有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性的線性分析

1、有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性非線性近似分析摘要本文利用微擾法研究質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下圓形軌道的穩(wěn)定性問題。通過對比分析了一階與二階兩種微擾近似條件下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌道的相圖。在引力與距離n次方成反比的有心力場中，影響圓形軌道穩(wěn)定性的因素有幕次n、軌道初始半徑及微擾強(qiáng)度。當(dāng)n趨近于2時,圓形軌道抗擾動能力比較強(qiáng)；當(dāng)n確定時，軌道半徑越大的圓形軌道，所能承受的微擾越小。并從粒子的運(yùn)動方程出發(fā)，利用非線性動力學(xué)的方法分析了行星在有心力場中運(yùn)行軌道的穩(wěn)定性。并指出，當(dāng)粒子在與位置矢量n次方成反比的有心力的作用下，其運(yùn)行軌道的穩(wěn)定條件是n小于三。關(guān)鍵詞：穩(wěn)定性；微擾法；相圖；運(yùn)行軌道NONLINEARANALYSI

2、SONSTABILITYOFACIRCULARORBITINTHECENTRALFORCEFIELDABSTRACTInthispaper,theperturbationmethodisusedtostudythestabilityproblemofamassparticleforcedbyacentralforceinacircularorbit.Bycomparativeanalysis,phasediagramoftheperturbationorbitofmassisperformedundertheconditionsforthefirst-orderandsecond-orderp

3、erturbationapproximations.Inthecentralforcefieldwherethegravityisininverseproportiontonthpowerofthemodulusofsituationvector,Influencefactorsonthestabilityofcircularorbitarepowerindexn,initialorbitradiusandthestrengthoftheperturbation.Whenpowerindexntendsto2,theanti-disturbancecapabilityofthecircular

4、orbitisstrong.Thelargerthecircularorbitradiusis,forthesamepowerindex,thesmallerperturbationtheorbitcanendure.Basedonthebasicmotionequation,thestabilityoftheplanetorbitsincentralforcefieldisstudiedbyusingnonlineardynamicsmethod.Itisindicatedthatthestabilityconditionofplanetorbitsinthecentralforcefiel

5、disthatnissmallerthanthreewhenparticleisforcedbythecentralforcewhichisininverseproportiontonthpowerofsituationvector.Keywords：stability;perturbationmethod;phasediagram;orbitstabilityra至電聲住苗拳探途畛»x-i有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性非線性近似分析目錄1 .前言12 .線性穩(wěn)定性分析和奇點(diǎn)的分類22. 1非線性方程的線性化和線性穩(wěn)定性定理22 .2線性方程的解及其穩(wěn)定性33 .3奇點(diǎn)（定點(diǎn)）的分類44

6、.圓形軌道的穩(wěn)定性53.1圓形軌道的微擾微分方程53.1.1取一階微擾近似53.1.2取二階微擾近似63.2有心力場中圓形軌道的穩(wěn)定性分析73.2.1當(dāng)C1=0時的穩(wěn)定性分析73.2.2當(dāng)C1#0時的穩(wěn)定性分析74.行星軌道的穩(wěn)定性分析125.結(jié)論15參考文獻(xiàn)16致謝17對于現(xiàn)行通用的理論力學(xué)教材中關(guān)于有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性的討論，方法一般分為兩類：第一類用有效勢能法；第二類用比耐公式，然后歸結(jié)為用線性近似方程判別穩(wěn)定性。不管方法如何，這些文獻(xiàn)都未涉及微擾大小對穩(wěn)定性的影響。一般認(rèn)為，當(dāng)初始擾動過大，軌道不可能保持穩(wěn)定。如果當(dāng)圓形軌道取一階微擾近似時的穩(wěn)定性條件是什么？若當(dāng)存在二階微擾時，情

