易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設王小妹李梅

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計摘要本文通過對多種易拉罐的測量和分析，建立并分析了關于易拉罐形狀和尺 寸的最優(yōu)設計模型。模型一 .， 我們首先求出了在體積一定，表面積最小的情況下，易拉罐的高 與半徑比為 1：2，通過比較測量數(shù)據(jù)， “紅?！钡耐庑闻c所求結(jié)果基本相符，但 “可口可樂” 等絕大多數(shù)與實際測量值不相符， 這說明材料厚度是設計時不可或 缺的條件。這樣求得高與半徑比為 1： 4，這與大多數(shù)的易拉罐測量值相符合。 有些易拉罐考慮到飲料產(chǎn)生的壓強， 則側(cè)面與底面的厚度不可同一而論。 相對鋁 制易拉罐而言鐵制易拉罐不可一次沖壓而成， 所以還要以焊接接口的工作來判斷 優(yōu)劣。我們再次通過極值法做出判斷，

2、即焊縫長度最短為最優(yōu)。模型二，考慮易拉罐上部的正圓臺對模型一最優(yōu)設計的影響，給出此情況 下的最優(yōu)設計。設圓柱體的半徑為已知量，圓柱的高和圓臺的高與半徑為變量。 在總體積是定值的限制下， 求極值，得到使表面積最小時圓臺的半徑與高的關系。模型三，模型的設計比模型二更完善， 相對于其他模型更貼近于實際。 此模 型考慮到了易拉罐內(nèi)部底面受壓強影響，因而將底面設計成向里凸起的圓弧形， 在體積一定的約束下，圓臺部分體積一定要增大，此種情況下求出其最優(yōu)解。 我們通過分析、 計算設計出一新模型， 同樣達到減小易拉罐表面積的效果。 因在 同體積的容器中球體的表面積最小， 在同材料的容器中球形的體積最小， 我們由

3、 此入手分析。分別截去球體的兩個對應的球缺， 通過分析計算， 得到易拉罐的最 優(yōu)設計綜合考慮壓強、環(huán)保以及材料最省， 設計了一種兼顧各種優(yōu)點的新型易拉 罐。關鍵詞： 易拉罐 函數(shù)極值 數(shù)值計算 尺寸最優(yōu)設計一 問題重述我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 （例如飲料量為 355 毫升的可 口可樂、青島啤酒等 ） 的飲料罐 （即易拉罐 ）的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。 看來， 這并非偶然，這應該是某種意義下的最優(yōu)設計。當然，對于單個的易拉罐來說， 這種最優(yōu)設計可以節(jié)省的錢可能是很有限的， 但是如果是生產(chǎn)幾億， 甚至幾十億 個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。我們在研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設

4、計問題中，需要完成以下任務：1取一個飲料量為 355 毫升的易拉罐，例如 355 毫升的可口可樂飲料罐，測量 你們認為驗證模型所需要的數(shù)據(jù)， 例如易拉罐各部分的直徑、 高度，厚度等， 并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，那么你們必須 注明出處。2設易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等3. 設易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是 一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的 形狀和尺寸。4利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做

5、出你們自己的關于易拉罐形 狀和尺寸的最優(yōu)設計。5用你們做本題以及以前學習和實踐數(shù)學建模的親身體驗，寫一篇短文（不超過1000字，你們的論文中必須包括這篇短文），闡述什么是數(shù)學建模、它的關鍵 步驟，以及難點。二問題分析求易拉罐的最優(yōu)設計，此問題屬于優(yōu)化過程中一元函數(shù)求極值的問題。在問題二中，題目假設了易拉罐為一個正圓柱體，我們首先從經(jīng)濟學角度 考慮，廠家要節(jié)約成本，保證易拉罐在體積一定，表面積最小的條件下，求出這 時高與半徑的比值。我們再從材料和制造工藝上考慮得出可口可樂的易拉罐最優(yōu)化設計在于造 價最低，由于各個部分使用的材料相同，所以最終可以將價格問題轉(zhuǎn)化為各個部 分的厚度問題，找出這時表面積

6、最小時，高與半徑之間的比值?？紤]到鐵制易拉罐不是一次成型，而是焊接而成，推測在制造過程中除了 節(jié)省材料外，可能還以焊接接口長度來判斷優(yōu)劣，我們根據(jù)這個想法能計算出體 積一定時焊縫長度最短時高與半徑的比例。在問題三中，易拉罐的上面部分是正圓臺，下面部分是正圓柱體。我們也 把它分為兩部分來考慮，第一，不考慮罐的厚度作出合理的設計，第二，考慮罐 的厚度做出最優(yōu)設計。針對問題四，我們結(jié)合以前學過的知識，通過我們對所測量的易拉罐的洞 察和想象力，在同體積的容器中球體的表面積最小， 在同材料的容器中球形的體 積最小考慮，保證滿足要求前提下，設計一接近球體的模型。三 模型的基本假設1. 易拉罐單位面積上厚度

