小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型(燕尾模型)

1、燕尾定理日如蚱 例題精講燕尾定理:在三角形 ABC中，AD , BE, CF相交于同一點(diǎn) O, 那么，S ABO : S ACO = BD :DC上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)锳ABO和AACO的形狀很象燕子的尾巴，所以這個(gè)定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于 任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑通過(guò)一道例題 證明燕尾定理:如右圖，D是BC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你說(shuō)明：S : S4 = & : S3 = BD : DC【解析】三角形BED與三角形CED同高，分別以BD、DC為底，所以有

2、S1 ： S4 = BD ：DC ； 三角形ABE與三角形EBD同高，SS=ED:EA；三角形ACE與三角形CED同高，S4§=ED:EA,所以§ 0=$2：0;綜上可得， § ：S4 =& £ = BD : DC .page 25 of 18ABC的面積是1, E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC上，且BD:DC=1:2, AD與BE交于點(diǎn)F.則四邊形DFEC的面積等于例1 （2009年第七屆希望杯五年級(jí)一試試題）如圖，三角形方法一：連接CF ,根據(jù)燕尾定理,Sa abfBDSa abfSa acfDC一2S CBFAE1 EC設(shè)SA BDF =1份，則

3、SA DCF =2份， SA ABF =3份,SAAEF - SA EFC=3份，如圖所標(biāo)5 -所以 Sdcef = Sa ABC1212方法二：連接DE ,1由題目條件可得到Sa ABDSa ABC3Sa ADEAADC2& ABC2 3BFSaabdSa def=1 Sa DEB2而 SA CDE2 1二SAABC3 2如圖，已知 BD =DC ,FESaade111c& ABC2 3 21，一，-.所以則四邊形3EC=2AE,三角形12，DFEC的面積等于1230,求陰影部分面積.ABC的面積是題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實(shí)際上是比例的關(guān)系，由此我們

4、可以初步判斷這道題不應(yīng)該通過(guò)面積公式求面積.又因?yàn)殛幱安糠质且粋€(gè)不規(guī)則四邊形，所以我們需要對(duì)它進(jìn)行改造，那么我們需要連一條輔助線,（法一）連接CF,因?yàn)锽D=DC,EC=2AE,三角形ABC的面積是30,1 -所以 Sa abe Sa abc =10, Sa abd31 c=S ABC =15 2根據(jù)燕尾定理,SA ABFAESA ABFBDSA CBFECCD二1,1 -c所以Sz ABF - - Sa ABC = 7.5 ,Sa BFD4= 157.5 =7.5 ,所以陰影部分面積是30107.5=12.5 .（法二）連接DE,由題目條件可得到1Sa ABE =-Sa ABC =10 ,3

5、-1_12-Sabde =_Sabec =-Saabc =10,所以22 3AFFDSA ABEc 1c 11c 111cS»A DEF = - M S>A DEA =父一父 Sa ADC =一父 一 X X Sa abc =2.5 , 22 32 3 2一2 1一而Sacde =-X-xSaabc =10.所以陰影部分的面積為12.5.3 22【鞏固】如圖，二角形ABC的面積是200 cm , E在AC上，點(diǎn)D在BC上，且AE: EC = 3:5 , BD:DC = 2:3 , AD與BE交于點(diǎn)F .則四邊形 DFEC的面積等于 .【解析】連接CF ,根據(jù)燕尾定理,SA AB

6、FBDSA ABFAESA ACFDCSA CBFEC10設(shè) SA ABF 6 份,則 SAACF 9 份，SABCF510 份,Saefc =9乂3 545份,Sa cdf3=10 =6 份,2 345452所以 Sdcfe =200,(6 9 10) (6)=8 (6) =93 (cm )88【鞏固】如圖，已知BD=3DC, EC=2AE, BE與CD相交于點(diǎn)O,則4ABC被分成的4部分面積各占 4ABC 面積的幾分之幾？【解析】連接CO,設(shè)SAaeo =1份，則其他部分的面積如圖所示，所以Saabc=1+2+9+18 = 30份，所以四部分按從小到大各占1 2 4.5 13 93 13.

