第四章 偏微分方程的有限差分法

1、計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 1/75第四章第四章 偏微分方程的有限差分法偏微分方程的有限差分法4.1 有限差分法原理有限差分法原理4.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法4.3 波動方程的波動方程的差分解法差分解法計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 2/754.1 有限差分法原理有限差分法原理拋物線形拋物線形雙曲型雙曲型橢圓形橢圓形不可逆過程不可逆過程可逆過程可逆過程平衡過程平衡過程熱傳導方程熱傳導方程波動方程波動方程位勢方程位勢方程 物理學中許多物理規(guī)律都用偏微分方程描

2、述，物理學中許多物理規(guī)律都用偏微分方程描述，偏微分方程主要分為以下三類：偏微分方程主要分為以下三類： fauuctudfauuctud22fauuc上式中a,c,f以及未知函數(shù)u為定義在求解區(qū)域上的實（復）函數(shù)計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 3/754.1 有限差分法原理有限差分法原理2222 fdfxdxfd fxdx有限差分有限差分解法解法差分近似代替微分，差商近似代替微商差分近似代替微分，差商近似代替微商 這樣就把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布函數(shù)離散化成這樣就把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布函數(shù)離散化成求網(wǎng)絡(luò)節(jié)點上的分立函數(shù)值，從而把所需求解的求網(wǎng)絡(luò)節(jié)

3、點上的分立函數(shù)值，從而把所需求解的微分方程微分方程變?yōu)橐唤M相應的變?yōu)橐唤M相應的差分方程差分方程，進一步可，進一步可以求解離散節(jié)點上的函數(shù)值。以求解離散節(jié)點上的函數(shù)值。數(shù)學基礎(chǔ)數(shù)學基礎(chǔ)泰勒（泰勒（Taylor）展開）展開計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 4/754.1 有限差分法原理有限差分法原理差商公式的構(gòu)造差商公式的構(gòu)造223323223323232323232323()( )2!3!()( )2!3!22(2 )( )22!3!22(2 )( )22!3!dfh d fh d ff xhf xhdxdxdxdfh d fh d ff

4、xhf xhdxdxdxhhdfd fd ff xhf xhdxdxdxhhdfd fd ff xhf xhdxdxdx利用泰勒級數(shù)展開定義差商利用泰勒級數(shù)展開定義差商計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 5/754.1 有限差分法原理有限差分法原理()( )ff xhf xxh誤差為誤差為O(h)差商公式：差商公式：一階向前差商：一階向前差商：( )()ff xf xhxh一階向后差商：一階向后差商：223323223323()( )2!3!()( )2!3!dfh d fh d ff xhf xhdxdxdxdfh d fh d ff x

5、hf xhdxdxdx計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 6/754.1 有限差分法原理有限差分法原理二階二階向前差商：向前差商：式式(2)-式式(1)X2222(2 )2 ()( )ff xhf xhf xxh223323232323()( ) (1)2!3!22(2 )( )2 (2)2!3!dfh d fh d ff xhf xhdxdxdxhhdfd fd ff xhf xhdxdxdx誤差為誤差為O(h2)差商公式：差商公式：計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 7/754.1

6、有限差分法原理有限差分法原理二階二階向后差商向后差商: 式式(2)-式式(1)X2222( )2 ()(2 )ff xf xhf xhxh223323232323()( ) (1)2!3!22(2 )( )2 (2)2!3!dfh d fh d ff xhf xhdxdxdxhhdfd fd ff xhf xhdxdxdx計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 8/754.1 有限差分法原理有限差分法原理(2 )4 ()3 ( )2ff xhf xhf xxh一階向前差商：一階向前差商：222223323(2 )2 ()( )()( )2!3!

7、ff xhf xhf xxhdfh d fh d ff xhf xhdxdxdx2222fd fxdx計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 9/754.1 有限差分法原理有限差分法原理(2 )4 ()3 ( )2ff xhf xhf xxh一階向后差商：一階向后差商：222223323( )2 ()(2 )()( )2!3!ff xf xhf xhxhdfh d fh d ff xhf xhdxdxdx2222fd fxdx計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 10/754.1 有限差分法原

8、理有限差分法原理()()2off xhf xhxh一階中心差商：一階中心差商：223323223323()( )2!3!()( )2!3!dfh d fh d ff xhf xhdxdxdxdfh d fh d ff xhf xhdxdxdx計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 11/754.1 有限差分法原理有限差分法原理222()2 ( )()off xhf xf xhxh二階中心差商：二階中心差商：223323223323()( )2!3!()( )2!3!dfh d fh d ff xhf xhdxdxdxdfh d fh d ff

