清華信號與系統(tǒng)卓晴chapter

1、§6.1FT,LT,ZT之間的關系王文淵卓晴LT,FT之間的關系ZT,LT之間的關系ZT,FT之間的關系FT,ZT,LT之間的關系2006-11-221§6.1.0本節(jié)內容n LT,FT之間的關系n ZT,LT之間的關系n ZT,FT之間的關系n FT,ZT,LT之間的關系王文淵 卓晴2006-11-222將信號分解成不同的“基本函數(shù)”的疊加， 基本函數(shù)形式分別為：ejwt , est , z-n§6.1.1LT,FT之間的關系n 拉q 拉斯變換與傅里葉變換的關系斯變換從傅里葉變換的基本原理引出。引入衰減因子e-st對信號f (t)進行衰減，形成e-s tf (t

2、)，保證它絕對可積，它的傅里葉變換為：F (w) =¥ é f (t)e-st ù e- jwtdt =¥òò0f (t)e-(s + jw )t dtëû10s = s + jw令¥ò可得信號的拉氏變換：F (s) =f (t)e-stdt0 12p js + j¥òf (t) =stF (s)e ds同理導出拉氏逆變換：s - j¥王文淵 卓晴2006-11-223§6.1.1LT,FT之間的關系n 拉斯變換與傅里葉變換的關系q 雙邊拉氏變換、單邊拉氏

3、變換、傅氏變換之間的關系：¥òLf (t) =f (t)e-stdt雙邊拉氏變換：從限-¥（信號的因果性），f(t)所乘因子， 等方面進行分析¥單邊拉氏變換：L f (t) = ò f (t)e- st dt0¥òf (t)e- jwtdt傅氏變換：Ff (t) =-¥雙邊拉氏變換：廣義傅氏變換王文淵 卓晴2006-11-224§6.1.1LT,FT之間的關系n 拉斯變換與傅里葉變換的關系q 雙邊拉氏變換、單邊拉氏變換、傅氏變換之間的關系：王文淵 卓晴2006-11-225§6.1.1LT,FT

4、之間的關系n 拉斯變換與傅里葉變換的關系q 雙邊拉氏變換、單邊拉氏變換、傅氏變換之間的關系：王文淵 卓晴2006-11-226§6.1.1LT,FT之間的關系n 拉斯變換與傅里葉變換的關系對于因果信號，單邊拉氏變換與雙邊拉氏變換是相同的。傅里葉變換是在虛軸(s =0)上的拉氏變換。已知某個信號（因果信號）的拉氏變換，是否可以將jw替代s而求得其傅里葉變換呢？王文淵 卓晴2006-11-227§6.1.1LT,FT之間的關系n 根據(jù)信號的單邊LT求取FT的情況：(1) s 0 > 0 (收斂域位于s平面右半平面) 傅里葉變換不存在；(2) s 0 < 0 (收斂域

5、位于s平面左半平面)令拉氏變換中s=jw就可以得到傅氏變換(3) s 0 = 0 (收斂邊界位于虛軸上)傅氏變換存在，包括奇異函數(shù)項王文淵 卓晴2006-11-228§6.1.1LT,FT之間的關系1、拉氏變換收斂域邊界位于s平面右半邊指數(shù)增長函數(shù):f (t) = eatu(t),單邊拉氏變換存在:1L f (t) =(收斂域s > a)s - a但是,傅氏變換不存在卓晴2006-119§6.1.1LT,FT之間的關系2、拉氏變換收斂域邊界位于s平面左半邊指數(shù)衰減函數(shù):f (t) = e-atu(t) :11jw + aL f (t) =F f (t) =s + a王

6、文淵 卓晴102006-11-22§6.1.1LT,FT之間的關系3、拉氏變換收斂域邊界位于s平面虛軸上L u(t) = 11jwF u(t) =w0+ pd (w)sL sin(w t)u(t) =0+ ws220w0+ j p éd (w + w ) - d (w - w )ùF sin(w t)u(t) =2 ëûw - w200020傅氏變換中出現(xiàn)了沖激函數(shù)。王文淵 卓晴112006-11-22§6.1.1LT,FT之間的關系NKnå的拉氏變換為：F (s) = F (s) +如果信號f (t)was - jn=1n

7、其中Fa (s)的極點位于s平面之左半邊,wn為虛軸上N個極點，Kn是部分分式的系數(shù)，則相對應的傅氏變換為：F f (t) = F (s)+K pd (w - w )s= jwå nnn=1NK0(s - jw如果存在虛軸上多重極點,例如jw 處存在k次極點:0)k0K p jk -1它所對應附加的沖激項為:0d (k-1) (w - w )(k -1)!0王文淵 卓晴122006-11-22§6.1.1 LT,FT之間的關系NKnån=1證明：F (s) =F (s) +所對應的信號為：was - jnNåw tf (t) = f (t) +jK eu

