圓錐曲線的定義方程和性質(zhì)知識總結(jié)及試題

1、橢圓的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的定義:第一定義：平面內(nèi)與兩個定點 F1、F2的距離之和等于常數(shù) （大于F1F2 ）的點的軌跡叫 做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。第二定義：動點到定點的距離和它到定直線的距離之比等于常數(shù)e（0<e<1）,則動點的軌跡叫做橢圓。定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)叫做橢圓的離心率。說明：若常數(shù)等于，則動點軌跡是線段F1F2O若常數(shù)小于，則動點軌跡不存在。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程22x yf= +4=1（abA0）中a2 b2心在原點，焦點在軸上22-yy 十 二=1（a a b a 0）a2b

2、2中心在原點，焦點在軸上圖形1 Nd*1thJI1,JhIF f 獷1FA1-hfrK-范圍x <3i, y <bix Wb, y wa頂點A (-a,0 > A2 0)B(0,-b > B2(0, b)A(0,-a 卜 A2(0, a) B1(4,0 卜 B2(b,0)對稱軸軸、軸；長軸長，短軸長； 焦點在長軸上軸、軸；長軸長，短軸長； 焦點在長軸上焦點Fi(-c,0 卜 F2(c,0)F1(0,c卜 F2(0, c)焦距F1F2| = 2c(cA0)F1F2 =2c(c>0)離心率e =2(0 <e <1) ac 一,、e = - (0 <

3、e m 1) a準(zhǔn)線2+ ax = 士 c2+ a y =±c參數(shù)方程 與普通方 程22x y+ Jr = 1的參數(shù)方程為a bfx = acos 伊力參數(shù))j = bsin8y2 , x2七十六=1的參數(shù)方程為a by = acosBg4外有、 r八（日為參數(shù)）、x = bsin。3.焦半徑公式:橢圓上的任一點和焦點連結(jié)的線段長稱為焦半徑。焦半徑公式：橢圓焦點在軸上時，設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，P(x0, y0)是橢圓上任一點，則 PF1|=a+ex0, PF2=aex0。 PF推導(dǎo)過程：由第二定乂得 一=e (為點到左準(zhǔn)線的距離) di. fa2)則 PF1 =ea =

4、e x0 + =e%+a =a+ex0;同理得 PF2 =a e%。 I c )簡記為：左" + ”右“”。由此可見，過焦點的弦的弦長是一個僅與它的中點的橫坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)。2222xyy x=十二=1 ;右焦點在軸上，則為一+=1 。有時為了運算萬便，設(shè)a2 b2a2 b222mx +ny =1(m>0,m#n)。雙曲線的定義、方程和性質(zhì)知識要點：1 .定義(1)第一定義：平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值等于定長2a (小于IF1F2I)的點的軌跡叫雙曲線。說明：l|PF1|-|PF2|=2a (2a<|FF2|)是雙曲線；若2a二|FF2|,軌跡是以F1、F2為

5、端點的射線；2a>|F1F2時無軌跡。設(shè)M是雙曲線上任意一點，若M點在雙曲線右邊一支上， 則|MF1|>|MF2|, |MF1|-|MF2|=2a； 若M在雙曲線的左支上，則|MF1|<|MF2|, |MF1|-|MF2|=-2a,故|MF1|-|MF2|= 2a,這是與橢 圓不同的地方。(2)第二定義：平面內(nèi)動點到定點F的距離與到定直線 L的距離之比是常數(shù) e (e>1)的點的軌跡叫雙曲線，定點叫焦點，定直線 L叫相應(yīng)的準(zhǔn)線。2 .雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程22x-%=1(a >0,b>0) a b22yx22 -2 =1(a>0,b>0)

6、 ab圖形jl焦點F1 (-c,F2(；，0/F1(0, N F20,沙頂點對稱軸A1 (a, 0N，實軸2a,遇注.2 s.(.7以)步軸在.x軸上，A1 (0, a) A 實軸2a,虛對X0)彳裝軸在y軸上,c2=a2+b2 AzXAc2=a2+b27離心率c城F2一A_c_IF2Je aM)e a | MD |準(zhǔn)線方程a2a2l1：x=,l2：x=c- 準(zhǔn)線間距離為Q ca2a2ii:y =2 :y cc準(zhǔn)線間距離為紀(jì) c漸近線方程x+j二=0 a ba bx y - x y -= 0 , = 0b aba3.幾個概念(1)等軸雙曲線：實、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=A,離

