考研微分方程知識歸納

1、微分方程部分12重點內容1、變量可分離的微分方程dy(1)形式 一=f (x)g(y)或 M1(x)M2( y)dx + N1(x)N(y)dy =0 dx(2)通解 f-dy-= ff(x)dx+C 或 fMl(x)dx+ f N2(y)dy =Cg(y)Ni(x)M2(y)2、齊次方程(1)形式曳=中山或dxj昌 dx x dy ydudx -/人yidydu ,二一C(令一 =u ,則 y =xu ,=u + x)或:(u) -uxxdxdxdudx/A xdxduf-二一C(令一=u ,貝U x = yu ,=u + y) (u) uxydydy(2)通解3、一階線性微分方程(1)形式

2、 y '十 p(x)y =q(x)_ p(x) dx(2)通解y =eP(x)dx( q(x)e dx C)4、可降階的高階微分方程(1) y(n)= f(x),其中f(x)為已知函數(shù)積分n次可得其通解(2) y" = f(x,y)(不顯含 y )令y'=p,則y"=p'。于是，原方程可化為p'= f (x, p)(一階)設的通解為p (x,C1),即yr = (x, C1)(一階)由可得通解y =(xQ)dx C2(3) y"= f (y, y)(不顯含 x)令y'=p,則y'p'ddPdpdP。于是，原方

3、程可化為dx dy dx dypdp = f(y, p)(一階)dy設的通解為p=W （y,C1）,即y'=w (y,a)(一階)由可得通解dy(y,Ci)-x C25、二階線性微分方程（1）形式非齊次 y p(x)y q(x)y = f(x)(1)齊次y p(x)y q(x)y =0(2)（2）解的結構定理1若yi（x） y2（x）為（2）的兩個解，則 C1yi（x） + C2 y2（x）為（2）的解。定理2若y（x）、y2（x）為（2）的兩個線性無關的解，則Cy1（x）十C2 y2 （x）為（2）的通解。y（x）、y2（x）線性無關 仁-y1常數(shù)。y2（x）定理3若y（x）、y2（

4、x）為（1）的兩個解，則y（x）-y2（x）為（2）的解。定理4若y0（x）為（2）的解，y（x）為（1）的解，則y0（x） + y（x）為（1）的解。定理5若C1y1（x）+C2y2（x）為（2）的通解，y"（x）為（1）的一個特解解，則（1）通 解為 y =C1y1（x） C2y2（x） y （x）6、二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程y" + py'+qy = 0 （p,q為常數(shù)）的通解：特征方程 九2 + p九+q = 0的判別式A = p24qy =C1e"+C2e2x （A。，有兩相異實根 匕，%）y = (Ci+C2x)ehx

5、( = 0,有兩相等實根 兀=% =力山)y =(CcosPx +Czsin X x)e° ( <0 ,有一對共軻復根 為,2=a ±P i )二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y" +py' + q y = f (x) ( p, q為常數(shù)，f(x)為已知函數(shù)，稱為自由項)特解的表示：(1)若f(x)=Pn(x)e (其中Pn(x)為n次多項式)，則可設特解y '=xkQn(x)e：x0,口不是特征根其中Qn(x)為(系數(shù)待定的)n次多項式，k =1,a是單特征根2, o(是重特征根注意 當f(x) =Pn(x)即口 =0時，也要考慮其是否為特征根

6、！(2)若 f (x) =ae% cosPx或 f(x)=be°xsin 口x ,則可設特解y =xke x(Acos : x Bsin ： x)其中A,B為(待定)常數(shù),卜0,"四不是特征根11,口 土 Pi是特征根(3)若 f (x) = f1(x)十 f2(x),且 y：為y py qy = fi(x)的特解，y：為y py q y = f2(x)的特解，則y* = y；+ y2為y py q y = fi(x) f2(x)的特解(特解的可疊加性)。7、高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程(1)三階 y'" + py'' + qy&#

7、39; + ry = 0特征方程,3 p 2 q, r =0三個相異實根 %, %, %時的通解y =Cie ”x C2e 2x C3e 3x兩個為二重實根 九a,另一個為單實根 九時通解y =(Ci C2x)e0x C3e3x三個為三重實根 %=% =九3 = %時的通解y = (C1 +C2x +C3x2 )e*一個為單實根 儲，另兩個為共軻復根，2 3 =a 士 P i時的通解y = Cie，'十(C2 cos 口 x + C3 sin P x) e"(2)四階 y(4)十 py +qy " + ry，+ sy = 0432將征方程 ' p .十q，.

