有關(guān)定積分問(wèn)題的常見(jiàn)題型解析(全題型)

1、有關(guān)定積分問(wèn)題的常見(jiàn)題型解析題型一利用微積分基本定理求積分例1、求下列定積分：(1)(3x3x+1x(2)卜1(1+4姒(3)卜14一x2分析：根據(jù)求導(dǎo)數(shù)與求原函數(shù)互為逆運(yùn)算，找到被積函數(shù)得一個(gè)原函數(shù)，利用微積分基本公式代入求值。解：(1)因?yàn)閤2x2所以_31i：3x-x1dx=Ix12-x21(2)因?yàn)镴7(1+Vx)=x2十x,1x221=x2x,所以4x1xdx23-x2lx221944_1=45一°6練習(xí)：(1)fa2-x2(2)f244xx2-_a,1b評(píng)注：利用微積分基本定理求定積分ff(x)dx的關(guān)鍵是找出F/(x)=f(x)的函數(shù)F(x)。a如果原函數(shù)不好找，則可以

2、嘗試找出畫(huà)出函數(shù)的圖像，圖像為圓或者三角形則直接求其面積。題型二利用定積分求平面圖形的面積例2如圖，求直線y=2x+3與拋物線y=x2所圍成的圖形面積。分析：從圖形可以看出，所求圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)梯形與一個(gè)曲邊梯形面積的差，進(jìn)而可以用定積分求出面積。為了確定出被積函數(shù)和積分和上、下限，我們需要求出兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。，=2x+3-八一解：由萬(wàn)程組32，可得x1=-1,x2=3。故所求圖形面積為：.y=x3S=fi(2x+3dx-32,2、Axdx=(x+3x)13-x332O評(píng)注：求平面圖形的面積的一般步驟：畫(huà)圖,邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分上、面積和，即各積分的絕對(duì)值之和。

3、并將圖形分割成若干曲邊梯形；對(duì)每個(gè)曲下限；確定被積函數(shù)；求出各曲邊梯形的關(guān)鍵環(huán)節(jié)：認(rèn)定曲邊梯形，選定積分變量；確定被積函數(shù)和積分上下限。知識(shí)小結(jié)：幾種典型的曲邊梯形面積的計(jì)算方法：(1)由三條直線x=a、x=b(avb)、x軸，一條曲線y=f(x)(f(x產(chǎn)0)圍成的曲邊梯形的面積:bS=af(xdx,如圖1。(2)由三條直線x=a、x=b(avb)、x軸，一條曲線y=f(x)(f(x)<0)圍成的曲邊梯形的面積：bs=af(xdx=b一af(xdx,如圖2。(3)由兩條直線x=a、x=b(avb)、兩條曲線y=f(x卜y=g(x)(f(x)>g(x)圍成的平面圖形的面積:S=bJ

4、f(x)-g(xdx,如圖3。ab圖2y=/W題型三解決綜合性問(wèn)題例3、在曲線21y=x2(x>0)上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍的面積為一12試求：(1)切點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)過(guò)切點(diǎn)A的切線方程。分析：設(shè)出切點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫(xiě)出切線方程，然后利用定積分求出所圍成平面圖形的面積，從而確定切點(diǎn)A的坐標(biāo)，使問(wèn)題解決。設(shè)切點(diǎn)a(x0,y0),由y'=2x,過(guò)a點(diǎn)的切線方程為y-y0=2x0(xx0),即y=2x0xx02。令y=0,得x=£。即0(°-,0)。設(shè)由曲線和過(guò)A點(diǎn)的切線及x軸所圍成圖形的面積為S,S=S曲邊aOBSaBC。S曲邊*OB=x>2,13xdx=x13|AB1,一(X0一2),x02=x03,24即:S=1x031x304A'。3*