9、xhf xhdxdxdx計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 12/754.1 有限差分法原理有限差分法原理差分格式的收斂性和穩(wěn)定性差分格式的收斂性和穩(wěn)定性收斂性：收斂性：穩(wěn)定性：穩(wěn)定性： 當步長當步長h0時，差分方程的解趨向于微分方時，差分方程的解趨向于微分方程的解。程的解。 誤差在運算過程中不會失控，即累計誤差不誤差在運算過程中不會失控，即累計誤差不會無限增加。會無限增加。計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 13/754.1 有限差分法原理有限差分法原理 從數(shù)學上講，沒有限制的微分方程

10、會有從數(shù)學上講，沒有限制的微分方程會有無窮多個解，不能構(gòu)成一個定解問題。無窮多個解，不能構(gòu)成一個定解問題。 從物理上講，描述物理問題的微分方程僅從物理上講，描述物理問題的微分方程僅適用于描述在一個連續(xù)體或物理場的內(nèi)部發(fā)生適用于描述在一個連續(xù)體或物理場的內(nèi)部發(fā)生的物理過程，僅靠這些微分方程不足以確定物的物理過程，僅靠這些微分方程不足以確定物理過程的理過程的具體具體特征。特征。 因此，要想解決實際的物理問題，必須因此，要想解決實際的物理問題，必須知道一個連續(xù)體或物理場的初始狀態(tài)和邊界知道一個連續(xù)體或物理場的初始狀態(tài)和邊界受到的外界影響。受到的外界影響。計算物理學 Harbin Institute

11、of Technology Yangkun 14/754.1 有限差分法原理有限差分法原理初始條件：初始條件：與時間相聯(lián)系與時間相聯(lián)系邊界條件：邊界條件：邊界邊界受到外界的影響受到外界的影響偏微分方程的定解條件偏微分方程的定解條件常見的物理問題可以歸結(jié)為三大類邊界條件常見的物理問題可以歸結(jié)為三大類邊界條件),(),(2010zyxftuzyxfutt計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 15/754.1 有限差分法原理有限差分法原理2 第二類邊界條件第二類邊界條件（諾依曼（諾依曼Neumann）1 第一類邊界條件第一類邊界條件（狄利克雷（狄利

12、克雷Dirichlet）),(0truu熱傳導熱傳導問題：問題：邊界邊界上上溫度分布已知溫度分布已知熱傳導熱傳導問題：問題：通過通過邊界邊界單位面積上的熱流量已知單位面積上的熱流量已知),(0trqnun表示表示的外法線的外法線q0定義在定義在上的已知函數(shù)上的已知函數(shù)uuuu ni nj nnxy 計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 16/754.1 有限差分法原理有限差分法原理由熱力學傅立葉定律得：由熱力學傅立葉定律得：QukStn 熱流量：熱流量：QuqkS tn 單位面積上的單位面積上的熱流量：熱流量：K: 熱傳導系數(shù)熱傳導系數(shù)單位時

13、間內(nèi)通過給定截面的熱量，正比例于垂直于單位時間內(nèi)通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該界面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳該界面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。遞的方向則與溫度升高的方向相反。計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 17/754.1 有限差分法原理有限差分法原理3 第三類邊界條件第三類邊界條件（洛平（洛平Robin ）熱傳導熱傳導問題：問題：邊界表面邊界表面與外界之間的熱量交換已知與外界之間的熱量交換已知),(000trcnubuaa0,b0.c0定義在定義在上的已知上的已知函數(shù)函數(shù)外界

14、溫度為外界溫度為u0，熱交換規(guī)律遵循，熱交換規(guī)律遵循熱傳導實驗定律熱傳導實驗定律：單位時間內(nèi)，從邊界單位面積傳遞給周圍的熱流量單位時間內(nèi)，從邊界單位面積傳遞給周圍的熱流量正比于邊界表面和外界的溫度差。正比于邊界表面和外界的溫度差。計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 18/754.1 有限差分法原理有限差分法原理 對于實際物理問題，邊界條件往往是很復雜的，對于實際物理問題，邊界條件往往是很復雜的，可能是一種或不同邊界區(qū)域幾種邊界條件的組合，可能是一種或不同邊界區(qū)域幾種邊界條件的組合，甚至不能用這三類邊界條件描述。甚至不能用這三類邊界條件描述。

