第九章直線和圓的方程

1、第九章直線和圓考點(diǎn)1直線方程與兩直線的位置關(guān)系1 .(2016北京，7)已知A(2, 5), B(4, 1),若點(diǎn)P(x, y)在線段AB上，則2x y的最大值為()A. -1B.3C.7D.81 .解析 線段AB的方程為丫一仁!2(x-4), 2x< 4.2 4即 2x+y9=0, 2<x<4 因?yàn)?P(x, y)在線段 AB 上，所以 2x- y = 2x-(-2x+9)=4x- 9.又2蟲wq則1W次9<；故2x- y最大值為7.答案 C2.(2015安徽，8)直線3x+ 4y=b與圓x2+y22x 2y+1 = 0相切，則b的值是()A.2 或 12B.2 或1

2、2 C. 2 或12D.2 或 122.解析 圓方程可化為(x1)2+(y1)2=1,，該圓是以(1, 1)為圓心，以1為半徑的圓，直線3x+ 4y=b與該圓相切，|3 1# b| =1.解得b=2或b=12,故選D. 432+42答案D3.(2014福建，6)已知直線l過圓x2+(y3)2=4的圓心，且與直線 x+ y+1 = 0垂直，則l的方程是()A.x+ y2=0B.x- y+2 = 0C.x+ y3=0D.x- y+3=03 .解析 依題意，得直線l過點(diǎn)(0,3),斜率為1,所以直線l的方程為v 3=x-0,gp x-y+ 3= 0.故選D. 答案D4 .(2014四川，9)設(shè)mCR

3、,過定點(diǎn) A的動(dòng)直線x+ my= 0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x, y),則|PA|+|PB|的取值范圍是()A. V5, 2v5B.V10, 2能c.阮，4V5D.2V5, 4755 .解析 易知直線x+my= 0過定點(diǎn)A(0, 0),直線mx-y-m+ 3= 0過定點(diǎn)B(1, 3),且兩條直線相互垂直，故點(diǎn) P 在以 AB 為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故 |PA|+|PB|= |AB|cos/ PAB + RB|sin/PAB=屈 <2sin / FAB + 4:氏a/w, 275,故 選B.答案B6 .(2015江蘇，12)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，P為雙曲線x2-y

4、2= 1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P到直線x y+1=0的 距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù) c的最大值為 .7 .解析 雙曲線x2y2= 1的漸近線為x±y= 0,直線x y+1=0與漸近線x-y= 0平行，故兩平行線的距離 d= ,2 0' 412+ 12=字.由點(diǎn)P到直線xy+1=0的距離大于c恒成立，得c考,故c的最大值為32考點(diǎn)2圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系1.（2018全國(guó)卷m, 8）直線分別與軸,軸交于,兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是解析：直線點(diǎn)P在圓（圓心為（2,故點(diǎn)P到直線B.C.分別與軸,軸交于，則0）,則圓心到直線距離的距離的范圍為D.兩點(diǎn)故答案選A.2.（20

5、16新課標(biāo)全國(guó)n ,6)圓x + y 2x 8y +13=0的圓心到直線 ax + y 1 = 0的距離為1,則 a=()2.解析由圓的方程B 3B. -4C. .3D.2x2+y2-2x- 8y+13=0得圓心坐標(biāo)為（1, 4）,由點(diǎn)到直線的距離公式得|1 a+41|1 + a2=1,解之彳導(dǎo)a=-4.33.（2016北京,5）圓（x+1）2+y2=2的圓心到直線 y=x+3的距離為（）A.1B.2C. .2D.2 23.解析 圓（x+1）2+y2=2的圓心坐標(biāo)為（一1, 0）,由y=x+3得xy+3=0,則圓心到直線的距離d = jt0+3L山2+ ( 1) 24.（2016山東,7）已知

6、圓 M:+ （y-1）2=1的位置關(guān)系是（x2 + y2-2ay=0（a>0）截直線x+ y= 0所得線段的長(zhǎng)度是 2曲 則圓M 與圓 N: (x-1)2A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離4.解析,圓M : x?+（ya=a.,.圓心坐標(biāo)為 M （0, a）,半徑r1為a,2=a2,解得 a= 2.圓心M到直線x+ y=0的距離d=Ja|,由幾何知識(shí)得 d+S .M(0, 2), r1=2.又圓N的圓心坐標(biāo) N(1, 1),半徑r2=1, |MN | =弋(1 0)之 + ( 1 - 2)之="2, 1+2=3, r i 2=1.ri2< |MN|vri +2,，兩圓相交，