7、況又如何呢？有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性又與哪些因素有關(guān)呢？這些結(jié)論又是否適用于行星軌道呢？本文將利用微擾法研究有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，采用非線性近似，結(jié)合微擾相圖，討論了微擾大小對穩(wěn)定性的影響，并從運(yùn)動方程出發(fā)驗證了此結(jié)論適用于行星軌道。彌補(bǔ)了其他文獻(xiàn)討論上的不足。2線性穩(wěn)定性分析和奇點(diǎn)分類2.1 非線性方程的線性化和線性穩(wěn)定性定理設(shè)X。(i=12,n)為非線性方程Xi=fi(Xj),i,j=1,2，.,n的一個解。為研究此解的穩(wěn)定性，令X表示此解附近的另一解：(2.1)為:/i(t)Xi0(t)稱為參考點(diǎn)或參考解，相應(yīng)的狀態(tài)稱為參考態(tài)，之就是狀態(tài)x(t)對參考態(tài)的偏離。為了分析定點(diǎn)(

8、定態(tài))的穩(wěn)定性及在其鄰域解的表現(xiàn)，通常都是取定點(diǎn)為參考點(diǎn)。將式(2.1)代入方程Xi=fi(Xj),i,j=1,2,.,n(22并實行泰勒展開：fXio(t)i(t)=fi(Xj)=fi(Xj。j)=fi(Xj。)”()j-0(2.3)2、0(-j)表示-j的二次和二次以上無窮小項，下標(biāo)0表示在參考點(diǎn)處取值。由此得:nni='.(/)"一.%"jTCXjjl(方程(2.4)也可寫成矢量形式：式(2.4)中:aij(2.6)式(2.5)中的系數(shù)矩陣(雅克比矩陣)是:1至電聲初苗承蓮“"有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性非線性近似分析/a11a12.a1na21a22a

9、2nlA=1an1an2annj（27方程（2.4）或（2.5）就是非線性方程（2.2）在參考點(diǎn)鄰域的線性化方程。線性穩(wěn)定性定理：如果非線性方程（2.2）的線性化方程（2.4）的定點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則參考點(diǎn)（態(tài)）Xi0是非線性方程的漸進(jìn)穩(wěn)定解；如果線性化方程的定點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則參考態(tài)也是非線性方程的不穩(wěn)定解。(3.(1) 線性方程的解及其穩(wěn)定性為求線性方程（2.4）并分析其解的穩(wěn)定性，先就簡單而形象的n=2情形進(jìn)行研究其結(jié)果不能推廣到多變量的情形。當(dāng)n=2時，方程（2.-1=4、+a12-2-2=a21-1+a22-2,cfaij=（一）0",j=1,2CXj通常方程（2.8）有如下形

10、式的解：占q機(jī)之一七乳110e；21-20CK是下述特征值方程的解：a九a12_n-Oa21a22-九或2九T九+&=0用和T分別表示方程（2.8）系數(shù)矩陣的行列式和跡=4e22-a12a21T=a11+a224)簡化為：(2.11)方程（2.10）有兩個解:T12-4.：2T-T242(2.14)(3.(1) 奇點(diǎn)（定點(diǎn)）的分類還可以根據(jù)和T取值不同從而特征跟取值也不同進(jìn)一步對線性方程（2.4）的解和非線性方程的參考態(tài)定態(tài)或定點(diǎn)（奇點(diǎn)）進(jìn)行分類：2>一4至0情形這時兩個特征根兒和工2都是實的，而且符號相同。這樣的定點(diǎn)（奇點(diǎn)）稱為結(jié)點(diǎn)。T>0時它是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，T<0時

11、是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。凡是九1和九2小于零的奇點(diǎn)，因為指數(shù)為負(fù)的，導(dǎo)致e*趨于零（tTg）,都是穩(wěn)定的，反之是不穩(wěn)定的。-2&a°，t-4A<0（T0）情形這時兩個特征根都是復(fù)數(shù)（7H%）,其虛部表示振蕩過程（e"=cosM+isinH），實部（e''rt）則表示振蕩的振幅。T>0時,%0，振幅按指數(shù)形式增長，解或定點(diǎn)（奇點(diǎn)）便是不穩(wěn)定的；T<0時，<0,振幅按指數(shù)形式衰減，解或定點(diǎn)便是穩(wěn)定的。這樣的定點(diǎn)稱為焦點(diǎn)或螺線極點(diǎn)。因此焦點(diǎn)也有不穩(wěn)定焦點(diǎn)和穩(wěn)定焦點(diǎn)之分：T>0（從而>0）時是不穩(wěn)定焦點(diǎn)，T<0（從而"

