高等數(shù)學(xué)課件：2013.11.19-習(xí)題課（第一章）

1、二、二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題課一、一、 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三三章 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用1. 微分中值定理及其相互關(guān)系微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 微分中值定理的主要應(yīng)用微分中值定理的主要應(yīng)用(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2) 證明恒

2、等式或不等式(3) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (4) 利用洛必達(dá)法則求極限3、未定式、未定式:,0 ,00,1型0解決方法解決方法:通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0,0說(shuō)明說(shuō)明利用洛必達(dá)法則求極限，注意利用洛必達(dá)法則求極限，注意(1)兩種基本形式的解題方法要熟悉(2) 其它類(lèi)型的未定式轉(zhuǎn)化為基本形式的方法要明確(3) 要結(jié)合以前學(xué)過(guò)的各種方法，靈活解題.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1. 研究函數(shù)的性態(tài):增減 , 極值 , 凹凸 , 拐點(diǎn) , 漸近線 ,曲率2. 解決最值

3、問(wèn)題 目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化 最值的判別問(wèn)題3. 其他應(yīng)用 :求不定式極限 ;幾何應(yīng)用 ;相關(guān)變化率;證明不等式 ;研究方程實(shí)根等.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例例1. 填空題填空題(1) 設(shè)函數(shù)上連續(xù)，在),()(xf的則)(xf其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 單調(diào)減區(qū)間為 ;極小值點(diǎn)為 ;極大值點(diǎn)為 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示提示:)(xf根據(jù)的正負(fù)作 f (x) 的示意圖. 單調(diào)增區(qū)間為 ;o2x1xyxox)(xf1x2xo)(xfx .在區(qū)間 上是凸弧 ;拐點(diǎn)為 ),0(),(21xx

4、)0(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的可導(dǎo)性及根據(jù)的正負(fù)作 f (x) 的示意圖. 形在區(qū)間 上是凹弧; 則函數(shù) f (x) 的圖 (2) 設(shè)函數(shù)上可導(dǎo)，在),()(xf的圖形如圖所示,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(),0,(21xx)(xf o2x1xyx2x)(xf 1xln)1ln()()(1xxxfxf例例2. 證明在xxxf)1 ()(1),0(上單調(diào)增加.證證:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令,ln)(ttF在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,機(jī)動(dòng) 目

5、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故當(dāng) x 0 時(shí),0)( xf從而)(xf在),0(上單調(diào)增.得例例3. 設(shè)在)(xf),(上可導(dǎo), 且證明 f ( x ) 至多只有一個(gè)零點(diǎn) . 證證: 設(shè))()(xfexx則 )()()(xfxfexx0,0)()(xfxf故)(x在),(上連續(xù)單調(diào)遞增, 從而至多只有一個(gè)零點(diǎn) .又因,0 xe因此)(xf也至多只有一個(gè)零點(diǎn) .思考思考: 若題中0)()(xfxf改為,0)()(xfxf其它不變時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)?)()(xfexx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求數(shù)列nn的最大項(xiàng) .證證: 設(shè)

6、),1()(1xxxfx用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得)ln1()(21xxxfx令,0)( xf得, ex x)(xf )(xfe), 1e),(e0ee1因?yàn)?(xf在),1只有唯一的極大點(diǎn),ex 因此在ex 處)(xf也取最大值 .又因,32 e442 且,33nn為數(shù)列故33中的最大項(xiàng) .極大值機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 列表判別:例例5. 證明. )0(1arctan)1ln(xxxx證證: 設(shè)xxxxarctan)1ln()1 ()(, 則0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x時(shí), )(x單調(diào)增加 , 從而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx機(jī)動(dòng) 目錄

7、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè),0)0(f且在),0上)(xf 存在 , 且單調(diào)遞減 , 證明對(duì)一切0,0ba有)()()(bfafbaf證證: 設(shè), )()()()(xfafxafx則0)0()()()(xfxafx)0(0 x所以當(dāng)時(shí)，0 x)(x0)0(令,bx 得0)()()()(bfafbafb即所證不等式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 求)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求極限原式)1(11lim22nanann之間）與在1(nana221) 1(limannnna機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解法解