7、故選 B.答案 B5.(2015新課標(biāo)全國(guó)n ,7)已知三點(diǎn) A(1,0),A. 53B J1B. 3B(0,圾 C(2,小),C2_JC. 3則 ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為 (4D.35.解析 由點(diǎn)B(0, 回 C(2,小),得線段BC的垂直平分線方程為 x=1,由點(diǎn)A(1, 0), B(0, ® 得線段AB的垂直平分線方程為 丫平=乎,一2 ，聯(lián)立，解得其到原點(diǎn)的距離為6.(2015北京，2)圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是()A.(x- 1)2+ (y- 1)2= 1B.(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 1C.(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 2D.(x 1)2

8、+ (y-1)2 = 26 .解析 圓的半徑r=Jj+ 12 =也，圓的方程為(x- 1)2+(y1)2=2. 答案D7 .(2014 湖南，6)若圓 C1： x2+y2=1 與圓 C2： x2+y26x8y+m= 0 外切，則 m=()A.21B.19C.9D.-118 .解析 圓C1的圓心 G(0, 0),半徑1=1,圓C2的方程可化為(x- 3)2+(y-4)2 = 25-m,所以圓心 Cz(3, 4),半徑 2=啦5 - m .從而心心2|=寸32 + 42 = 5.由兩圓外切得 心心2|=門+2,即1+，25m =5,解得m = 9,故選C.答案C9 .(2014浙江，5)已知圓x2

9、+y2+2x2y+a= 0截直線x+y+2= 0所得弦的長(zhǎng)度為 4,則實(shí)數(shù)a的值是()A. -2B.-4C.-6D. -88.解析 將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y1)2=2a,所以圓心為(-1,1)，半徑=42二a，圓心到直線x+ y+ 2=0的距離d=1T 蒙 +2| =也，故2 十= 4,即2 22=4,所以a=-4,故選B.答案B9.(2014 北京，7)已知圓 C: (x 3)2+(y4)2=1 和兩點(diǎn) A(-m,0), B(m,0)(m>0).若圓 C 上存在點(diǎn) P,使得/ APB =90°,則m的最大值為（）A.7B.6C.5D.49 .解析 若/APB

10、 = 90°,則點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓，其方程為x2+y2=m2由題意知圓C: （x3）2+（y4）2=1與圓O: x2+y2=m2有公共點(diǎn)，所以|m1|9|C|喻+1,易知|OC|=5,所以4前W6故m的最大值為6.故選B.答案B10 .（2014安徽，6）過點(diǎn)P（-V3, 1）的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是（B.(0,3DJ0,3兀c. 0, 610 .答案 過P點(diǎn)作圓的切線PA、PB,連接OP,如圖所示顯然，直線PA的傾斜角為0,又OP=yj （-鄧）2+ （- 1） 2 =2, pa=J3, OA=1,因此/ OPA=6C,由對(duì)稱性知,

11、，,，一人，一 a直線PB的傾斜角為3.若直線l與圓有公共點(diǎn)，由圖形知其傾斜角的取值范圍是答案D0, 31故選D.11.（2014新課標(biāo)全國(guó)H,12）設(shè)點(diǎn)M（X0,1）,若在圓O: x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得/ OMN=45°,則的取值范圍A. 1,1B._ 1 1- 2' 2C. 應(yīng)，*D.11 .解析 過M作圓。的兩條切線 MA、MB,切點(diǎn)分別為 A、B,若在圓。上存在點(diǎn)N,使/ OMN = 45°,則/ OMB 1 OMN= 45°,所以/ AMB>90；所以1a0W1,故選A.交于，兩點(diǎn)，則2,12 . (2018全國(guó)卷I, 15)直線解

12、析：根據(jù)題意，圓的方程可化為 所以圓的圓心為 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求得 結(jié)合圓中的特殊三角形，可知答案 一12. (2018天津，12)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0), (1,1), ( 2, 0)的圓的方程為 解析：設(shè)圓的方程為，圓經(jīng)過三點(diǎn)(0, 0), (1, 1), (2, 0),則：,解得：，則圓的方程為答案2213.(2017江蘇，13)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，A(12,0), B(0,6)，點(diǎn)P在圓O: x +y =50上，若PA ,PB w 20,則點(diǎn)P的 橫坐標(biāo)的取值范圍是 .，不二,'2x-y + 5 = 0 '曰 fx = -5f fx =