7、59 ABC 面積的 一,=一，一=一,二一303060 30 10 3020（2007年香港圣公會(huì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）如圖所示，在 4ABC中，CP=1CB, CQ =CA , 23點(diǎn)X ,若4ABC的面積為6 ,則4ABX的面積等于 .BQ與AP相交于1 一 一12一 一 1 一 1 一由于 CP = -CB , CQ=CA,所以 SaBQ = S ABC , SjBPQ = SbCQ = S ABC .233 _2 _6 _21由蝴蝶7E理知，AX : XP = Slabq : SjBPQ = S_ABC : - S ABC = 4:1 ,3 -6 -所以Slabx= -Sabp5 一41c2=一

8、S ABC=S ABC52 -5-2二一M6 = 2.4 .5方法二：連接CX設(shè)Sacpx =1份，根據(jù)燕尾定理標(biāo)出其他部分面積,所以 Saabx =6-：-（1 14 4） 4=2.4BD=2DC, CE=2AE, AD與BE相交于點(diǎn)F ,請(qǐng)寫出這4部分【鞏固】如圖，三角形 ABC的面積是1, 的面積各是多少？【解析】連接CF ,設(shè)SAaef =1份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標(biāo)出如圖所示，所以Sa AEF =，Sa ABF21"&BDF21 78, Sfdce2121【鞏固】如圖，E在AC上,D 在 BC 上，且 AE:EC=2:3 , BD:DC=1:2, AD 與

9、 BE 交于點(diǎn) F .四邊形 DFEC的面積等于22 cm2,則三角形ABC的面積SZ ABF SA CBF連接CF ,根據(jù)燕尾定理,Sa abf BD 1Saacf = DC = 2AEEC設(shè) SA BDF=1份，則Sad c齊2份，SA ABF =2份 ,SA AFC=4 份，SaAEF - 42 33份,SAefc =4乂=2.4 份，如圖所標(biāo)，所以 Sefdc =2+2.4=4.4 份§abc =2+3+4 =9份2 3所以 Saabc =22 "4.4 9 =45 （cm2）AC =2, CD =2, CB=3, AM=BM,那么三角形 AMN （陰影【鞏固】三角

10、形 ABC中，C是直角，已知 部分）的面積為多少？【解析】連接BN . ABC的面積為3父232=3根據(jù)燕尾定理， ACN:ABN =CD :BD =2:1 ;同理CBN:CAN =BM : AM =1:1設(shè)AAMN面積為1份，則4MNB的面積也是1份，所以4ANB的面積是1+1=2份，而4ACN的 面積就是2 M2 =4份，4CBN也是 4份，這樣 ABC的面積為4+4+1+1=10份，所以 4AMN的 面積為 3-10X1 =0.3.【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形 ABCD的面積是 平方厘米？2平方厘米，EC=2DEF是DG的中點(diǎn).陰影部分的面積是多少DEC【解析】設(shè)$4 def =1份，則根據(jù)燕尾

11、定理其他面積如圖所示影55 一、一，二? Sa bcd =上平方厘米.1212例2如圖所示，在四邊形 ABCD中, 形BODC的面積為.AB=3BE,AD =3AF ,四邊形AEOF的面積是12,那么平行四邊【斛析】連接AO,BD，根據(jù)燃尾 7E 理SAABO: SA BDO = AF : FD =1： 2, SA aod: SA bod= AE : BE =2 ：1，設(shè) SA beo=1 ,則其他圖形面積，如圖所標(biāo)，所以Sbodc =2Saeof =2 12 =24.例3 ABCD是邊長(zhǎng)為12厘米的正方形，E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，AF與CE交于G ,則四邊形 AGCD的面積是 平方厘

