案例設計資料6任意角的三角函1

1、任意角的三角函數（2）上杭縣明強中學 范福太一、教學內容分析本節(jié)課的教學內容是普通高中課程標準實驗教科書·數學（4）（人教A版）。三角函數是描述周期運動現象的重要的數學模型，有非常廣泛的應用.直角三角形簡單樸素的邊角關系，以直角坐標系為工具進行自然地推廣而得到簡明的任意角的三角函數定義，緊緊扣住三角函數定義這個寶貴的源泉，自然地導出三角函數線、定義域、符號判斷、同角三角函數關系、多組誘導公式、圖象和性質。三角函數定義必然是學好全章內容的關鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內容的學習，由三角函數定義的基礎性和應用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點就是定義本身.二、學生學習情況分析在初中學

2、生學習過銳角三角函數。因此本課的內容對于學生來說，有比較厚實的基礎，新課的引入會比較容易和順暢。學生要面對的新的學習問題是，角的概念推廣了，原先學生所熟悉的銳角三角函數的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過這個問題，讓學生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。三、設計思想教學中注意用新課程理念處理教材，采用學生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程. 根據本節(jié)課內容、高一學生認知特點，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結合”的方法組織教學.四、教學目標1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數

3、值在各象限的符號）；2、理解任意角的三角函數不同的定義方法；掌握并能初步運用公式一；樹立映射觀點，正確理解三角函數是以實數為自變量的函數.3、通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數值的求法,最終得到任意角三角函數的定義.根據角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數的定義域以及這三種函數的值在各象限的符號.借助有向線段進一步認識三角函數. 4、通過任意三角函數的定義，認識銳角三角函數是任意三角函數的一種特例，加深特殊與一般關系的理解。5、通過三角函數的幾何表示，使學生進一步加深對數形結合思想的理解，拓展思維空間。通過學生積極參與知識的“發(fā)現”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，從中感悟數學概

4、念的嚴謹性與科學性。五、教學重點和難點重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數值相等（公式一）.難點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；六、教學過程設計教學過程一、復習引入、回想再認（情景1）我們在初中通過銳角三角形的邊角關系，學習了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數. 請回想：這三個三角函數分別是怎樣規(guī)定的？學生口述后再投影展示，教師再根據投影進行強調： 對邊鄰邊sin=，con=，tan=（圖1） 設計意圖：學生在初中學習了銳角的三角函數概念，現在學習任意角的

5、三角函數，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數到實數的擴展）. 溫故知新，要讓學生體會知識的產生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現有認知狀況開始，對銳角三角函數的復習就必不可少. 二、 引伸鋪墊、創(chuàng)設情景（情景2）我們已經把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引導. 能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學生回答. 用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于1.1節(jié)已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直

6、角坐標系來研究任意角的三角函數. 設計意圖：從學生現有知識水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設問題情景，讓學生產生認知沖突，進行必要的啟發(fā)，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程. 教師對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數定義！師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）：把銳角安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合）在直角坐標系中，在角終邊上任取一點P，作PMx軸于M，構造一個RtOMP，則 MOP=（銳角），設P（x,y）（x0、y0），的臨邊OM =x、對邊MP=y，斜邊長|OP=r.根據銳角三角函數定義用x、y、r列出銳角的正

7、弦、余弦、正切三個比值，并補充對應列出三個倒數比值：xO·MP(x,y)ysin=，con=，tan= ?= ?= ?=（圖2）設計意圖：此處做法簡單，思想重要. 為了順利實現推廣，可以構建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形. 由于前一節(jié)已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生自然能想到仍然以直角坐標系為工具來研究任意角的三角函數. 初中以直角三角形邊角關系來定義銳角三角函數，現在要用坐標系來研究，探索的結論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數定義. 這是一個認識的飛躍，是理解任意角三角函數概念的關鍵之一，也是數學發(fā)現的重要思想和方法

8、，屬于策略性知識,能夠形成遷移能力,為學生在以后學習中對某些知識進行推廣拓展奠定了基礎. （情景3）思考：對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？a的終邊P(x,y)Oxy顯然，我們可以將點取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內的點的坐標表示銳角三角函數：; ; .思考：上述銳角的三角函數值可以用終邊上一點的坐標表示.那么,角的概念推廣以后，我們應該如何對初中的三角函數的定義進行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個問題任意角的三角函數.先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：引導學生觀察圖3，聯系相似三角形知識，