13、 113 .解析設(shè) P(x, y),由 PAPBW20,易得 2x y+5W0,由， ，可得 AX 或 BX , x2+y2=501y=-51y = 7由2x -y+5 M0得P點(diǎn)在圓左邊弧 AB上，結(jié)合限制條件-5j2 MxM5J2，可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為 -5.2,1.答案-5,2,114 .(2016新課標(biāo)全國(guó)I , 15)設(shè)直線y=x+2a與圓C: x2+y22ay2 = 0相交于A, B兩點(diǎn)，若|AB|=2/3,則圓C 的面積為.14.解析 圓 C：x2+y22ay 2=0,即 C：x2+(ya)2=a2+2,圓心為 C(0,a),C 到直線 y = x+2a 的距離為 d =|

14、0a+2a |；2_ |a|=2.又由|AB|=2 3,得= a2 + 2,解得a2= 2,所以圓的面積為 兀&2+2)=4兀.答案4兀15 . (2016新課標(biāo)全國(guó)出，15)已知直線l: x8+6=0與圓x2+y2=12交于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別作l的垂線 與x軸交于C、D兩點(diǎn)，則|CD|=.一一 一.X V3y+6=0, 2 2_匚._1”一匚一 一1匚16 .解析 設(shè) A(xi , y1), B(x2, y2),由12十/12 得 y 3V3y+ 6= 0,則 y+ y2= 33,又 y2= 2/3, . y1 = /3, . A(-3,小),B(0, 2小).過 A, B 作

15、 l 的垂線方程分別為 y-V3=-V3(x+ 3), y2V3 = -43x,令 y= 0,則 =-2, xd=2, .|CD|=2-(-2)=4.答案 416 . (2016浙江，10)已知aCR,方程a2x2+(a+2)y2 + 4x+8y+5a = 0表示圓，則圓心坐標(biāo)是 .半徑是.17 .解析 由已知方程表示圓，則 a2=a+2,解得a=2或a=1.當(dāng)a=2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去 .當(dāng) a= 一 1 時(shí)，原方程為 x2 + y2 + 4x+ 8y 5=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+ 2)2+(y+4)2= 25,表示以(一2, 4)為圓心，半徑為 5的圓.答案(-2, -4)1

16、7. (2015 湖南,貝U r=13)若直線3x4y+5 = 0與圓x2 + y2 = r2(r>0)相交于A, B兩點(diǎn)，且/ AOB = 120 °(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),18 .解析 如圖，過。點(diǎn)作ODLAB于D點(diǎn)，在 Rt DOB中，/ DOB =60°,3*-4y+5=O ./ DBO = 30°,又|OD|=|3 *4刀+5| =1, 5. r=2|OD|=2.答案218.(2015江蘇，10)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線 mx-y-2m-1 = 0(m R)相切的所有圓中， 半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .18 .解析 直線m

17、x y2m1 = 0恒過定點(diǎn)(2, 1),由題意，得半徑最大的圓的半徑r=(1-2) 2+ ( 0+ 1) 2=也.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x- 1)2+y2=2.答案(x-1)2+y2=2A, B(B在A的上方)，且|AB|19.(2015湖北，16)如圖，已知圓 C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (2)圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為 =2.19 .解析(1)由題意，設(shè)圓心C(1, r)(r為圓C的半徑)，則r2= 嗖)+ 12= 2,解得r = 42.所以圓C的方程為(x1)2 + (y-*J2)2=2.(2)方法一 令x= 0,得y=V2蟲，所以

18、點(diǎn)B(0, V2+1).又點(diǎn)C(1, V2),所以直線BC的斜率為kBC = 1,所以過 點(diǎn)B的切線方程為 y- (V2+ 1) = x-0,即y=x+(m+1).令y=0,得切線在x軸上的截距為<2-1.方法二 令x=0,得y=42±,所以點(diǎn)B(0, 42+1).又點(diǎn)C(1, J2),設(shè)過點(diǎn)B的切線方程為y-(V2 + 1)=kx,即F-，”一 、F-一八、L, .|k /2 +V2+ 1|U 無(wú)力/口 ,kxy+(V2+1) = 0.由題意，圓心 C(1, J2)到直線kxy+(J2+1) = 0的距離d=J一去喘=r = 0 解得k=1.故切線方程為x-y+(# + 1)