12、米.【解析】連接八。、68,設(shè)$4 G =1份，根據(jù)燕尾定理得SAAGB =1份，Sx BGC=1份，則S正方形=(1十1+1父2=6份，SADCG =3 + 1 =4份，所以 SADCG =122 +6父4 =96 (cm2)例4如圖，正方形 ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，四邊形 BGHF的 面積是 平方厘米.【解析】連接BH,根據(jù)沙漏模型得BG:GD=1:2> SAbhc =1份，根據(jù)燕尾定理SAchd =2份，SAbhd = 2份,1 277因此 Se 方形=（1+2+2）乂2=10 份，Sbfhg所以 Sbfhg =120+10父=14（平萬(wàn)厘米

13、）.2 366例5如圖所示，在 4ABC中，BE: EC =3:1 , D是AE的中點(diǎn)，那么AF:FC =連接CD .由于 SA ABD : SA BED =1:1 ,根據(jù)燕尾定理， AF : FCSA BED : SA BCD =3: 4 ,所以 SA ABD : SA BCDSA ABD : SA BCD =3； 4 .在 MBC 中，BD:DC =3:2,AE: EC =3:1 ,求 OB:OE=?連接OC .因?yàn)锽D: DC =3: 2 ,根據(jù)燕尾定理,3 _SaOB : S由oc = BD : BC =3: 2 ,即 S&OB = S&OC ;2.4 一又 AE :

14、EC 3:1 ,所以 Soc S曲oe .所以 OB:OE =S&OB:SOE =2:1 .3八34八八則 SAOB SAOC - M&S&OE =2Soe ,【鞏固】在 MBC中，BD:DC=2:1,AE : EC =1:3 ,求 OB:OE=?D【解析】 題目求的是邊的比值，一般來(lái)說(shuō)可以通過(guò)分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過(guò)三角形的面積 比來(lái)做橋梁，但題目沒(méi)告訴我們邊的長(zhǎng)度，所以應(yīng)該通過(guò)面積比而得到邊長(zhǎng)的比.本題的圖形一看 就聯(lián)想到燕尾定理，但兩個(gè)燕尾似乎少了一個(gè)，因此應(yīng)該補(bǔ)全，所以第一步要連接OC .連接OC .因?yàn)?BD : DC =2:1 ,根據(jù)燕尾7E理

15、，SOB : S&OC =BD : BC =2:1 ,即 SmOB =2SOC ；又 AE : EC =1:3 ,所以 S為oc =4S逸oe .則 S淺ob =2S占o(jì)c =2父 4s淺oe =8S占o(jì)e , 所以 OB：OE =S宓0b ：S型e =8:1 .例6 （2009年清華附中入學(xué)測(cè)試題）如圖，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且11AE = AB , CF =BC ,34AF與CE相交于G ,若矩形ABCD的面積為120,則AAEG與ACGF的面積之和為.（法1）如圖，過(guò)F做CE的平行線交 AB于H ,則EH : HB=CF : FB=1:3 ,1所以

16、AE =EB =2EH , AG:GF =AE:EH =2 ,即 AG=2GF , 212c 231”所以 S&EG =- 父一 MS&BF =- 父一父一 SABCD =10 .3 39 4 2-22 311且 EG =HF =mEC =EC ,故 CG = GE ,則 SAgf =1 父一 mSaeg =5 .33 42C2 A所以兩三角形面積之和為 10+5=15 .（法2）如上右圖，連接 AC、BG .根據(jù)燕尾定理，S ABG : S ACG -BF :CF -3:1一 1 一而 S&BC S ABCD 60 ,3.1 一一所以 Sabg =, Sabc =一父

17、 60 30 ,3 2 1211.則 S&EG &S2BG -10 , S&FG 7 S&CG -5 ,，s掩cg:Sacg=BE: AE = 2:1 ,S.BCG2 八 1 一一 丁，Sbc =一父60 =20 ,3 2 13所以兩個(gè)三角形的面積之和為15.【例7】如右圖，三角形 ABC中,BD:DC=4:9, CE:EA=4:3 ,求 AF : FB .A【解析】 根據(jù)燕尾定理得 SAOB ： SaAOc =BD：CD =4:9 =12:27SA AOB ： SA BOC = AE ： CE =3：4=12：16（都有 AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）

