《球的表面積與體積》教學設計(優(yōu)質(zhì)課)

1、球的表面積與體積（一）教學目標1 .知識與技能（1） 了解球的表面積與體積公式（不要求記憶公式）.（2）培養(yǎng)學生空間想象能力和思維能力.2 .過程與方法通過作軸截面，尋找旋轉(zhuǎn)體類組合體中量與量之間的關(guān)系.3 .情感、態(tài)度與價值讓學生更好地認識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學生學習的興趣（二）教學重點、難點重點：球的表面積與體積的計算難點：簡單組合體的體積計算（三）教學方法講練結(jié)合教學過程教學內(nèi)容師生互動設計意圖新課引入復習柱體、錐體、臺體的表面積和體積，點出主題.師生共同復習，教師點出點題（板書）復習鞏固探索新知1 .球的體積：V =4nR332 .球的表卸積：S=4nR2師：設球的半徑為R,那么

2、它的體積：V=nR3,匕的卸積 3S =4nR2現(xiàn)在請大家觀察這兩個公式，思考它們都有什加強對公式 的認識培亦 學生理解能 力么特點？生：這兩個公式說明球的體 積和表面積都由球的半徑R ，確定.其中球的體積是 半徑R的三次函數(shù)，球的表 面積是半徑R的二次函數(shù). 師（肯定）：球的體積公式 和球的表面積公式以后可以 證明.這節(jié)課主要學習它們 的應用.典例分析例1如圖，圓柱的底面直徑與、牛i高都等于球的直也二徑.求證：（1）球的體積等于圓柱體積的3；（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)證明：（1）設球的半徑為R則圓柱的底面半徑為R,高為2R因為 Vt =4HR3 , 323“柱=JIR2 2R=2兀R3,教

3、師投影例1并讀題，學生 先獨立完成.教師投影答案 并點評（本題聯(lián)系各有關(guān)量 的關(guān)鍵性要素是球的半徑）本題較易，學 生獨乂元成， 有利于培療 學生問題解 決的能力.通過師生討論，突破問題 解決的關(guān)鍵， 培養(yǎng)學生空 間想象能力 和問題解決 的能力.所以，V求=V期i .3(2)因為 S求=4nR2 ,晶柱側(cè)=2nR 2R =4nR2 , 所以，S球二S圓柱側(cè).例2球與圓臺的上、下底面 及側(cè)面都相切，且球面面積與圓臺的側(cè)面積之比為3:4,則 球的體積與圓臺的體積之比為()A. 6:13 B . 5:14C. 3:4 D . 7:15【解析】如圖所示，作圓臺的軸截面等腰梯形ABCD 球的大圓O內(nèi)切于梯

4、形ABCD設球的半徑為R,圓臺的上、 下底面半徑分別為1、2,由 平面幾何知識知，圓臺的高為2R,母線長為1 +2./AOB= 90° , OH AB (E 為切點)，教師投影例2并讀題， 師：請大家思考一下這道題 中組合體的結(jié)構(gòu)特征.生：球內(nèi)切于圓臺.師：你準備怎樣研究這個組合體？生：畫出球和圓臺的軸截面 師：圓臺的高與球的哪一個 量相等？生：球的直徑.師：根據(jù)球和圓臺的體積公 式，你認為本題解題關(guān)鍵是 什么？生：求出球的半徑與圓臺的 上、下底面半徑間的關(guān)系.師投影軸截面圖，邊分析邊 板書有關(guān)過程.師：簡單幾何體的切接問題,.R2 = OE2 = AE- BE= ri %.由已知S

5、球：S 圓臺側(cè)=4冗R2 ：2冗（r i+r 2） = 3 - 4二(r1 + r2)2 = %2.V球：V圓臺=2、rir2 r2 ) 2R22_2R22R26=2(r1 2)-1r216 R2 _R2 133故選A.例3在球面上有四個點P、A 包括簡單幾何體的內(nèi)外切和 內(nèi)外接，在解決這類問題時 要準確地畫出它們的圖形， 一般要通過一些特殊點，如 切點，某些頂點，或一些特 殊的線，如軸線或高線等， 作幾何體的截面，在截面上 運用平面幾何的知識，研究 有關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量 關(guān)系，進而把問題解決.本題有兩種 解題方法，此 處采用構(gòu)造法解題，目標 培養(yǎng)學生聯(lián) 想，轉(zhuǎn)化化歸 的能力.另一 種方法