8、 ：.： s=0四個相異實根 兒，為， ,?.4時的通解y =Cie '1x Cze '2" C3e 3x C4e”兩個為二重實根 A1 = % %1 ,另兩個也為二重實根 =九2 =九02時的通解y =(Ci C2x)e'0ix (C3 c4x)e'02x三個為三重實根 =%2 = % = % ,另一個為單實根 入4時通解y -(Ci C2x C3x2)e'0x C'e'4"四個為四重實根 A1 =九2 = % =九4 =九0時通解y =(Ci C2x C3x2 C4x3)e0x兩個為二重實根 %=九2 = % ,另

9、兩個為相異實根 %，九4時的通解y = (Ci +C2x)e'0ix +C3e'x +C4xe'4x兩個為二重實根 % =% = % ,另兩個為共軻復根 ,4 =口 ±P i時的通解y =(Ci +C2x)e'0x + (C3COSP x +C4 sin P x)e"兩個為相異實根 % ,% ,另兩個為共軻復根 ,4 = a ± P i時的通解y =Cie*-x +C2e'2x 十(C3 cosP x +C4sin P x)ea例題選講例1二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y-4y'+3y =2e2x的通解為 (2007

10、數(shù)學二)2解特征萬程九24九+3=0特征根 ,1=1,2 =3余函數(shù) y =Ciex - C2e3x*2x設特解 y = Ae ,代入非齊次方程可得 A = -2得通解 y =Ciex C2e3x -2e2x例2求微分方程y"(x+y'2) = y'滿足初始條件y(1)= y'(1) = 1的特解。(2007數(shù)學二)解(可降階，不顯含 y)令y'=p,則y"=p'。于是，原方程可化為P(x p2) = p變形為(將x作為p的函數(shù)，這點很關鍵！ ！ ！)dx 1-x = pdp Pd P_ d px = e p ( pe p dp C1

11、)= elnp(. pe4npdp C1)=p(p C1)即x = y (y, C1)由 y'(1)=1 ,得 Ci =0 ,則有(y>2 =x，又由 y'(1) = 1 知，應取y -、x解得y = 2 x2 C23,1由 y(1)=1 ,得 C2 =3故方程y'(x + y'2) =y'滿足初始條件y(1) = y'(1) = 1的特解為-x3例3在下列微分方程中,3以y = Gex +C2cos2x+C3Sin2x為通解的微分方程是A、y _y _4y _4y=0By y 4y 4y = 0G yjy _4y 4y = 0D(2008

12、 數(shù)學二)解 特征根為= 1,九2,3 - ±2i232特征萬程為(九一1)(九+2i)(九一2i)=(兒1)(九十4)=九一九十4九一4 = 0,故應選 D例4設f (x)是區(qū)間0,上具有連續(xù)導數(shù)的單調增加函數(shù)，且 f(0) =1。對任意t W0,",直線x =0,x =t ,曲線y = f(x)以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周生成一旋轉體，若該旋轉體的側面面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)f(x)的表達式。(2008 數(shù)學二)解由題設，有2n ( f (x)J1 + f，2(x)dx = 2.，f 2(x)dx (旋轉體側面面積公式，要記??！) 即。f(x)J1

13、 + f 2(x)dx=0 f2(x)dx方程兩邊對t求導，得f2(t)= f(t) J f 2(t)解得ln(y + Jy2 -1) =t +G , y + Jy2 _1) = Ce由 y(0) =1 ,得 C =1。1所以 y + Jy -1) = e ,或 y = f (x) =3(e +e )。例5設非負函數(shù)y = y(x)(x2 0)滿足微分方程xy" y' + 2 = 0,當曲線y = y(x)過原點時，其與直線 x =1及y = 0所圍成平面區(qū)域 D的面積為2,求D繞y軸旋轉所得旋轉體體積。（2009數(shù)學二）解 將微分方程xy" y' + 2=