18、所以 SAOC : SABOC =27:16 =AF ：FB【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把 4AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果 能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】如右圖，三角形 ABC中，BD:DC=3:4, AE:CE =5:6 ,求AF : FB.【解析】根據(jù)燕尾定理得SAAOB : SAAOC =BD :CD =3: 4=15: 20SAaob : SAboc = AE :CE =5: 6 =15:18（都有 AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 SA AOC : SABOC =20 :18 =10:9 =AF :

19、 FB如圖， BD: DC =2:3 , AE:CE =5:3，則 AF : BF =【解析】根據(jù)燕尾定理有 SAABG : SAACG =2 :3 =10:15 , SAABG : SABCG =5:3 =10 : 6，所以SA ACG : SABCG=15: 6 =5: 2 =AF : BF【鞏固】如右圖，三角形ABC 中，BD:DC=2:3,EA:CE=5: 4,求 AF : FB.【解析】根據(jù)燕尾定理得SAAOB : SAAOC =BD :CD =2:3=10:15 /-OD/AOCSAaob : Saboc =AE:CE =5:4=10:8（都有 AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)

20、）所以 Sa aoc : Sa boc =15:8 =AF : FB【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把 4AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果 能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！例8）如右圖，三角形 ABC 中，AF:FB=BD:DC=CE:AE = 3:2,三角形AGE的面積為連接 AH、BI、CG .(2008年“學(xué)而思杯”六年級(jí)數(shù)學(xué)試題 且三角形ABC的面積是1 ,則三角形 形GHI的面積為.ABE的面積為由于CE: AE=3: 2 ,所以AE根據(jù)燕尾定理，S ACG : S ABG5=CD:BD故 S ABES&CG : S年

21、G : S在CG =4 : 6: 9 ,則 S acg= 2:3, S&cg：Sabg =CE:EA = 3:2 ,所以4 o9 .二,S/BCG =,19:192o一 ?5 19 95那么 SAGE - 一 SAGC5 一9. 一_同樣分析可得SACH =，則 EG : EH = SACG : Sach= 4:9, EG: EB = %cg : Sacb =4:19 ,所以19EG:GH :HB =4:5:10 ,同樣分析可得 AG:GI :ID =10:5: 4,所以SBIE10S BAE5 21G 5 G二一父一二一， SGHI 二一S 由5519105 11IE 二19 5 1

22、9如右圖，三角形ABC的面積.ABC 中,AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形 GHI的面積是1,求三角形連接BG ，SA AGC =6份根據(jù)燕尾定理，SAAGC : SABGC nAF:FB=3: 2 6:4 , SA ABG : SA AGC=BD : DC = 3: 2 =9 : 6得 SA BGC = 4 （份），SAABG = 9 （份）,則8ABC =19（份），因此SC S ABC619,同理連接AI、CH得SA ABHS ABC一19S BIC _ 6SA ABC19所以S包SA ABC19-6-6-61919三角形GHI的面積是1,所以三角形 ABC的面積是1

23、9【鞏固】(2009年第七屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽六年級(jí)AF =2FC ,那么.'ABC的面積是陰影三角形面積的）如圖， MBC 中 BD=2DA, CE = 2EB, 倍.【分析】根據(jù)燕尾定理，S bci : S aci = BD ： AD 所以，s淺ci ： Sgci ： s卷bi 1：2：4,2 O 2°那么，S在ci+2 +4SbcSbc -= 2:1 , S&ci ：S夢(mèng)i =CF : AF =1： 2,_ , , 一 2_ 一一一 同理可知 MCG和MBH的面積也都等于 MBC面積的士，所以陰影三角形的面積等于 AABC面積7一 21的1 2 M3 =

24、1 ,所以 MBC的面積是陰影三角形面積的 7倍.【鞏固】如圖在 ABC中,的值.DCEA FB 1 oGHI 的面積= =，求 ，DB EC FA 2 ABC 的面積【解析】 連接 BG,設(shè) Sbgc =1 份，根據(jù)燕尾定理 Saagc ： Sabgc =AF：FB=2：1 , SAabg ：Saagc = BD ： DC =2：1 ,S人2得 Saagc =2（份），Saabg =4（份），則 Saabc =7（份），因此 /C =一，同理連接 AI、CH 得Sa abc7Sz BIC _ 2SA ABC 7S ABH _ 2SA ABC7Saghi 7 -2-2 -2Sa abc77【點(diǎn)