15、0quu：熱交換系數(shù)：熱交換系數(shù) u：邊界溫度：邊界溫度QuqkS tn 單位面積上的單位面積上的熱流量：熱流量：0ukuun0uukun計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 19/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法 物理學中對熱傳導、熱輻射以及氣體擴散現(xiàn)物理學中對熱傳導、熱輻射以及氣體擴散現(xiàn)象的描述，?？梢詺w結(jié)為同一類型的拋物線型方象的描述，?？梢詺w結(jié)為同一類型的拋物線型方程，通常采用二階偏微分方程描述，這類方程統(tǒng)程，通常采用二階偏微分方程描述，這類方程統(tǒng)稱為熱傳導方程。稱為熱傳導方程。fauuctud計算物理學 Harb

16、in Institute of Technology Yangkun 20/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法一維各向同性、均勻介質(zhì)，且無熱源的熱傳導方程：一維各向同性、均勻介質(zhì)，且無熱源的熱傳導方程：220 0tTuuxltx 為了求解為了求解u(x,t)，還必須利用邊界條件和初，還必須利用邊界條件和初始條件。始條件。定解條件定解條件：邊界條件邊界條件和和初始條件初始條件。定解問題定解問題：解存在、唯一并且連續(xù)依賴初始條件。：解存在、唯一并且連續(xù)依賴初始條件。4.2.1一維熱傳導方程的差分解法一維熱傳導方程的差分解法計算物理學 Harbin Institute of Tec

17、hnology Yangkun 21/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法 22210,0utgtu l tuutxxtugx對于一維熱傳導問題對于一維熱傳導問題（第一類邊界條件）（第一類邊界條件）00 xtlT 數(shù)值解就是在求解區(qū)域數(shù)值解就是在求解區(qū)域: 0 0tGxTl 中某些中某些離散點（離散點（xi,ti）上求出上求出u(xi, ti)足夠近似的解。足夠近似的解。計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 22/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法1 把求解區(qū)域離散化（確定離散點）把求解區(qū)域離散化（確定離散點

18、）00 i=0 ,1,Nk=0,1, ,MkilhxxihihTkNttkM,( , ),ikiki kx ti ku x tuxtxitkTl, i ku計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 23/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法2 推導差分遞推公式推導差分遞推公式222,2,( , )u xh tu x tu xh tu x txh在節(jié)點（在節(jié)點（xi,tk）上）上2221,1,2,2,( , )2ikikikikx xt tiki kiku xh tu x tu xh tu x txhuuuh二階二階向前差商向前差商

19、O(h2)計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 24/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法同樣，在節(jié)點（同樣，在節(jié)點（xi,tk）上）上,1,( , )ikikikx xt ti ki ku x tu x tx ttuu一一階階向前差商向前差商O(h)計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 25/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法一維熱傳導方程可以近似為一維熱傳導方程可以近似為,1,1,1,22i ki kiki kikuuuuuh令令2h,11,1,(12

20、)i kiki kikuuuuO(h)計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 26/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法,11,1,(12 )i kiki kikuuuuxtxitk,1i ku初始條件初始條件邊界條件邊界條件計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 27/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法一維熱傳導方程顯示差分遞推公式為一維熱傳導方程顯示差分遞推公式為,11,1,00,1,2(12 )( )()()i kiki kikikl kuuuuuihug

21、 kugki=0,1,Nk=0,1,M計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 28/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法顯示差分遞推公式的穩(wěn)定性：顯示差分遞推公式的穩(wěn)定性：212h對于一維熱傳導方程，差分格式為穩(wěn)定差對于一維熱傳導方程，差分格式為穩(wěn)定差分格式的充分條件是分格式的充分條件是即即22hki, kkikikiuu,計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 29/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法為了提高數(shù)值解的精度，必須減小為了提高數(shù)值解的精度，必須減小

22、22hhxdx 相應就要變小，這必然增加計算量。這就相應就要變小，這必然增加計算量。這就是顯示差分格式的缺點，但它的優(yōu)點是計算是顯示差分格式的缺點，但它的優(yōu)點是計算簡單。簡單。計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 30/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法差分格式計算步驟：差分格式計算步驟： 給定給定 計算計算 計算初始值：計算初始值： 計算邊界值：計算邊界值： 用差分格式計算用差分格式計算 , , ,l T h2;2h,0()iuih0,1,2(),()kl kug kugk,1i ku2;h,11,1,00,1,2(1 2

23、 )( )()()i kiki kikikl kuuuuuihug kugk22 00uutt Txx l 計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 31/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法,11,1,(12 )i kiki kikuuuui=0,1,Nk=0,1,M1,12,1,0,2,13,2,1,3,14,3,2,N 1,1,N 1,2,(12 )(12 )(12 )(12 )kkkkkkkkkkkkkN kkNkuuuuuuuuuuuuuuuu計算物理學 Harbin Institute of Technology Ya