9、探索發(fā)現：對于銳角的每一個確定值，三個比值都是xO·MPy（圖3）PM確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化. 三、探究新知1.探究:結合上述銳角的三角函數值的求法,我們應如何求解任意角的三角函數值呢? 顯然,我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到原點的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數值了.所以,我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓.2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數的定義?如圖,設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:(1)叫做的正弦(sine),記做,即；（2）叫做的余弦(cossine),記做,即；（

10、3）叫做的正切(tangent),記做,即.注意:當是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當不是銳角時，也能夠找出三角函數，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數值.設計意圖：初中學生對函數理解較膚淺，這里在學生思維的最近發(fā)展區(qū)進一步研究初中學過的銳角三角函數，在思維上更上了一個層次，扣準函數概念的內涵，突出變量之間的依賴關系或對應關系，是從函數知識演繹到三角函數知識的主要依據，是準確理解三角函數概念的關鍵，也是在認知上把三角函數知識納入函數知識結構的關鍵. 這樣做能夠使學生有效地增強函數觀念. 四、 探索定義域（情景4）1

11、、函數概念的三要素是什么？函數三要素：對應法則、定義域、值域. 正弦函數sin的對應法則是什么？正弦函數sin的對應法則，實質上就是sin的定義：對的每一個確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對應，即 y/r= sin.2、布置任務情景：什么是三角函數的定義域？請求出三個三角函數的定義域，填寫下表：三角函數sincostan定義域引導學生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數的定義域，三角函數的定義域自然是指：使比值有意義的角的取值范圍. 關于sin=y/r、cos=x/r，對于任意角（弧度數），r0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數集R. 對于tan=

12、y/x，= k+/2 時x=0，y/x無意義，tan的定義域是：|R，且k+/2 . 教師指出: sin、cos、tan的定義域必須緊扣三角函數定義在理解的基礎上記熟。設計意圖：定義域是函數三要素之一，研究函數必須明確定義域. 指導學生根據定義自主探索確定三角函數定義域，有利于在理解的基礎上記住它、應用它，也增進對三角函數概念的掌握. 五、符號判斷、形象識記（情景5）能判斷三角函數值的正、負嗎？試試看！引導學生緊緊抓住三角函數定義來分析，r0,三角函數值的符號決定于x、y值的正負，根據終邊所在位置總結出形象的識記口訣：yxyxyxsin= y/r：上正下負橫為0 cos=x/r：左負右正縱為0

13、 tan=y/x：交叉正負設計意圖：判斷三角函數值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求. 要引導學生抓住定義、數形結合判斷和記憶三角函數值的正負符號，并總結出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關鍵. 六、 練習鞏固、理解記憶1、 自學 例1：求的正弦、余弦和正切值。2、 角的終邊經過點P（3，-4），求的正弦，余弦及正切值. 課堂練習：p17題1、2、3處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義. 強調：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、/2 、3/2 等，今后經常用到軸線角的三角函數值，要結合三角函數定義記熟這些值. 設計意圖：及時安排自學例題、自做教材練習題

14、，一般性與特殊性相結合，進行適量的變式練習，以鞏固和加深對三角函數概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動進行思維訓練，把“培養(yǎng)學生分析解決問題的能力”貫穿在每一節(jié)課的課堂教學始終. 七、 回顧小結、建構網絡要求全體學生根據教師所提問題進行總結識記，提問檢查并強調：1你是怎樣把銳角三角函數定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數具體是怎樣定義的？（建立直角坐標系，使角的頂點與坐標原點重合，-，在終邊上任意取定一點P，-）2你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數的定義域？（根據定義，-）3你如何記憶正弦、余弦、正切函數值的符號？（根據定義，想象坐標位置， -）設計意圖：遺忘的規(guī)律是先快后慢，回顧再現是記憶的重要途徑，在課堂內及時總結識記主要內容是上策. 此處以問題形式讓學生自己歸納識記本節(jié)課的主體內容，抓住要害，人人參與，及時建構知識網絡，優(yōu)化知識結構，培養(yǎng)認知能力. 八、布置課外作業(yè)1書面作業(yè)：習題1.2第1、2題.2認真閱讀p20“閱讀與思考：三角學與天文學”，了解三角學在天文學中的重要作用。 七、教學反思 新教材的教學理念之一是讓學生去體驗新知識的發(fā)生過程，這節(jié)任意角三角函數的教案，主要圍繞這一點來設計。到底應該怎樣去合理定義任意角的三角函數呢？讓學生提出自己的