25、評(píng)】如果任意一個(gè)三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化， 但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我 們有對(duì)稱法作輔助線.【鞏固】如圖在 ABC中,DC = ea =fb =14GHI的面積的值.DB EC FA 3, ABC 的面積【解析】連接 BG,設(shè) SBGC =1 份，根據(jù)燕尾定理 SAAGC : SA BGC =AF：FB =3:1 abg : SA agc = BD：DC=3：1 ,S-3得Sa agc =3（份），Saabg =9（份），則ABC =13（份），因此-C=2,同理連接AI、CH得Sa a

26、bc13SA ABHSA BIC3二13,二,Sa ABCSa ABC13所以包絲=n-3-3-3 = 4Sa ABC1313【鞏固】如右圖, 的面積.三角形ABC 中，AF :FB = BD :DC =CE: AE =4:3 ,且三角形ABC的面積是74,求角形GHI【解析】連接BG, SAagc =12份根據(jù)燕尾定理,SA AGC : SABGC二AF ：FB =4:3 =12:9 , SA ABG : SA AGC=BD : DC =4 :3 =16:12得 Sa bgc =9（份），Saabg =16（份），則 $ abc =9+12 +16=37（份），因此邑AGCSA ABC123

27、7S 同理連接AI、CH得一必 Sa abc12 SA BIC1237 SA ABC37,所以包包SA ABC37 -12 -12 -123737三角形ABC的面積是74,所以三角形 GHI的面積是174 = 237【例9】?jī)蓷l線段把三角形分為三個(gè)三角形和一個(gè)四邊形,如圖所示,三個(gè)三角形的面積分別是3,7,7,則陰影四邊形的面積是多少?【解析】方法一：遇到?jīng)]有標(biāo)注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點(diǎn)標(biāo)注字母，方便后面的計(jì)算再看這道題，出現(xiàn)兩個(gè)面積相等且共底的三角形.設(shè)三角形為 ABC , BE和CD交于F ,則BF = FE ,再連結(jié)DE .所以三角形DEF的面積為3.設(shè)三角形ADE的面

28、積為x ,則 x: (3+3)=AD :DB =(x+10):10 ,所以 x=15,四邊形的面積為 18.方法二：設(shè) SA ADF =x , 根據(jù)燕尾定理 SA ABF : SA BFC _SAAFE : SA EFC ，得到SA AEF = x+3 ,再根據(jù)向右下飛的燕子，有(x+3+7):7=x:3 ,解得x=7.5四邊形的面積為7.5+7.5 + 3=18【鞏固】右圖的大三角形被分成5個(gè)小三角形，其中 4個(gè)的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么，陰影三角形的面積是.【解析】方法一：整個(gè)題目讀完，我們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何與邊長(zhǎng)相關(guān)的條件，也沒(méi)有任何與高或者垂直有關(guān)系的字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三

29、角形面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個(gè)比例關(guān)系：2:隨影=(1 +3):4 ,解得 隨影=2.方法二：回顧下燕尾定理，有 2:(S陰影+4)=1:3,解得 時(shí)影=2.【例10 如圖，三角形 ABC被分成6個(gè)三角形，已知其中 4個(gè)三角形的面積，問(wèn)三角形 ABC的面積是多 、一 3黑(84 + x) =63+-x ,【解析】設(shè)&bof=x,由題意知BD: DC =4:3根據(jù)燕尾定理，得SAABO : SA ACO - SA BDO : SACDO =4:3 所以 SA ACO3再根據(jù) SAabo : SABCO =工AOE : SAcoe ,列萬(wàn)程(84 +x) :(40 +30)