6、，因要B C,如果PA PB PC兩兩垂 直且PA= PB= PC= a,求這 個球的體積.解：: PA PR PC兩兩垂直，PA= PB= PC= a.以PA PR PC為相鄰三條棱可以構(gòu)造正方體.又二P、A、B、C四點是球面上 四點，球是正方體的外接球，正方 體的對角線是球的直徑.教師投影例3并讀題，學生 先思考、討論，教師視情況 控制時間，給予引導，最后 由學生分析，教師板書有關(guān) 過程.師：計算球的體積，首先必 須先求出球的半徑.由于PA PR PC是兩兩垂直的而且相 等的三條棱，所以P - ABC 可以看成一個正方體的一2R =痼R=#a.V =4nR3 =4nga)3書3=Tta2角

7、，四點P、A、B、C在球上，所以此球可視為PA PR PC 為相鄰二殺極的正方體的外 接球，具直徑為正方體的對 角線.應用球的性質(zhì)，可在以后討論.隨堂練習1. (1)將一個氣球的半徑擴大1倍，它的體積擴大到原來的 幾倍？(2) 一個止力體的頂點都在球 面上，匕的梭長是 a cmi,求球 的體積.(3) 一個球的體積是100 cm2, 試計算它的表面積(n取3.14 , 結(jié)果精確到1cm2,可用計算 器).參考答案：1. (1) 8 倍；(2) 霏a cm3 (3) 6104.學生獨立完成鞏固所學知識歸納總結(jié)1 .球的體積和表卸積2 .等積變換3 .軸截面的應用學生獨立思考、歸納，然后師生共同交

8、流、完善歸納知識，提高學生自我整合知識的 能力.課后作業(yè)1.3第三課時習案學生獨立完成固化練習提升能力備用例題例1.已知過球面上三點 A B C的截面到球心的距離等于球半徑的一 半，且AC= BC= 6 , AB = 4 ,求球面面積與球的體積.【分析】 可以用球的截面性質(zhì)。即截面小圓的圓心到球心的線段垂直 于截面小圓平面.【解析】 如圖，設球心為 Q球半徑為R,彳00,平面ABC于O,由于OA= OB= OC=R,則O是ABC勺外心.設M是AB的中點，由于AC= BC則OCCM設 OM= x,易知 OML AB,則 OA = 42r, OC = CM- OM= 76222 x又 OA = O

9、Cx .解得7.2x 二4則 OA= OB= OC=例4在 RtzXOOA 中，OO= R, /OOA = 90 ° , OA= R,由勾股定理得亭+(942)2 =R2 .解得R考.故 S求面=4nR2 =54n,V求=4nR3 =27而冗.3例2.如圖所示棱錐P - ABC',底面ABCES正方形，邊長為a, PD= a, PA= PC=/2a ,且PD是四棱錐的高.(1)在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑;（2）求四棱錐外接球的半徑.【分析】（1）當所放的球與四棱錐各面都相切時球的半徑最大，即球 八心到各個面的距離均相等，聯(lián)想到用體積分割法求解.（2）四棱錐的外接

10、 X-立圖 43 9球的球心到P、A、B、C D五點的距離均為半徑，只要找出球心的位置即可.球心O在過底面中心E且垂直于底面的垂線上.【解析】（1）設此球半徑為R,最大的球應與四棱錐各個面都相切，設球心為 S,連結(jié)SA SB SC SP,則把此四棱錐分為五個才8錐，設它們的高均為RVp _ABCDABCD1PD = a31 3a a =-a3SPAD S_PDCa aa2 , 2，GG12 /SPABSPBC Ta W2a a,22S 口 ABCD=a2.VP - ABCD= VS - PDA + VSPDC + V S - ABCD + VSPAB + Vs1 31 _3 a =3即瞬 k SMB % SABcD) ,-a3 Jr" +1a2 +必a2 +變a2 +a2), 33 2222所以R3（2+四1¥，"22=與即球的最大半徑為（1-9）a.（2）法一：設PB的中點為F.a =(1因為在 RtAPDB, FP = FB = FD,在 RtzXPAB中，F(xiàn)A = FP = FB,在 RtzXPBCt, FP = FB = FC,所以 FP = FB = FA= FC= FD.所以F為四棱錐外接球的