7、心率為。(2) 共軸雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸2222雙曲線，例：x2=1的共軸雙曲線是二工=-1。 a ba b雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共 軸雙曲線；雙曲線和它的共軸雙曲線的四個焦點在同一個圓周上。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一、拋物線定義的理解平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點為拋物線的焦 點，定直線為拋物線的準(zhǔn)線。注： 定義可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點設(shè)為；一定點(即焦點)；一定直線(即準(zhǔn) 線)；一定值1 (即動點到定點的距離與它到定直線的距離之比1) 定義中的隱含條件：

8、焦點不在準(zhǔn)線上。若在上，拋物線退化為過且垂直于的一條直線圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點和定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡，當(dāng)0<ec1時，表示橢圓；當(dāng) e>1時，表示雙曲線；當(dāng) e=1時，表示拋物線。 拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋 物線上的動點到焦點距離(稱焦半徑)與動點到準(zhǔn)線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來，通 過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化。二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程1 .拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程建系特點：以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立直 角坐標(biāo)系，這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應(yīng)用。2

9、 .四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別：由于選取坐標(biāo)系時，該坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式為：y2 =±2px(p>0),x2 = i2py(p >0 ),其中：參數(shù)的幾何意義：焦參數(shù)是焦點到準(zhǔn)線的距離， 所以恒為正值；值越大，張口越大；衛(wèi)2等于焦點到拋物線頂點的距離。標(biāo)準(zhǔn)方程的特點：方程的左邊是某變量的平方項，右邊是另一變量的一次項，方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向，即對稱軸為軸時，方程中的一次項變量就是，若的一次項前符號為正， 則開口向右，若的一次項前符號為負(fù)，則開口向

10、左；若對稱軸為軸時，方程中的一次項變量就是， 當(dāng)?shù)囊淮雾椙胺枮檎?則開口向上，若的一次項前符號為負(fù)，則開口向下。三、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線方程時，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程. 待定系數(shù)法：因拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個條件就能解出待定系數(shù)，因此要做到“先定位，再定值”。注：當(dāng)求頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線時，若不知開口方向，可設(shè)為 y2 = ax或 x2 = ay ,這樣可避免討論。 拋物線軌跡法：若由已知得拋物線是標(biāo)準(zhǔn)形式，可直接設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)式；若不確定是否是 標(biāo)準(zhǔn)式，由已知條件可知曲線的動點的規(guī)律，一般用軌跡法求

11、之。四、拋物線的簡單幾何性質(zhì)方程設(shè)拋物線y2 = 2px(p>0)性質(zhì)焦點范圍對稱性頂點離心率準(zhǔn)線通徑fp 、F”x之0關(guān)于軸 對稱原點e = 1x =2 一一，1注：焦點的非零坐標(biāo)是一次項系數(shù)的 -;4 對于不同形式的拋物線，位置不同，其性質(zhì)也有所不同，應(yīng)弄清它們的異同點， 數(shù)形結(jié)合，掌握方程與有關(guān)特征量，有關(guān)性質(zhì)間的對應(yīng)關(guān)系，從整體上認(rèn)識拋物線及其性質(zhì)。五、直線與拋物線有關(guān)問題1 .直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷：直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去或化得形如2ax +bx+c = 0 (*)的式子： 當(dāng)a =0時，(*)式方程只有一解，即直線與拋物線只有一個交點，此時直線與拋物 線不是相