7、均勻。2. 假設易拉罐容積為定值。3. 假設易拉罐的形變忽略不計。4. 假設易拉罐罐體材料單位面積厚度為常數(shù)5. 假設易拉罐罐體用同一種材料制成。符號說明V 1)易拉罐的容積V1 2 )易拉罐側(cè)面罐體材料的體積V23)易拉罐頂部罐體材料的體積V3 4)易拉罐底部罐體材料的體積Vz5)易拉罐罐體材料的總體積S6)易拉罐的表面積H 7)易拉罐的高h18)第三問中易拉罐圓臺的高9) 第三問中易拉罐圓柱體的高 h3 10)易拉罐底部凸其部分高度R11) 易拉罐圓柱罐體的半徑r 12) 第三問中易拉罐上部圓臺的小端半徑 a 13)易拉罐的壁厚k14) 比例系數(shù)L15) 焊接縫長度l 16) 圓臺的母線長

8、D 17)球的直徑hq1 18)球上表面球缺高度hq2l9)球下表面球缺高度五 模型的建立與求解1. 當易拉罐罐體為正圓柱體時的最優(yōu)設計由于考慮到成本的問題，所以最優(yōu)設計首先要在容積固定的時候，易拉罐 的哪種形狀所用原料最省，我們利用多面體和旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積公式， 計算 出了每種包裝的實際容積和表面積，通過計算我們發(fā)現(xiàn)，“紅牛”標注的體積和實際體積都比“露露”的大，而表面積卻比“露露”的小，所以就可以轉(zhuǎn)換成了 這樣一種數(shù)學問題：當體積不變，圓柱的表面積最小時，半徑與高滿足什么樣的 關系？我們用一元函數(shù)極值的方法來解決。V二 R2S(R, H)二 2 R2 2 RH 二 2 R(R H)二

9、2 R2二=2二 R2 空兀RR求臨界點，令其導數(shù)為零，得:2V代入H中得:V4：2H丄二 R 二ji42V3 =8V -2R2-2V2經(jīng)過計算，我們得出當表面積最少時，圓柱體高度等于 的軸截面為正方形，罐體表面積最小。通過觀察數(shù)據(jù)（見附錄） ?！钡陌b很接近于等邊圓柱。經(jīng)過進一步的觀察，我們發(fā)現(xiàn)“露露”和“紅牛”用的是薄鐵材料，而“可 口可樂”用到的是薄鋁材料，“露露”和“紅牛”的易拉罐是焊接，“可口可樂” 的易拉罐是一次沖壓制成的，各個壁的厚度不同。我們引用了常量 a來表示易拉 罐側(cè)面材料的厚度，用 ka來表示易拉罐頂蓋材料的厚度。易拉罐側(cè)面所用材料體積為：7廠（二（Ra）2- 二 r2）

10、（H（k）a）二（2二Ra- a2）（H（Vk）a）二2- RHa 2 Ra2（k）二（k）a3 H- a2倍半徑。即罐體 發(fā)現(xiàn)，只有“紅易拉罐頂蓋材料體積為:V2 二 ka R2易拉罐底蓋材料體積為:V3 二 a二 R2我們記：g(R,H)二二 R2H -V可以得到以下數(shù)學模型： 目標函數(shù)：min S(R,H)R 0, H 0約束條件：g(R,H)= o即要在體積一定的條件下,求罐的體積最小的R,H和K,這是一個求條件極值的問題.模型的求解：從約束中解出一個變量，化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題求臨界點：令其導數(shù)為零pIQ一二 2a(1 k)二 RdR /q孑二 g(1 k)二 r

11、3-v)= o.RR解得臨界點為：R = 3¥ (1 + k)n:因此H 二V叮1VS= 2(1k)(3V)=(1 + k)R(1 k)二二1 k經(jīng)過測量(見附錄)，易拉罐頂部材料厚度大約為側(cè)面厚度的 3倍，所以當H我們考慮到易拉罐各個壁的厚度時，易拉罐的最優(yōu)設計為：4R計算S的二階導數(shù)：2VS = 4a2 二(1 k)廠0, T R 0.所以R為最小值。在制造鐵制易拉罐過程中，除了節(jié)省材料外，可能還以焊接接口的工作多 少來判斷優(yōu)劣，通過比對資料，我們會發(fā)現(xiàn)“紅?！钡墓奚龛F皮比“露露”罐身鐵皮略厚，可能造價要高，所以“紅?！敝饕紤]的應該是節(jié)省材料，“露露”易拉罐可能考慮的是焊縫的長