19、 = 0.令y=0,得切線在x軸上的截距為72-1.答案(1)(x-1)2+(y-v/2)2=2 (2)一斤120 . (2014湖北，17)已知圓O：x2 + y2=1和點(diǎn)A(2,0),若定點(diǎn)B(b,0)(b 2)和常數(shù) 入滿足：對(duì)圓。上任意一點(diǎn) M,都有 |MB|=彳MA|,則(1)b =；(2)甘20.解析 設(shè) M(x, y),則 x2+y2=1, y2=1-x2,2 |MB|2(xb) 2+y2 x2-2bx+b2+1 -x2 b2+12bx b b+2b+1入一|MA|2= (x + 2) 2+y2 x2+4x+4+ 1-x2 5+4x 2+ 5+4x51一入為吊數(shù)，b +2b+ 1

20、 = 0,解得b= - 2或b = 2(舍去).天=2= 4,解得41或入=1(舍去).，一 11答案(1)2 (2)2 21.(2014重慶，14)已知直線xy + a=0與圓心為C的圓x2+ y2+ 2x-4y4=0相交于A, B兩點(diǎn)，且ACBC,則 實(shí)數(shù)a的值為.21.解析 圓C：x2+y2+2x 4y4=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2= 9,所以圓心為C(1,2),半徑為3.因?yàn)锳CLBC, 所以圓心C到直線xy+a=0的距離為呼，即L 17(+訓(xùn)=呼，所以a=0或6.答案。或6222.(2017課標(biāo)3, 20)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x +mx2與x軸父于A, B兩點(diǎn)

21、，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題:(1)能否出現(xiàn) ACXBC的情況？說明理由;(2)證明過A, B, C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.22.解析 試題分析：(1)設(shè)A(x1,0 ),B(x2,0 ),由ACBC得x1x2+1 = 0；由韋達(dá)定理得X1X2 =-2 ,矛盾，所以 不存在(2)可設(shè)圓方程為x2+y2+mx + Ey-2 = 0,因?yàn)檫^(0,1,)所以E=1 ,令x=0 得y2+y2=0= 丫=1或丫=一2,即弦長(zhǎng)為 3.(1)不能出現(xiàn)ACXBC的情況，理由如下：設(shè) A(x1,0),B(x2,0),則 x1,x2 滿足 x2+mx-2=0,所以 x1x2=-2.

22、又C的坐標(biāo)為(0,1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為一 一二-,所以不能出現(xiàn) ACXBC的情況.(2)設(shè)過A, B, C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D,由x1x2=-2可知原點(diǎn)O在圓內(nèi)，由相交弦定理可得od oc = oA|ob =x x2 = 2 ,OC=1,所以O(shè)D所以過A, B, C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為 OC +OD =3,為定值.23.(2015新課標(biāo)全國(guó)I,20)已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C: (x 2)2+(y3)2= 1交于M , N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍；(2)若OM ON = 12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.23 .解(1)由題設(shè)，可知直線l

23、的方程為y=kx+1,因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以|2k_312 1|<1.5+ k解得4 3"<k<4".所以k的取值范圍為4±_Z'3.(2)設(shè) M(x1, y1)，N(x2, 丫2).將 y= kx+1 代入方程(x2)2+(y3)2= 1,整理得 (1 + k2)x24(1 + k)x+7 = 0.所以 x1+x2=4 ；12)，*1x2=1卜2OM ON = xx2 +yy2= (1 +)x1x2+k(x1+x2) + 1 =； + 卜2，+8.由題設(shè)可得4k(手)+ 8=12,解得k=1, 1 + k2所以l的方程為y=x+1.故

24、圓心C在l上，所以|MN|=2.24 .(2015廣東，20)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1： x2 + y2-6x+ 5=0相交于不同的兩點(diǎn) A, B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L: y=k(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.25 .解 (1)圓 C1： x2+y2-6x+ 5=0化為(x3)2+y2= 4,所以圓 C1的圓心坐標(biāo)為(3, 0).(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)M(x°, y°),由圓的性質(zhì)可得 C1M垂直于直線1,設(shè)直線l的方程為y= mx,易知直線l的斜率存在，所以kC1M m=1, y0= mx0,所以一3 y°=T,所以 x23%+需=0,即 *03 i!+y0 = 9,x0 3 x012/4因?yàn)閯?dòng)直線l與圓C1相交，所以蘆、<2,所以m2<5，所以y0=m2x2<4x0,所以3刈一x0<4x2,解得x0>5或刈<0,又因?yàn)?<x0< 3,所以乳。.？. 5533所以 M(x°, y°)滿足x0 3/ + y0=4