30、 =(63 + x 35) :35 解得 x =564Saaoe : 35 =(56 84) :(40 30)所以 SA aoe =70所以三角形ABC的面積是84 +40+30+35+56+70=315【例11】 三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，求陰影部分 的面積.【解析】 令BE與CD的交點(diǎn)為 M, CD與EF的交點(diǎn)為N,連接AM, BN.在 4ABC 中，根據(jù)燕尾定理，SA ABM :SABCM =AE:CE=1:1 ,SA ACM : SA BCM =AD:BD=1:1 ,所以S»A abmS»A AEM1=S»

31、A AMC2在AEBC中，根據(jù)燕尾定理,Sa ben ： Sacen -BF ：CF =1:1S cen : Sa cbn = ME : MB =1:2設(shè)Sa CEN =1（份），則$BEN =1（份），SA BCN=2（份），Sa BCE = 4 （份），所以因?yàn)锽M : ME =2:1 ,F為BC中點(diǎn),所以所以e_2e21_ 1 eeJe1 11SA BMN - - SA BNESAABC一SAABC , SABFN - SABNC=X 二 一 國(guó) ABC3381222 4811SA BCN =_ SA BCE = SA ABC，SA BNE241s=_ S BCE4JSa一 SA ABC

32、 ）81155時(shí) 影='丘"+8 SAABC = 24 SA ABC 24 父15=3.125 （千方厘米）1=S*A ACM = Sa BCN = _ S*A ABC31一, _ 一一= -Saabm S,所以 BM : ME =2:12【例12】如右圖，4ABC中，G是AC的中點(diǎn)，D、E、F是BC邊上的四等分點(diǎn)， AD與BG交于M,AF與BG交于N ,已知4ABM的面積比四邊形 FCGN的面積大7.2平方厘米，則AABC的面積是 多少平方厘米？【解析】根據(jù)燕尾定理，SA ABM:Sx cbm =AG:GC=1:1 , SA ABM :&ACM =BD :CD=1:

33、3，所以 &abm=& abc；5再根據(jù)燕尾定理，SA ABN ： SA CBN = AG ： GC =1：1 ,所以 SA abn ： S*A FBN = SZ CBN ： SA FBN = 4 ：3 ,所以一 S 142-,25 15AN： NF =4：3,那么一G= M=一,所以 SFCGN= 1 -SAAFC= M& ABC= SAABC.SA AFC 2 4 37.77 42815根據(jù)題意，有ABC SA ABC =7.2 ,可得SA ABC = 336（平萬(wàn)厘米）528【鞏固】（2007年四中分班考試題）如圖,MBC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn) E、F是邊BC

34、的三等分點(diǎn),若MBC的面積為1,那么四邊形CDMF的面積是由于點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F是邊BC的三等分點(diǎn)，如果能求出BN、NM、MD三段的比,CDMF的面積.么 BM =4DM ,4即 BM =BD .5那么所分成的六小塊的面積都可以求出來(lái)，其中當(dāng)然也包括四邊形 連接CM、CN .那么S BMFBMBD空 SBCDBC4 2 14X - X -=5 3 2 15S3邊形 CDMF1 _j4 _7_2 15 30根據(jù)燕尾定理，S&BM：Sacm =BF ：CF=2:1 ,而S&CM=2S&DM, 所以S. ABM = 2S. ACM = 4%dm,那另解：得出SJBM

35、 =2SACM =4S©dM后，可得S式DM11 11 S/ABD =,5:5 2 10貝u S四邊形 CDMF = S ACF 'S ADM3 1030【例13 如圖，三角形 ABC的面積是1, 請(qǐng)寫出這9部分的面積各是多少？BD=DE=EC, CF=FG=GA,三角形 ABC被分成9部分,設(shè)BG與AD交于點(diǎn)P, BG與AE交于點(diǎn)Q, BF與AD交于點(diǎn) M, BF與AE交于點(diǎn)N.連接CP,CQ, CM , CN.根據(jù)燕尾定理，SaABP : SACBPAG :GC =1:2, SA abp :SA acp = BD : CD =1:2,設(shè) SA abp =1（份）,則同理可

