數(shù)值分析高斯—勒讓德積分公式

1、高斯一勒讓德積分公式摘要:高斯一勒讓德積分公式可以用較少節(jié)點(diǎn)數(shù)得到高精度的計(jì)算結(jié)果，是現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常運(yùn)用到的數(shù)值積分法。然而，當(dāng)積分區(qū)間較大時(shí)，積分精度并不理想。TheadvantageofGauss-Legendreintegralformulaistendtogethigh-precisioncalculationalresultbyusingfewerGauss-points,reallifeisnowoftenappliednumericalintegrationmethod.Buttheprecisionisnotgoodwhenthelengthofintegralinterv

2、alislonger.關(guān)鍵字:積分計(jì)算，積分公式，高斯一勒讓德積分公式，MATLABKeyword:IntegralCalculation,Integralformula,Gauss-Legendreintegralformula,Matlab引言：眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。微分實(shí)際上是求一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而積分是已知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求這一函數(shù)。所以，微分與積分互為逆運(yùn)算。實(shí)際上，積分還可以分為兩部分。第一種，是單純的積分，也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，稱為不定積分。相對(duì)而言，另一種就是定積分了，之所以稱其為定積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù)。計(jì)算定積分的方法很

3、多，而高斯一勒讓德公式就是其中之一。高斯積分法是精度最高的插值型數(shù)值積分，具有2n+1階精度，并且高斯積分總是穩(wěn)定。而高斯求積系數(shù)，可以由Lagrange多項(xiàng)式插值系數(shù)進(jìn)行積分得到。高斯一勒讓德求積公式是構(gòu)造高精度差值積分的最好方法之一。他是通過(guò)讓節(jié)點(diǎn)和積分系數(shù)待定讓函數(shù)f(x)以此取i=0,1,2.n次多項(xiàng)式使其盡可能多的能夠精確成立來(lái)求出積分節(jié)點(diǎn)和積分系數(shù)。高斯積分的代數(shù)精度是2n-1,而且是最高的。通常運(yùn)用的是(-1,1)的積分節(jié)點(diǎn)和積分系數(shù)，其他積分域是通過(guò)變換x=（b-a）t/2+（a+b）/2變換到-1到1之間積分.現(xiàn)有的方法和理論高斯勒讓德求積公式在高斯求積公式（4.5.1）中，

4、若取權(quán)函數(shù)Q=1,區(qū)間為【一1,則得公式我們知道勒讓德多項(xiàng)式是區(qū)間【T上的正交多項(xiàng)式，因此，勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式（上式）的高斯點(diǎn).形如（上式）的高斯公式特別地稱為高斯-勒讓德求積公式.若取=兀的零點(diǎn)。二°做節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式-1令它對(duì)/=1準(zhǔn)確成立，即可定出4=2.這樣構(gòu)造出的一點(diǎn)高斯勒讓n1一_1P2（X）一©/-1）土德求積公式是中矩形公式.再取2的兩個(gè)零點(diǎn)J3構(gòu)造求積公式令它對(duì)（幻二>'都準(zhǔn)確成立，有+A=2;由此解出二司二1,從而得到兩點(diǎn)高斯勒讓德求積公式三點(diǎn)高斯勒讓德求積公式的形式是/15-T如表列出高斯一勒讓德求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù).咫AW0

5、0.00000002.00000001士0.57735031.00000002土0.77459670.55555560.00000000.88888893土0.86113630.3478548士0.33998100.652145210.90617980.23692694士0.53846930.47862870.00000000.5688889公式(4.5.9)的余項(xiàng)由(4.5.8*!=彳；：3,1：里】小，nw-U這里1是最高項(xiàng)系數(shù)為1的勒讓德多項(xiàng)式，由(3.2.6)及(3.2.7)得當(dāng)同=1時(shí)，有一力尸口）它比辛普森公式余項(xiàng)90還小，且比辛普森公式少算一個(gè)函數(shù)值.當(dāng)積分區(qū)間不是1,1,而是一

6、般的區(qū)間4句時(shí)，只要做變換可將4切化為一1,1,這時(shí)小b-a/1（b-aa+占、|/念=/1£+1di&2122）對(duì)等式右端的積分即可使用高斯-勒讓德求積公式.1.2復(fù)化Gauss-Legendre積公式將被積區(qū)間m等分，記"二穿，外=仆+U=0.1.2.叫作變換j-=y-十與九在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用Gauss-Legendre公式，累加即彳#復(fù)化Gauss-Legendr球積公r，疝=££人/（打）.不妨設(shè)G=±£±+與4則有：Gauss點(diǎn)個(gè)數(shù)“=2時(shí),fa丁)&B當(dāng)£G-+G(3)，Gauss點(diǎn)個(gè)數(shù)