24、ngkun 32/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法1,10,1,2,12,3,13,1,1N,1,12121212kkkkkkkNkkNkuuuuuuuuuu1,12,1,0,2,13,2,1,3,14,3,2,N 1,1,N 1,2,(12 )(12 )(12 )(12 )kkkkkkkkkkkkkN kkNkuuuuuuuuuuuuuuuu計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 33/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法X=diag(v,k)若若v為為n個元素向量，返回一個階數(shù)為個元素向量，返回一個階數(shù)為

25、n+abs(k)的方陣的方陣X，將，將v作為作為X的第的第k個對角個對角元，元，k=0代表主對角元，代表主對角元，k0表示在主對角表示在主對角元之上，元之上， k0表示在主對角元以下。表示在主對角元以下。 v=ones(1,5); X1=diag(v) X2=diag(v,1) X3=diag(v,-1)計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 34/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法（1-2*）*diag(ones(1,N-1)+*（diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1)）1,10,1

26、,2,12,3,13,1,1N,1,12121212kkkkkkkNkkNkuuuuuuuuuu計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 35/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法例例4.2.1 求熱傳導方程混合問題求熱傳導方程混合問題22,01, 0( ,0)4 (1),01(0, )0,(1, )0,0uuxttxu xxxxututt計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 36/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法221 0.05 4hhh,11,1,(12

27、)i kiki kikuuuu1,11,00,1,2,.1 1,2,.04 (1)ikm kihiuuimhknu22h計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 37/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法,14 (1)iihuih,11,1,1,1,1(1 2 )(1 2 )i kiki kikkik ik ik iuuuuuuuu計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 38/759.2 4.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法計算物理學 Harbin Institute

28、of Technology Yangkun 39/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 40/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 41/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法二維各向同性、均勻介質(zhì)，且無熱源的熱傳導方程：二維各向同性、均勻介質(zhì)，且無熱源的熱傳導方程：2222uuutxy000 xlystT, ,0,u x yx y初始條件：初始條件：邊界條件：？邊界條件：？

29、4.2.2 二二維熱傳導方程的差分解法維熱傳導方程的差分解法計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 42/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法同一維類似，把求解區(qū)域離散化同一維類似，把求解區(qū)域離散化 ijklhNShxihyjtkMhxyxiyj, ,ijki j ku x y tu, ,i j kuktt 計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 43/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法在節(jié)點（在節(jié)點（xi,yj,tk）上）上2221, , ,1, ,2222,

30、1, ,1,2,2,( , , )2,2,( , , )2ikikijkijkijkx xt tij ki j kij kijkijkijkx xt ti jki j ki jku xh y tu x y tu xh y tu x y txhuuuhu x yh tu x y tu x yh tu x y tyhuuuh計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 44/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法在節(jié)點（在節(jié)點（xi,yj,tk）上）上, ,1, ,( , , )ikijkijkx xt ti j ki j ku x y t

31、u x y tx y ttuu計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 45/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法二維熱傳導方程可以近似為二維熱傳導方程可以近似為, ,1, ,1, ,1, ,1,1,222i j ki j kij ki kij ki jki ki jkuuuuuuuuh令令2h計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 46/75 t k + 1 j+ 1 j k j-1 i-1 i i+ 1圖 ( 9 . 3 ) 二 維 熱 傳 導 差 分 解 法4.2 熱傳導方程

32、的差分解法熱傳導方程的差分解法, ,1, ,1, ,1, ,1,1,(1 4 )i j ki j kij kij ki jki jkuuuuuu差分遞推公式為差分遞推公式為, ,1i j ku1, ,ij ku1, ,ij ku, ,i j ku,1,i jku,1,i jku計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 47/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法邊界條件：邊界條件：一、右圖中陰影部分一、右圖中陰影部分為絕熱壁，此絕熱壁為絕熱壁，此絕熱壁可以用第二類邊界條可以用第二類邊界條件描述，即熱流量為件描述，即熱流量為零。零。第

33、二類邊界條件：第二類邊界條件：通過通過邊界表面單位面積上的熱流量已知邊界表面單位面積上的熱流量已知),(0trqnuuuuu ni nj nnxy 計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 48/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法差分近似為差分近似為1, ,0, , ,1, ,00j kj kN j kNj kuuhuuh12, ,0, ,11,2,1,1,10 0 1,2,1i j kii j ki NuxuxjMMMjM計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 49/754.2