36、得,Sa ABQ = ,S/ ABN71右0-，而 Saabg2一,2 1,所以 Saapq = -31 21一，Saaqg =一 353 7 21叵I 理，Sa bpm353Sa BDM1 一,所以21S四邊形PQMN3 35 70,酶邊形NFCE 423 21 4235曉670，_ 11四四邊形GFNQ =一 一3 21421,點(diǎn)D、E是BC邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn) F、G是AC邊的三等分點(diǎn)，那么四連接 CK、CI、CJ .如圖，/ABC的面積為 邊形JKIH的面積是多少?根據(jù)燕尾定理,S. ACK : S.ABK CD : BD 1: 2 , S&bk : S#所以 S&CK :

37、 S&BK : SBK =1:2:4,那么 SCK =BK =AG :CG=1: 2 ,1_1 _- = 一 , S&GK = SACK1 十2 +4 7 s 3 3121SA ABC 1 +2 +2 =5（仿）,所以 SA abp，-2類似分析可得Sagi =-151又 S&BJ : S&BJ _AF : CF _2 :1 , SBJ : S&CJ _ BD : CD 2:1 ,可信 S&CJ =_ 4,1117那 A ,SCGKJ4 2184根據(jù)對(duì)稱性，可知四邊形CEHJ的面積也為 ,那么四邊形JKIH周圍的圖形的面積之和為84172161

38、，一一 一一一，619SCGKJ M2 +Sg +SME = 2.2 + +=-61 ,所以四邊形 JKIH 的面積為 1 二=8415 3 7070 70【例 14】如右圖，面積為 1 的 4ABC 中，BD :DE : EC =1:2:1 , CF : FG:GA = 1:2:1 , AH : HI :IB =1:2:1 ,求陰影部分面積.IG交HF于M , IG交HD于N ,【解析】設(shè)DF交EI于P .連接 AM ,IF AI : AB =3:4 , AF : AC =3:4, ,- Sa fim:SA amf=IH：HA=2, SA fim9SA AIF = SA ABC16:Saai

39、m =FG :GA =2,9c -SA ABC' AH : AI =1:3-SAAHM643 SSA ABC，64. AH : AB =1:4AF: AC 3 : 4 .SAAHF3八同理SA CFD =SA BDH = SA ABC16, , SA FDH3 S=SA ABC167 q=SA ABC1633HM : HF = :=1: 4 ,64 16AI : AB =3: 4, AF : AC =3: 4 , .IF II BC ,又. IF : BC =3: 4,DE :BC =1:2 ,.DE : IF =2:3, DP :PF =2:3同理 HN : ND =2:3，= HM

40、 : HF一SA HMN - - SA HDF =SA ABC10160=1:4 ,HN : HD =2:57同理6個(gè)小陰影三角形的面積均為1607160陰影部分面積616021一80【例15如圖，面積為影部分面積.的三角形ABC中,D、AB、BC、CA的三等分點(diǎn)，求陰I分別是E、F、G、H、【解析】三角形在開會(huì)，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI與CD的交點(diǎn)為 M, AF與CD的交點(diǎn)為N, BI與AF的交點(diǎn)為 P,BI與CE的交點(diǎn)為 Q,連接AM、BN、CP求宅邊形admi ：在ABC中，根據(jù)燕尾定理,Sa abm : Sa cbm = AI : CI =1:2 Saac

41、m : Sa cbm = AD : BD =1:2=1（份）, Sa abc = 4 （份） ,設(shè)SA ABM =1（份），則 SA CBM 二2（彳）, SAACM1c所以 Sa ABM =Sa ACM =-SZ ABC , 所以 Sa ADM41=Sa abm31Sa ABC , Saaim121Sa ABC ,12所以Sh邊形 ADMI=（'）S>A ABC12 121=Sa ABC , 6同理可得另外兩個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是1 ABC面積的6求Se邊形dnpqe :在4ABC中，根據(jù)燕尾定理Sa abn :SA acn =BF :CF =1:2 Sa acn : Sa bcn =AD :BD =1:2,1仆所以 Sa adn =- Sa abn31 1 _11 .Saabc = Saabc，同理 Sabeq = Sa abc372121