12、<0）時是穩(wěn)定焦點(diǎn).T=0q>0情形這時兩特征根都是虛的，從而解是振蕩的，其在相平面上的軌線是一些閉曲線，這時的定點(diǎn)（奇點(diǎn)）稱為中心。Am0情形這時兩特征根都是實的，其中之一是正的，另一是負(fù)的，從而這種奇點(diǎn)在相平面上一個方向是不穩(wěn)定的，另一方向是穩(wěn)定的，相應(yīng)的定點(diǎn)（奇點(diǎn)）稱為鞍點(diǎn)。3圓軌道的穩(wěn)定性圓形軌道的微擾微分方程取一階微擾近似地球繞太陽運(yùn)行的軌道是接近于圓形的橢圓。我們知道，對圓形軌道來講，r或1fu（=1）為常數(shù)。由比耐公小h2u2駕+u=-匚可知，在有心力作用下，對任何質(zhì)點(diǎn)（或r押2；m星體）來講，如投擲（起始）速度的方向垂直于位矢，且滿足（3.1）-F一、一一P=為單位

13、質(zhì)量上mh2P（U）h二u的關(guān)系，則不論其半徑為何，都將作圓形軌道的運(yùn)動，式中所受的吸引力?，F(xiàn)在我們要問，這種圓形軌道是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的？這個問題在物理上是很重要的。因為自然界中微小擾動是經(jīng)常存在的，它將破壞不穩(wěn)定的圓形軌道，只有穩(wěn)定的圓形軌道，才有機(jī)會繼續(xù)下去。令u=u0及h=h0為某一圓形軌道的u和h之值，顯然P(u)3uo(3.2)為了研究擾動，我們令u=uo+Z式中工及其微商均認(rèn)為是很小的微量，把口=山+工代入比耐公示中，得(3.3)Ju。=d2h2uo2即引入微擾后軌道偏差“日）的微分方程把式（3.3）的右邊展為。的幕級數(shù)，得pu。h2uo2puhu。1+(-2)-u。PoP0hu

14、oIP。Uo又因為h2二P0(u0)3u0d2du2式中P=dPdu2T士2十2!Po12P0u。2p0,即P0=h2u3,則整理后為u0P02P03-P0d2PPPo+-2!32u0,下標(biāo)0表示當(dāng)u=u。時所算出來的值。令d-=dudd1u°P0P)(3.6)P012洞2.2一u0P°h4,2u°h)取一階微擾近似決定穩(wěn)定性的方法，線性部分的特征方程=九2+3u°P0(3.7)P0JP0當(dāng)3電包0即皿3時,P0P0解得良為純虛數(shù)，這表明奇點(diǎn)（0,0）為中心。所以取一階微擾近似可以得出Fu曲m3時軌道是穩(wěn)定的。P03.1.2取二階微擾近似現(xiàn)對式（3.5）

15、取二階微擾近似，考慮引力與距離n次方成反比的情況，即I2-則式（3.3）變?yōu)閗2nuPP=-n=ku,貝=n(3.8)d222+C12+C2=0d。22LA式中C1=C2=3-nn-5n6?2u。3.2有心力場中圓形軌道的穩(wěn)定性分析根據(jù)方程（3.8）進(jìn)行如下兩種情況的分析討論當(dāng)Ci=0時的穩(wěn)定性分析當(dāng)Ci=0時，n=2或n=3.方程（3.8）退化為一階微量下的方程.由第3.1.1求解可知當(dāng)n=2時給出穩(wěn)定軌道，當(dāng)n=3時給出不穩(wěn)定軌道.若僅考慮在平方反比引力作用下，即n=2,則C2=1時，微擾偏差氣9）的微分方程變?yōu)閐2du萬+=0(3.9)做出此時的相圖，如圖1所示.從相圖可以看到每條軌線都