14、0變形為.1 .2 ,y y = (x>0)(不顯含 y)(i) x x注意到方程(1)為關于y'及x的一階線性微分方程，則1dx2 - 1dxy =ex ( (- - )e x dx 2g) x二elnx( (-)eJnxdx 2Ci) x=x(一)dx 2Ci) x2=x( C1) = 2 2C1x x于是，有_2_ 一y = Cix 2x C2由 y = y(x)過原點，得 C2 = 0 ,則 y =Gx2 +2x。又由2= 1(C1x2 +2x)dx =C1+1 ,得C1 = 3,從而所求函數(shù)為03_ 2_y = 3x 2x于是_1_2_1_3_217Vy =2冗 fo

15、x(3x2 +2x)dx=2n *(3x3 +2x2)dx =石n。b注意 1 用公式 Vv =2nxf(x)dx要簡便得多！ ( y= f(x), xWa, b) ya注意2可降階的高階微分方程 07年也考到，07、09都為y“=f(x,y)(不顯含y)型。例6三階常系數(shù)齊次線性微分方程y"'-2y"+y'-2y =0的通解為。(2010數(shù)學二)解特征方程為-2 - 2-0因式分解得( -2)( 2 1) -0特征根為1 =2, 2,3二i通解為2xy = CeC2 cosx C3 sin x注意與08年類似。2.2例7設函數(shù)y = f (x)由參數(shù)方程x

16、 x= t t ,(t>_1)所確定，其中中(t)具有二階導y"(t)5d 2 v數(shù)，且中(1) = 5，(1) = 6。已知d42dx23 ，,一一3一，求函數(shù)中(t)。(2010數(shù)學二)4(1 t)解電;二dx 2 2td2y dx2"(dy)")dx dx dx 2(1 t)3)更dt 2(1 t) dx(t)(1 t) (t)1(t)(1 t) (t)二2二二32(1 t) 2(1 t) 4(1 t)變形為則'二(t)(1 t) - (t) =3(1 t)21、一 .中”(t) -之中(t) =3(1+t)(這是關于中及t的一階線性微分方程)

17、Adt_'dt'- (t) =e j ( 3(1 t)e 1t dt G)= eln(1 "( 3(1 t)en(1 "dt C1)一 _ 一 2=(1 t)(3tC1) =3t(C1 3)t C1由(1) = 6 ,得 6 =3+(C1+3)+C1 , C1=0則'- (t) =3t2 3t于是c 3 c(t) =t3 3t2 C2553由中(1) = 5,得 5=1+3+C2, C2 =02 22所以有3 3 21-=t3 12 2注意1 一階線性微分方程是考試重點x (t)注意2由參數(shù)方程x ( )所確定的函數(shù)的導數(shù)也是考試的重點 y =

18、9;一dy 'd2y,二 ： 一1- (t)dx 一 ；(t) , dx2 一 ： (t)3其中公式d2y' (t) (t)， (t) 丁dx2 一 (t)3可與曲率公式|'- (t) ；(t)； (t) (t)|一：(t)3/2聯(lián)系起來記。例8微分方程y“-九2y =e'x+ex (九>0)的特解的形式為()A、 a(e'x+e/x)b、 ax(ex +evx)C x(ae'x +be"x)D 、x2(ae'x +be-x)(2011 數(shù)學二)解 特征方程為r2 九2 =0特征為r1 =九，r2 = -九(單根)y"-九2y =e'x的特解可設為xae'x, y"-九2y =e鵬的特解可設為xbe<x于是，應選Co注意特解的可疊加性例9微分方程y' +y =e、cosx滿足條件y(0) = 0的解y =。(2011數(shù) 學二)解-dx 二|dxy = e (. e cosx e dx C)= e.( .e.cosx exdx C)=e(si