12、短。即當體積一定時，以焊縫最短為最優(yōu)，計算出 焊縫長度最短時高與半徑之間的比例。焊接縫長度：罐身體積：V =蔥 r2h代入得:L=4R 盲求臨界點：令其導數(shù)為零dLdR2 二 RV即當H =2：R時，“露露”的設計焊接接口是最短的2. 當易拉罐上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體時的最優(yōu)設計。 考慮到易拉罐的壁厚與蓋頂?shù)暮穸炔煌?，設壁厚 a =1，蓋頂厚3a =3，粗 略的計算，可以把飲料罐的體積看成兩部分，一為正圓臺的體積，二是正圓柱的 體積。其總體積為：V =-：(r2 rR R2) 二 R2h,31 2 2二 R2V -二(r2 rR R2)h- h2 二3其表面積為:S =3二

13、 r2 二 rl 二 Rl 2 Rhb 3 R2 二3二 r2 (R - r)2 g 二 R (R - r)2 h 2 Rh 3 R2將h代入s得: 2V -(r2 rR R2)h1S(r,h) =3二 r2 二 r .(R-r)2 h-'二 R (R-r)2 h 33二 R2用Mathematica 4.0求出 關于r, h的偏導結(jié)果為:s 6 r 2 h1 2 r R廠3R2 r2 r R F?3 Rhl一r R r R h12 r R-2h1 r Rr R 2hl 2亙0：r求得結(jié)果代入所測數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)當h1 : R 4.8時，此時用料最省。因為實際中底部的形狀是上拱的，頂蓋實際上也

14、不是平面的，略有上拱， 易拉罐頂蓋的沖壓也與物理、力學、工程或材料方面等方面有聯(lián)系，所以與實際 的數(shù)據(jù)有偏差。3. 對易拉罐的尺寸和形狀的最優(yōu)設計萬案一我們用Mathematica 4.0做出了最優(yōu)設計時易拉罐的尺寸和形狀。 程序如下：my AbsoluteThick ness Li ne 2.3, 3.3,0.83, 12 ,3.3, 0.82.3, 0.463.5 Pi0.4,2.3, I,3.3,11 ,3, 12.4,2.7,0.8,Circle 11711/ Pi3,3,2.7,12 ,12 ,2.7,4.0720 ,2.7,0.8,3, 12.4,3.0,12 ,3.3,11 ,0

15、 ,2.3,0 ,5.072,衛(wèi)廠Pi, T80mygrapg Show Graphics AspectRatio Automatic,my,AxesLabel x, y , PlotRa nge 0, 12.4在這種形狀下，易拉罐下底部凸其部分體積為：1 2V下h3(3R2 h3)6易拉罐上部圓臺體積為：1 2 2V上 h,(R2 Rr r2)3因為易拉罐總的體積不變，中間為正圓柱體，所以：V 下仝上2F(R2 Rr r2) m(3R2 扎)h33 R2h_2(R2 Rr r2)算出此時易拉罐表面積為：5=6啊32砂二3二(廠)203二 R .(R二廠當S最小時，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)行汽水易拉罐r(nóng)與h3的

16、比設計使得用料最省由于球的面積公式為，體積V =丄二D，當體積一定時設計為球形最6節(jié)省材料。但是設計成球狀以后又面臨了運輸問題，堆壘問題等，所以我們還需要在球的上下各削一球缺，使之變成類似“鼓狀”，這時表面積變?yōu)椋篠 二 4 R2一2 二 hqi ：2Rhq1- hq；-2-hq2Rhq2- hq/二(2 Rhql - hq；)二(2Rhq2- hq2?)用Mathematica 4.0求出當S最小時，hq1， hq2的值。程序如下：shq1_,hq2_4 Pi332 2 Pihq12 33hq1hqT22 33 hq1 hq122 Pihq22 33hq2 hq22PiPi233hq2 hq

17、22Ds hq1,hq2,hq1 ;Ds hq1,hq2,hq2 ;NSolveD shq1, hq2,hq10,D shq1, hq2 , hq20 ,hq1, hq2運行結(jié)果如下:hq154.4399,hq254.4399,hq15.82429,hq254.4399,hq154.4399,hq25.82429,hq15.82429,hq25.82429所以可能出現(xiàn):上圓缺高：54.4mm,下圓缺咼：54.4mm上圓缺高：5.8m m,下圓缺咼：54.4mm上圓缺高：54.4mm,下圓缺咼：5.8mm上圓缺高：5.8m m,下圓缺咼：5.8mm從美觀以及更人性化的設計，可以把“鼓體拉長”，設計為如下圖形狀:由于條件限制，我們很難對由此產(chǎn)生的生產(chǎn)成本的改變給出理想的預測。六模型的評價1. 本模型建立比較簡單，易于求解。2. 所用知識都比較初等，解決