16、是封閉的，這表明相應(yīng)的運(yùn)動具有周而復(fù)始的周期性，即在平方反比引力作用下，圓形軌道具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性（圖1）微擾相圖當(dāng)C1#0時的穩(wěn)定性分析當(dāng)C1*0時，令*=工+邑=且+-,式（3.8）可化為2cln-2dxd2xdud2xd2C1X2;C24cldQdQdx八dQ-=二Qd-dxd-dx，代入上式，有(3.10)SI至電聲薛苗李探howlwnmimrLiui*N£icjhu(3.11)Cn其中a=義4cl(n2).對式(3.11)積分，得2n-2QdQC1x2二adx(3.12)2.23_Q=2ax-C1xB13其中B1為積分常數(shù).對式(3.12)分離變量，可得到通積分(3.13)d

17、x=-B2±J2ax-|C1x3+B1原則上通過對式(3.13)的分析可以得到軌道穩(wěn)定性條件.考慮引力與距離n次方成反比的情況，即P=k2un.令f(x)=2ax2C1x3B1=3(n-2)(n-3)3n-3x3uon-2(3.14)則由f(X)=3X2Uon-3Uo=on2(3.15)得f(x)的駐點(diǎn)為X1=UoUo(3.16)f(x)=S3xUo得f"()=253),f"(x2)=2(n3).(1)當(dāng)n<2時的微擾相圖分析當(dāng)n<2時，f“(X1)=2(n-3)<。，f"仇)=-2(n-3)>o,根據(jù)極值的判定法則知f(x)在X

18、1處取得極大值，在用處取得極小值.作出此時式(3.的相圖如圖2所示.(圖2)n<2的相圖圖中A點(diǎn)所在的臨界封閉軌道滿足f(x2)=0,則B130=2n3u02；由f(x103n2-得A點(diǎn)坐標(biāo)Xa=3匕.可以看到，在該軌線內(nèi)部的軌線是封閉的，對應(yīng)穩(wěn)定軌道；而n-2該軌線以外的軌線都是開放的，對應(yīng)不穩(wěn)定軌道.即只有當(dāng)Xa<x<X2時軌道才可能是穩(wěn)定的，由此得到<口<-二曳.n-2n-2(2)當(dāng)2Vn<3時的微擾相圖分析當(dāng)2<n<3時，f"(x)=2(n3)<0,f"(x2)=2(n-3)>0,根據(jù)極值的判定法則知f(x

19、)在Xi處取得極大值，在X2處取得極小值.作出此時式(3.的相圖如圖3所示(圖3)2cn<3時的相圖圖中A'點(diǎn)所在的臨界封閉軌道滿足f(x2)=0,bIZb。：2(n31u；;由f(xA，)=0得3(n-2)A點(diǎn)坐標(biāo)Xa，='.可以看到，在該封閉軌線內(nèi)部，軌道一直是穩(wěn)定的，而該封閉軌n-2線以外的軌道都不再穩(wěn)定O至電聲薛苗李探我A*ttuaqiwLwnnimrLUDMNCiLneu即只有當(dāng)X2<x<Xa時軌道才可能是穩(wěn)定的，由此得到-至七V工n-2n-2(3)當(dāng)n>3時的微擾相圖分析當(dāng)n>3時，f“(xi)=2(n3)>0,f"仇)

20、=-2(n3)<0,根據(jù)極值的判定法則知f(x)在X1處取得極小值，在X2處取得極大值.作出式(3.的相圖如圖4所示.(圖4)n>3的相圖圖中A”點(diǎn)所在的臨界封閉軌線滿足f(%)=0,則B;=B0”=2(n3)2u；;由3(n-2)“*人,)=0得人“點(diǎn)坐標(biāo)*人，=-上曳.可以看到，在該封閉軌線內(nèi)部，軌道一直是穩(wěn)定的,n-2而該封閉軌線以外的軌道都不再穩(wěn)定.即只有當(dāng)XA，<x<X1時軌道才可能是穩(wěn)定的，由此得到-工<<0n-2綜合考慮a#0時的情況，可以定量的得出微擾大小對圓形軌道穩(wěn)定性的影響.即當(dāng)u0聲2u0<-,”2)n2n2(3.19)，一皿&l