8、(t)，對它求傅氏變換：nann=1éK e jwntu(t)ùNF f (t) = F ( jw) +Fåêúanë n=1ûìùüK íd (w - w ) * épd (w) +N1ån=1= F ( jw) +jw úýêannëûþîNKnj(w - w )N+ ååw) +K pd (w - w )= F ( jannn=1n=1nNs= jwå nn=

9、F (s)+K pd (w - w )n=1王文淵 卓晴132006-11-22§6.1.1LT,FT之間的關系例：求斜邊信號f (t) = tu(t)的拉氏變換和傅氏變換。1解：L f (t) =s21w2F f (t) = -+ jpd '(w)王文淵 卓晴142006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系n LT,ZT之間的關系由拉氏變換引出z變換z平面與s平面的關系抽樣信號的拉氏變換z變換與拉氏變換表達式的對應關系王文淵 卓晴152006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系n 由拉氏變換引出z變換對于連續(xù)因果信號x(t)進行周期為T的

10、抽樣,然后¥X (s) = å x(nT )e-snT再進行拉氏變換可得：sn=0¥1ån=0令：z = e ，則s =-nsTln z，上式為：X (z)x(nT )zT¥則: X (z) = å x(n)z-nn=0通常令T = 1,王文淵 卓晴162006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系n z平面與s平面的z = esT關系s = 1 ln zT= 2pT其中T為序列時間間隔，重復頻率wss = s + jw2psz = re jq令：wwsr = esT= e wsq = wT = 2p王文淵 卓晴172

11、006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系n z平面與s平面的關系s->z平面映射具有周期性；z-s平面不是單值映射s平面 ® z平面虛軸®右邊平面®左邊平面 ®圓圓外圓內實軸 ® 正實軸平行于實軸的直線® 始于原點的輻射線過j kws平行實軸線® 負實軸。 2王文淵 卓晴2006-11-2218§6.1.2ZT,LT之間的關系王文淵 卓晴192006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系2006 11 2220§6.1.2ZT,LT之間的關系王文淵 卓晴23200

12、6-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系n 抽樣信號的拉氏變換已知連續(xù)時間信號x(t)的拉氏變換為X (s),求它經(jīng)過均勻抽樣后序列x(n)的z變換X (z)，可否由z = esT，s = 1 ln z直接將s = 1 ln z代入TX (s)得到X (z) = X (s)T?1s=ln zT王文淵 卓晴242006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系n 抽樣信號的拉氏變換L x(t) ® X (s) ® Xs (s)LxTZ x(n) ® X (z)X (z) = Xs (s) s= 1 ln z= Xs (s),X (z)sT

13、z =eT王文淵 卓晴252006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系n 抽樣信號的拉氏變換連續(xù)信號x(t)的拉氏變換為X (s)，沖激抽樣后：¥xs (t) = x(t)dT (t) = å x(nT )dn=0)¥¥nT )e-stdt =å=1¥L d(t) =åò0e- snTT1- e-sTn=0n=0L xs (t) = L x(t) ×dT (t)頻域卷積定理111- e-( s- p )Ts + jwX ( p)ò=dp2pjs - jw王文淵 卓晴262006

14、-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系n 抽樣信號的拉氏變換X (s) = L x (t) = åRe s éX ( p)ù結論：êë1- e-( s- p )Túûssip= pi= åé( p - p )X ( p)ùêë¥åúûwi1- e-( s- p )Ti= 1Tp= piX (s + jkw ),= 2p / Tssk =-¥周期延拓王文淵 卓晴272006-11-22§6.1.2ZT,

15、LT之間的關系n z變換與拉氏變換表達式的關系對于連續(xù)信號x(t)進行均勻抽樣x(n)，如果已知L x(t) = X (s), 那么Z x(n) = X (z)與X (s)具有什么樣的關系？王文淵 卓晴282006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系 n z變換與拉氏變換表達式的關系 考慮一種簡單的情況：如果連續(xù)信號x(t)由N項指數(shù)信號組成NN åå=(t) =pt x(t)xA eu(t)iiii=1i=1AiNå L x(t) =s - pi=1i對應的序列信號：NNååx(nT ) =p nTx (nT )Aeu(nT

16、 )iiii=1i=1NZ x(nT ) = åi=1Ai1- e piT z-1王文淵 卓晴292006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系對連續(xù)信號的拉氏變換表達式進行部分因式分解，求出相應的系數(shù)Ai, pi :由拉氏變換得到相對應抽樣信號的的z變換的表達式的方法。NA åL x(t) = is - pii=1帶如下式之中，便可以得到相對應的抽樣信號的z變換的表達式：NZ x(nT ) = åi=1Ai1- e piT z-1王文淵 卓晴302006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系王文淵 卓晴312006-11-22&#