7、時(shí),J：/(x)由公當(dāng)£/(一*)+|<?(0)十一學(xué).總結(jié)復(fù)化Gauss-Legendr冰積過(guò)程如下：1,分割區(qū)間，記錄區(qū)間端點(diǎn)值；2.通過(guò)查表或求解非線性方程組，在所有小區(qū)間上，將Gauss系數(shù)和Gauss點(diǎn)的值代入變量替換后的公式；3,將所有區(qū)間的結(jié)果累加，即得到整個(gè)區(qū)間上的積分近似值.針對(duì)Gauss點(diǎn)個(gè)數(shù)h=2和門(mén)=3的復(fù)化Gauss-Legendre求積公式編寫(xiě)的一個(gè)簡(jiǎn)單的MATLAB函數(shù)compgauss()如下：function=compgauss(a,b,n)%CompositeGaussIntegration%EquationType:n=2,n=3%Code

8、dbyNan.Xiao2010-05-25%Step.1DivideInterval%Step.2Calculate%Step.3SumResultsformatlongf=(x)exp(x).*sin(x);h=(b-a)/n;xk=zeros(n+1,1);xk(1,1)=a;xk(n+1,1)=b;fk1=zeros(n,1);fk2=zeros(n,1);fori=1:n-1xk(i+1,1)=a+h*i;endforj=1:nfk1(j)=f(xk(j)+xk(j+1)/2+(h/2)*(-1/sqrt(3)+.f(xk(j)+xk(j+1)/2+(h/2)*(1/sqrt(3);e

9、ndforr=1:nfk2(r)=(5/9)*f(xk(r)+xk(r+1)/2+(h/2)*(-sqrt(15)/5)+.(8/9)*f(xk(r)+xk(r+1)/2+(h/2)*(0)+.(5/9)*f(xk(r)+xk(r+1)/2+(h/2)*(sqrt(15)/5);endmysum1=h*sum(fk1)/2;mysum2=h*sum(fk2)/2;disp('Resultof2Nodes:')disp(mysum1);disp('Resultof3Nodes:')disp(mysum2);end1.3龍貝格，三點(diǎn)，五點(diǎn)以及變步長(zhǎng)高斯勒讓德求積法以

10、下是關(guān)于龍貝格，三點(diǎn)，五點(diǎn)以及變步長(zhǎng)高斯勒讓德之間精度的相互比較#include<iostream.h>#include<math.h>#include<iomanip.h>#definePrecision10.000000000001definee2.71828183#defineMAXRepeat10doublefunction(doublex)(doubles;s=1/x;returns;doubleRomberg(doublea,doubleb,doublef(doublex)intm,n,k;doubleyMAXRepeat,h,ep,p,xk,s

11、,q;h=b-a;y0=h*(f(a)+f(b)/2.0;/計(jì)算T'1'(h)=1/2(b-a)(f(a)+f(b);m=1;n=1;ep=Precision1+1;while(ep>=Precision1)&&(m<MAXRepeat)(p=0.0;for(k=0;k<n;k+)(xk=a+(k+0.5)*h;p=p+f(xk);p=(y0+h*p)/2.0;/T'm'(h/2),變步長(zhǎng)梯形求積公式s=1.0;for(k=1;k<=m;k+)(s=4.0*s;/pow(4,m)q=(s*p-yk-1)/(s-1.0);y

12、k-1=p;p=q；)ep=fabs(q-ym-1);m=m+1;ym-1=q;n=n+n;/24816h=h/2.0;/二倍分割區(qū)問(wèn)returnq;)doubleThreePointGaussLegendre(doublea,doubleb,doublef(doublex)doublex,w;staticdoubleX3=-sqrt(15)/5.0,0,sqrt(15)/5.0;staticdoubleL3=5/9.0,8/9.0,5/9.0;w=0.0;for(inti=0;i<3;i+)x=(b-a)*Xi+(b+a)/2.0;w=w+f(x)*Li;returnw;doubleF