21、t;巴<工(2<n<3)n2n2頭-<0(n>3)、n-2時軌道才可能是穩(wěn)定的1至電聲初苗承蓮“Eaui有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性非線性近似分析根據(jù)式(3.19)可以作出微擾臨界值與圓形軌道初始半徑和n的關(guān)系大致如圖5，圖中上下兩曲線間的微擾值范圍即是該圓形軌道穩(wěn)定的必要條件.從圖中可以很容易的看出，當(dāng)n一2時,圓形軌道抗擾動能力比較強(qiáng)；當(dāng)口背離2時，圓形軌道抗擾動能力逐漸減弱，但在n=3時軌道穩(wěn)定性存在突變；對一定的有心力場，即n確定時，一般軌道半徑越大的圓形軌道，所能承受的微擾越小.(圖5)微擾與n值關(guān)系曲線至也聲觸苗李探bowj.wnmimruidmndcmj

22、u.,y。=04行星軌道的穩(wěn)定性分析行星在有心力的作用下繞太陽作穩(wěn)定的軌道運(yùn)動.所謂軌道的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)的初始條件發(fā)生微小變化或系統(tǒng)受到一個短暫擾動時，使系統(tǒng)偏離原軌道r0變?yōu)閞,如果r始終保持在ro附近作微小振動，則這種軌道是穩(wěn)定的.也可從數(shù)學(xué)上證明行星軌道的穩(wěn)定性。接著我們將從粒子的基本運(yùn)動方程出發(fā)，利用非線性動力學(xué)的方法，證明行星在有心力的作用下運(yùn)行軌道的穩(wěn)定性.設(shè)質(zhì)量為m的粒子,在有心力場中所受的力為F=F(r)J,其中F的大小只依賴于r,它的方向與矢徑er的方向一致或相反.若取平面極坐標(biāo)，粒子的運(yùn)動方程為(4.1)mr12rl-0r0其中(4.2)式可以寫為1d2mr1-0rdt因粒

23、子的質(zhì)量m為常量，故上式積分得r2二-h式中h為積分常數(shù).將式(4.4)代入式(3.1)得r-h2r3=F(r)m顯然，式(4.5)是一個二階非線性方程.令*=,丫=,則式(4.5)可化為1_2-3x=y,y=F(x)+hxm若令x=0y=0,則系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為1mh23x0=-JF(x。)一所謂系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是相圖上的一些特殊點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上稱為奇點(diǎn).通過對奇點(diǎn)性質(zhì)的討論，可以了解系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近相軌線的結(jié)構(gòu).在平衡點(diǎn)，系統(tǒng)方程的雅可比矩陣是ex'cy一0,1cycy,|_cx出式中1-F，(x0)-3h2x°4設(shè)雅可比矩陣的本征值和本征函數(shù)分別為m九和1，則有0-,1卜,0九_2-

24、0由此可解得土收=±Rf1x。)3h2xj(4.11)根據(jù)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的定義，只有當(dāng)a<0時，與平衡點(diǎn)對應(yīng)的相軌道才是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的對應(yīng)的運(yùn)動才是實際可觀測的.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的相空間軌道對初值和參量的擾動是不敏感的這樣的平衡點(diǎn)稱為中心點(diǎn)，系統(tǒng)將繞中心點(diǎn)作周期運(yùn)動。設(shè)a父0,由此可得12.4F(x0):二3hx0m我們考慮引力與距離的n次方成反比的情況(n>0),即設(shè)(4.13)k2mF(x)=x由式(4.12)得(4.14)35,3h2x°nk2,1在平衡點(diǎn)處滿足1mI21kmnx0+h21=0,于是得3-nX0h2k21至電聲初苗承蓮“Eaui有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性非線性近似分析將（4.15）代入（4.14）得n<3時才是穩(wěn)定的。故粒子在引力式（4.13）的作用下作軌道運(yùn)動，只有當(dāng)n<3時才是穩(wěn)定的.這與本文第二部分的結(jié)果是