17、167;6.1.2ZT,LT之間的關系n 連續(xù)信號突變點的函數(shù)值與抽樣信號的差別：1連續(xù)階躍信號u(t)在t = 0時定義為 ，2階躍序列u(n)在n = 0式定義為1。此時，需要對于采樣而得到的序列在n=0時的取值增大一倍。王文淵 卓晴322006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系1例：已知e-atu(t)的拉氏變換為抽樣序列e-anT u(nT )的z變換。，求s + a1解：由x(t) = e-atu(t)的拉氏變換X (s) =s + a可知，它只有一個極點p1 = -a, 對應分式展開系數(shù)A1 = 1，直接寫出對應的z變換：1X (z) =1- z-1e- aT王

18、文淵 卓晴332006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系w0+ w例：已知正弦信號sin(w t)u(t)的拉氏變換為，0s220求抽樣序列sin(w0nT )u(nT )的z變換：解：將信號的拉氏變換進行分式分解：jj-X (s) =2+2s - jw0s + jw0它所對應有兩個極點：s1 = jw0s2 = - jw0 ,= - j Aj2=相對應的系數(shù)為：A122王文淵 卓晴342006-11-22§6.1.2ZT,LT之間的關系序列sin(w0nT )u(nT )的z變換表達式為：jj-X (z) =2+21- z-1e jw0T1+ z-1e- jw0

19、Tw T )-1zsin(= 0w T ) +-1- 2z12cos(z0王文淵 卓晴352006-11-22常用信號的拉氏變換與z變換§6.1.3ZT,FT之間的關系n ZT,FT之間的關系序列的傅立葉變換DTFTZT,FT之間的關系DTFT的性質: Chapter8.9王文淵 卓晴372006-11-22§6.1.3ZT,FT之間的關系ZT,FT之間的關系q 序列的傅立葉變換DTFTs平面的虛軸(s = jw)對應z平面的圓(z = e jw )s虛軸上的拉氏變換Þ 信號的傅里葉變換圓上的z變換Þ 序列的傅立葉變換z晴38200§6.1.3

20、ZT,FT之間的關系n 序列的傅立葉變換DTFT序列的z變換：X (z) = å x(n)z-nn=-¥¥x(n) = 1 vò X (z)zn-1dz2p jC序列的傅立葉變換：¥DTFT x(n) = X (z)å= X (e jw ) =x(n)e- jwnz =e jwn=-¥ 1 2ppòwX (e jw )e jwndwéùIDTFTX (e)=x(n) =jëû-p王文淵 卓晴392006-11-22§6.1.3ZT,FT之間的關系DTFT的逆變換推導

21、:x(n) = 1vòX (z)zn-1dz2p jz =1= 1vòX (e jw )e jnw × e- jw d (e jw )2p j 1 2p j 1 z =1pòX (e jw )e jnw × e- jwje jw dw=-ppòX (e jw )e jnw dw=2p-p王文淵 卓晴402006-11-22§6.1.3ZT,FT之間的關系序列x(n)具有離散傅里葉變換的充分條件：序列絕對可和:å x(n) < ¥-¥¥DTFT基本性質：參見Chapter8.9王文

22、淵 卓晴412006-11-22§6.1.3 ZT,FT之間的關系DTFT基本性質：(1)線性性質(e jw )(e jw )如果：DTFT x (n) = X11DTFT x (n) = X22DTFT ax (n) + bx (n) = aX (e jw ) + bX(e jw )1212(2)序列位移:如果: DTFT x(n) = X (e jw )wnX (e jw )DTFT x(n - n )=j則:e00王文淵 卓晴422006-11-22§6.1.3ZT,FT之間的關系DTFT基本性質：(3)頻域的位移：如果：DTFT x(n) = X (e jw )DT

23、FT éëe jw0n x(n)ùû = X (e j(w -w0 ) )則：(4)序列的線性：如果：DTFT x(n) = X (e jw )j éX (e jw )ùdDTFT nx(n) =則：êë dwúû王文淵 卓晴432006-11-22§6.1.3ZT,FT之間的關系DTFT基本性質：(5)序列的反褶：如果：DTFT x(n) = X (e jw )DTFT x(-n) = X (e- jw )則：王文淵 卓晴442006-11-22§6.1.3ZT,FT之間的

24、關系DTFT基本性質：(6)奇偶虛實性：DTFT x(n) = X (e jw ) =X (e jw ) e jj (w )Re éë X (e jw )ùû = Re éë X (e- jw )ùûIm ëé X (e jw )ùû = - Im éë X (e- jw )ùûX (e jw ) =X (e- jw ) ，j (w ) = -j (-w )X (e jw ) = X * (e- jw )王文淵 卓晴452006-11-

25、22§6.1.3ZT,FT之間的關系DTFT基本性質：(7) 時域卷積定理DTFT x(n) = X (e jw ) DTFT h(n) = H (e jw )DTFT x(n) * h(n) = X (e jw ) H (e jw )(8) 頻域卷積定理DTFT x(n)h(n) = 1 éë X (e jw )* H (e jw )ùû2p 1 2p()p()òéj w -qùqq=jXeHedëû-p王文淵 卓晴462006-11-22§6.1.3ZT,FT之間的關系DTFT基本性質：(9)帕塞瓦爾定理：如果：DTFT x(n) = X (e jw )¥