13、ivePointGaussLegendre(doublea,doubleb,doublef(doublex)doublex,w;staticdoubleX5=-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459;staticdoubleL5=0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0.2369268851);w=0.0;for(inti=0;i<5;i+)x=(b-a)*Xi+(b+a)/2.0;w=w+f(x)*Li;/每一次小區(qū)間利用勒讓德公式計(jì)算的結(jié)果)retu

14、rnw;)doubleFivePointPrecisionGaussLegendre(doublea,doubleb,doublef(doublex)intm,i,j;doubles,p,ep,h,aa,bb,w,x,g;staticdoubleX5=-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459);m=1;h=b-a;s=fabs(0.001*h);p=1.0e+35;ep=Precision1+1;while(ep>=Precision1)&&(fabs(h)>s)g=0.0;for(i=0;i&l

15、t;m;i+)aa=a+i*h;bb=aa+h;w=0.0;for(j=0;j<=4;j+)(x=(bb-aa)*Xj+(bb+aa)/2.0;w=w+f(x)*Lj;)g=g+w;/各個(gè)區(qū)間計(jì)算結(jié)果之和相加)g=g*h/2.0;ep=fabs(g-p)/(1.0+fabs(g);/計(jì)算精度p=g;m=m+1;h=(b-a)/m;/分割區(qū)問(wèn))returng;)main()(doublea,b,s;cout<<”請(qǐng)輸入積分下限：”；cin>>a;cout<<”請(qǐng)輸入積分上限：”；cin>>b;cout<<"ln的真值為：

16、"<<endl;cout<<"1.098612289"<<endl;/*龍貝格求積*/s=Romberg(a,b,function);cout<<"龍貝格求積公式："<<endl;cout<<setiosflags(ios:fixed)<<setprecision(14)<<s<<endl;/*三點(diǎn)求積公式*/s=ThreePointGaussLegendre(a,b,function);cout<<”三點(diǎn)求積公式:"

17、;<<endl;cout<<setiosflags(ios:fixed)<<setprecision(14)<<s<<endl;/*五點(diǎn)求積公式*/s=FivePointGaussLegendre(a,b,function);cout<<”五點(diǎn)求積公式"<<endl;cout<<setiosflags(ios:fixed)<<setprecision(14)<<s<<endl;s=FivePointPrecisionGaussLegendre(a,b,f

18、unction);cout<<"控制精度五點(diǎn)求積公式"<<endl;cout<<setiosflags(ios:fixed)<<setprecision(14)<<s<<endl;return0;.高斯一勒讓德求積的程序三點(diǎn)高斯勒讓德公式的代碼functiongl=f(str,a,b)x=zeros(3,1);y=zeros(3,1);x(1)=-sqrt(15)/5;x(2)=0;x(3)=sqrt(15)/5;fori=1:3t=(b-a)/2*x(i)+(a+b)/2;y(i)=eval(str)

19、;%exp(t)*sin(t);%此處為求積的函數(shù),t為自變量endgl=5/9*y(1)+8/9*y(2)+5/9*y(3);上面的代碼保存為f.m文件，調(diào)用的時(shí)候如下f('t*2',-1,1)f('exp(t)*sin(t)',1,3)其中第一個(gè)參數(shù)為求積分的表達(dá)式，第二三個(gè)參數(shù)分別為積分的上下限。高斯-勒讓德數(shù)值積分Matlab代碼functionql,Ak,xk=guasslegendre(fun,a,b,n,tol)ifnargin=1a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;elseifnargin=3n=7;tol=1e-8;elseifnarg

20、in=4tol=1e-8;elseifnargin=2|nargin>5error('TheNumberofInputArgumentsIsWrong!');endsymsxp=sym2poly(diff(xA2-1)A(n+1),n+1)/(2An*factorial(n);tk=roots(p);Ak=zeros(n+1,1);fori=1:n+1xkt=tk;xkt(i)=;pn=poly(xkt);fp=(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i);Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol);%求積系數(shù)endxk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;fun=fcnchk(fun,'vectorize');fx=fun(xk)*(b-a)/2;ql=sum(Ak.*fx);.數(shù)值實(shí)驗(yàn)用4點(diǎn)（n=3）的高斯一一勒讓德求積公式計(jì)算2X7-20cosxdx.、0,T先將區(qū)間2化為T(mén)，1，由（1）bba1baa，bf(x)dx=f(1)dt'2-22.(1)1二32二ui()(1t)cos(1-t)dt有44.根據(jù)表4-7中n=3的節(jié)點(diǎn)及系數(shù)值可