34、 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法遞推公式為：遞推公式為：120, ,1, , ,1, ,1,2,1,1,11, 2,1 j kj kN j kNj kjMMMuuuujM計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 50/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法二、二、i=0邊界，邊界，M1jM2 區(qū)區(qū)域為與高溫恒溫熱源相連域為與高溫恒溫熱源相連接的口，溫度可取歸一化接的口，溫度可取歸一化值值1。j=0和和j=M邊界與低溫恒溫邊界與低溫恒溫熱源相連，溫度始終為熱源相連，溫度始終為0。計算物理學 Harbin Institute

35、of Technology Yangkun 51/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法二維熱傳導方程顯示差分遞推公式為二維熱傳導方程顯示差分遞推公式為計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 52/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法214h穩(wěn)定差分格式的充分條件是穩(wěn)定差分格式的充分條件是即即24h計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 53/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法, ,1, ,1, ,1, ,1,1,(14 )i j ki j kij

36、 kij ki jki jkuuuuuu計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 54/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 55/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 56/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 57/754.2 熱傳導方

37、程的差分解法熱傳導方程的差分解法計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 58/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法 view(az,el)az:方位角方位角el:仰角仰角view(0,90)view(-37.5, 30）計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 59/754.2 熱傳導方程的差分解法熱傳導方程的差分解法計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 60/75 4.3 波動方程的差分解法波動方程的差分解法一維均勻弦線的自由振

38、動方程：一維均勻弦線的自由振動方程： 22222vtx00 xltT 波動方程的差分解法也利用構(gòu)造網(wǎng)格節(jié)點的方法波動方程的差分解法也利用構(gòu)造網(wǎng)格節(jié)點的方法NlihNiihxx, 1, 0,MTkMkktt, 1, 0,( ,)i kikx t計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 61/75 4.3 波動方程的差分解法波動方程的差分解法用二階中心差分近似方法得：用二階中心差分近似方法得： 221,1,22222,1,122222iki kiki ki ki kxxhtt計算物理學 Harbin Institute of Technology Y

39、angkun 62/75 4.3 波動方程的差分解法波動方程的差分解法代入波動方程得：代入波動方程得： ,1,11,1,22222i ki ki kiki kikvh令：令： vh222,1,1,1,12(1)i ki kikiki k 計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 63/75 4.3 波動方程的差分解法波動方程的差分解法222,1,1,1,12(1)i ki kikiki k t M k+1 k k-1 x i-1 i i+1 N圖 (10.1) 一 維 波 動 方 程 的 差 分 解 法邊界條件邊界條件初始條件初始條件計算物理學

40、Harbin Institute of Technology Yangkun 64/75 4.3 波動方程的差分解法波動方程的差分解法a 初始條件：初始條件： 12( ,0)( )( ,0)( )xxxxt對于初始時刻速度，也須用差分格式給出：對于初始時刻速度，也須用差分格式給出： 0 xl計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 65/75 4.3 波動方程的差分解法波動方程的差分解法a1 向前差分：向前差分： ,0,0,1,02,1,0212( )( )( )( )iiiiiiiiiixttxxx,01,112( )( )( )iiiiixx

41、x誤差：誤差： ( )O h計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 66/75 4.3 波動方程的差分解法波動方程的差分解法a2 中心差分：中心差分： ,0,0,1, 1, 12,12( )22( )iiiiiiiixttx由由 222,1,1,1,12(1)i ki kikiki k 得（得（k=0） 222,1,01,01,0, 12(1)iiiii +計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 67/75 4.3 波動方程的差分解法波動方程的差分解法22,1,01,01,0222,111111

42、2(1)()( )2(1)( )()()( )2iiiiiiiiiixxxxx,0122,1111112( )(1)( )()()( )2iiiiiiixxxxx誤差：誤差： 2()O h整理得：整理得： 計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 68/75 4.3 波動方程的差分解法波動方程的差分解法b 邊界條件：邊界條件： 12(0, )( )( , )( )tg tl tg t一維波動方程的差分格式有如下兩種一維波動方程的差分格式有如下兩種0tT 計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 69/75 4.3 波動方程的差分解法波動方程的差分解法第一種：第一種： 22,1,1,1,1,01,1120,1,22(1)( )( )( )()()i ki kikiki kiikN kihihihg kgk誤差：誤差： ( )O h計算物理學 Harbin Institute of Technology Yangkun 70/75 4.3 波動方程的差分解法波動方程的差分解法第二種：第二種： 22,1,1,1,1,0122,111120,1,22(1)( )(1)( )(1)(1)( )2()()i ki kik