一個多邊形的邊數(shù)減少1 ,它的對角線條數(shù)減少8,則它

14、是()A.八邊形，B. 十邊形 C.九邊形 D. H 邊形【知識點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)公式：叱22【解題過程】 8吐3) 一包三姐士3)=8,n=1022【思路點(diǎn)撥】用多邊形對角線條數(shù)公式建立方程【答案】B8 .若多邊形的邊數(shù)與對角條數(shù)之比是 2: 3,求這該多邊形的邊數(shù).【知識點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)公式：他辿2【解題過程】當(dāng)n=4時，對角線條數(shù)是2;當(dāng)n=5時，對角線條數(shù)是5;當(dāng)n=6 時，對角線條數(shù)是9;此時6: 9=2: 3.所以該多邊邊數(shù)是6.【思路點(diǎn)撥】由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)一元二次方程， 用公式建立方程的做法還不能實(shí)施.只有根據(jù)公式逐一算出多邊形的對角線，再從計算結(jié)果中查找發(fā)現(xiàn) .【答案】

15、6探究型多維突破9 .過m邊形的一個頂點(diǎn)有6條對角線，n邊形沒有對角線，求mn的平方根.【知識點(diǎn)】多邊形對角線條數(shù)【解題過程】解：由題意可得 m- 3=6,m= 9, n = 3,± mn= 土.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意求出對應(yīng)的 m、n的值，再代入求值.【答案】.10 .過a邊形的一個頂點(diǎn)有7條對角線，n邊形沒有對角線，b邊形有b條對條線.求(a-b)nl值？【知識點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)【解題過程】解：.過a邊形的一個頂點(diǎn)有7條對角線a-3=7即 a =10n邊形沒有對角線. n = 3.b邊形有b條對條線b = 5.(a-b)n=(10-5) 3 = 53 = 125【思路點(diǎn)撥】根據(jù)多

16、邊形對角線條數(shù)公式，和對角線條數(shù)有特殊性的多邊形 的理解.【答案】125自助餐：1 .下列圖形中，是正多邊形的是()A.直角三角形B.等腰三角形 C .長方形 D .正方形【知識點(diǎn)】正多邊形的概念【解題過程】A.直角三角形，不是B.等腰三角形，不是C.長方形 四個角相等，但四條邊不相等，不是D.正方形 四個角相等，四條邊相等， 是【思路點(diǎn)撥】強(qiáng)調(diào)正多邊形的每條邊、每個角都相等【答案】D2 .從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)共有對角線()A. (n-2)條 B . (n-3)條 C . (n-1)條 D . (n-4)條【知識點(diǎn)】多邊形對角線條數(shù)【思路點(diǎn)撥】除出發(fā)的頂點(diǎn)本身還有相鄰兩頂點(diǎn)外，和其它的每個頂

17、點(diǎn)連接 都可以成為一條對角線.【答案】B3 .已知多邊形的邊數(shù)恰好是從這個多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線條數(shù)的2倍, 求此多邊形的邊數(shù).【知識點(diǎn)】多邊形對角線條數(shù)【解題過程】解:n = 2( n-3)n = 6【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對角線條數(shù)公式建立方程即可.【答案】6.4 .過m邊形一個頂點(diǎn)可引出6條對角線，n邊形共有5條對角線，則mn=【知識點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)【解題過程】解：.過m邊形的一個頂點(diǎn)有6條對角線m3=6即m =9.n邊形共有5條對角線. n = 5mn=9X 5=45【思路點(diǎn)撥】根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，和對角線條數(shù)有特殊性的多邊形 的理解.【答案】455 . 一個多邊形的對角線的條

18、數(shù)等于它的邊數(shù)的 4倍，求這個多邊形的邊數(shù).【知識點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)公式：皿a2【解題過程】解法一：解：設(shè)這是一個 n邊形，依題意得 皿=4n, n32且為整數(shù)， n=11.解法二：解：當(dāng)n=4時，對角線條數(shù)是2;當(dāng)n=5時，對角線條數(shù)是5;當(dāng)n=6時，對角線條數(shù)是9;當(dāng)n=7時，對角線條數(shù)是14;當(dāng)n=8時，對角線條數(shù)是20;當(dāng)n=9時，對角線條數(shù)是27;當(dāng)n=10時，對角線條數(shù)是35;當(dāng)n=11時，對角線條數(shù)是44;此時44-11=4.所以該多邊邊數(shù)是11.【思路點(diǎn)撥】由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)一元二次方程， 用公式建立方程的做法還不能 實(shí)施.只有根據(jù)公式逐一算出多邊形的對角線，再從計算結(jié)果中查找發(fā)現(xiàn).【答案】116 .網(wǎng)游星際爭霸頗受網(wǎng)迷的青睞。作為網(wǎng)游工程師，在編程的過程中，若有4個飛船相互射擊，射擊路線最多要設(shè)計多少條？若有5個飛船相互射擊，射擊路線最多要設(shè)計多少條？若有6個飛船相互射擊，射擊路線最多要設(shè)計多少條？若有n個飛船相互射擊，射擊路線最多要設(shè)計多少條？【知識點(diǎn)】多邊形對角線條數(shù)【解題過程】若有4個飛船，相當(dāng)于四邊形的4個頂