12、切，而是與拋物線對稱軸平行或重合；當(dāng)a 00時，若4> 0 (*)式方程有兩組不同的實數(shù)解直線與拋物線相交；若4=0 (*)式方程有兩組相同的實數(shù)解直線與拋物線相切；若< 0 (*)式方程無實數(shù)解 直線與拋物線相離.2.直線與拋物線相交的弦長問題 弦長公式：設(shè)直線交拋物線于 A(x11yl )B(x2,y2),則AB| =*1 + kAB2 xA -xB或 AB = J1 +4 VaNb .k k若直線與拋物線相交所得弦為焦點弦時，借助于焦半徑公式處理：拋物線y2 =攵px(p > 0 )上一點M (xo, yo )的焦半徑長是MF | = ±xo + 2 ,拋物線

13、x2 = ：t2py(p >0 止一點 M (x0, y0 心焦半徑長是 MF| = ±y° + p六、拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論設(shè)AB為過拋物線y2 = ±2px(p >0 )焦點的弦，設(shè)A(x1, y1 jB(x2, y2 ),直線AB的傾斜 角為，貝U2P2 x-=,V1V2 =-P ；4 AB = 2p = x1十x2 + p ；sin -以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；22 sin -弦兩端點與頂點所成三角形的面積sAob =合112FA| |FB| p焦點對、在準(zhǔn)線上射影的張角為900;七、拋物線有關(guān)注意事項1 .凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、

14、弦的斜率問題時要注意利用韋達(dá)定理，采用“設(shè)而 不求”或“點差法”等方法，能避免求交點坐標(biāo)的復(fù)雜運算.同時在解決直線與拋物線相交問題時不能忽視 AaO這個條件。2 .解決與拋物線的焦半徑、焦點弦有關(guān)問題時，多從拋物線的定義出發(fā)，實現(xiàn)拋物線上任一點到焦點的距離和這點到準(zhǔn)線的距離之間的相互轉(zhuǎn)化，并應(yīng)注意焦點弦的幾何性質(zhì).中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)作業(yè)第 12講（橢圓、雙曲線、拋物線）一、選擇題：22221.橢圓 當(dāng)+4=1與雙曲線 二當(dāng)=1有公共焦點，則橢圓的離心率是（）2m nm 2n（A）彳（B）半（C） （D）雪222.橢圓>+'=1 （ a>b>0）的半焦距為，若直線

15、y=2x與橢圓的一個交點的橫坐標(biāo)恰為, a b3.已知是三角形的一個內(nèi)角，且 （A）焦點在軸上的橢圓則橢圓的離心率為（）（A） 2-。2（B）2<2 -1（C）721（D）731sin+cosH=1，貝 U 方程 x2 sinBy2cosg =1 表示（）（B）焦點在軸上的橢圓（C）焦點在軸上的雙曲線2X C4.設(shè)E、F2是雙曲線y24值等于（）（D）焦點在軸上的雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，且PF1 PF2 =0 ,貝U | PF1 | ，| PF2 | 的(A) 2(B) 2V2(C) 4(D) 8225.如果雙曲線x -y =1上一點到它的左焦點的距離是8,那么點到它的右準(zhǔn)線的距

16、離是（）64 3632（A）V 56.設(shè)P為拋物線yM的軌跡方程為（21（A） y =6x 3二、填空題：(B)=2x2)6496一(C) 一55/c、128(D)T+ 1上的動點，定點 A （0, -1）。點M分有向線段所成的比為 2,則點- 21_21_ 2.(B)x=6y (C)y=3x (D) y =-3x -1337 . 一輛卡車高3米，寬16米，欲通過拋物線形隧道，拱口寬恰好是拋物線的通徑長，若拱口寬為a米，則能使卡車通過的a的最小整數(shù)值是 8 .橢圓x2 +4y2 =16上的點到直線x2y行=0的最大距離是9 .直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點P,若過點P且以雙曲線12x24y2=3的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為 冗10 .A是橢圓長軸的一個端點，。是橢圓的中心，若橢圓上存在一點P,使/OPA=3,則橢圓離 心率的范圍是三、解答題：11 .橢圓C的中心在原點，焦點 Fi、F2在X軸上，點P為橢圓上的一個動點，且/ F1PF2的最 大值為90°,直線l過左焦點Fi與橢圓交于A、B兩點，4ABF2的面積最大值為12.求橢圓C 的離心率及其方程.12 .已知拋物線