高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù)概念定義域值域教學(xué)方案

1、函數(shù)的概念函數(shù)的定義:設(shè)A, B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f ,使對于集介A中的任意一個(gè)X,在集介B中都有唯一確 定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f : AB為從集合A到集合B的函數(shù)，記作y =f(x), xGA其中x叫自變量，x的取值范闈A叫做函數(shù)y = f(x)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集 合f(X)I XG a (CB)叫做函數(shù)y=f (x)的值域.對函數(shù)概念的理解需注意以下幾點(diǎn)： 函數(shù)首先是兩個(gè)數(shù)集之間建立的對應(yīng)，A、B都是非空數(shù)集，因此定義域(或值域)為空集的函數(shù)不存在。 對于x的每一個(gè)值，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,都有唯一的y值與它對應(yīng)，這種對

2、應(yīng)應(yīng)為數(shù)與數(shù)之間的一一對 應(yīng)或多一對應(yīng) 認(rèn)真理解y = f(x)的含義：y= f(x)是一個(gè)整體，y= f(x)并不表示f與x的乘積，它是一種符號，它可以是 解析式，也町以是圖像，也町以是表格 函數(shù)符y= f(x)表示“y是x的函數(shù)”，有時(shí)簡記作函數(shù)f(x).【例1】判斷卜列對應(yīng)能否表示y是X的函數(shù)：(1) y = |x| ； (2) |y| = x ； (3) y = x3： (4) y2 = x ： (5) y2 + x2 = 1 ： (6) y2 - x2 = 1 o【練1判斷卜列圖象能農(nóng)示函數(shù)圖彖的是()(A)IC)(D)區(qū)間的概念和記號設(shè)a,beR，且ab.我們規(guī)定： 滿足不等式a&

3、lt;x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為a,b： 滿足不等式a<xb的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)； 滿足不等式a<x<b或a<X<b的實(shí)數(shù)x的集介叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為a, b) , (a, b.這里的實(shí)數(shù)a和b叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).在數(shù)軸上，這些區(qū)間都可以用一條以a和b為端點(diǎn)的線段來表示，在圖中，用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)：定義名稱符號數(shù)軸表示x|a<x<b閉區(qū)間a, bab>x|a<x<b)開區(qū)間(a. b)abQ©>(x|a <x<b)

4、左閉右開區(qū)間a, bab >x | a<x<b)左開右閉區(qū)間(a. b)a b>這樣實(shí)數(shù)集R也可用區(qū)間表示為(-s,+s), “ s”讀作“無窮人”，讀作“負(fù)無窮人”，“ + S ”讀作“正無窮 人".還可把滿足x>a» x>a, x<b, x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為a, +s ) , (a, +co ) , (- co , b , (- co, b). 注意:：書寫區(qū)間記號時(shí)： 有完整的區(qū)間外圍記兮(上述四者之一)； 有兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)，且左端點(diǎn)小于右端點(diǎn)： 兩個(gè)端點(diǎn)之間用"，”隔開. 無窮大是一個(gè)符號，不是一個(gè)數(shù)

5、 以“-6 ”或“ + s "為區(qū)間一端時(shí)，這一端必須是小括號?！揪殹吭囉脜^(qū)間表示卞列實(shí)數(shù)集：(1) x|5Wx<6； (2 ) x|x9) ； (3) x| x_l 0 (x|-5 Wx<：2； (4) xI x<-9)U x19<x<20 o函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域函數(shù)的定義域：聞數(shù)的定義域是自變最X的取值范用，它是構(gòu)成函數(shù)的覓要組成部分，如果沒有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域是 使函數(shù)解析式右意義的或使實(shí)際問題有意義的X的取值范鬧函數(shù)y=f(Q的定義域的求法： 若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R： 若f (x)是分式，則函數(shù)的定義域是

6、使分母不等于0的實(shí)數(shù)集： 若f (x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)集合； 若f&)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合； 若f(x)是由實(shí)際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應(yīng)符介實(shí)際問題.如為半徑r與圓面積S的函數(shù)關(guān)系為S=TTr，的定義域?yàn)?r | r>0) f(X)=x°的定義域是xGR | xHO注意：列不等式(組)求兩數(shù)的定義域時(shí)，考慮問題要全面，要耙所有制約自變最取值的條件都找出來。【例1】求下列函數(shù)的定義域： f (x) = : f(x)二 j3x+2 : f (x) = Vx + 1

7、 +.x-22-x【練1】求卜列函數(shù)的定義域：（3） y= Jx+8 + >/3 - x(1) f(x)=-(2) f(x)二返亙x-4x+2表達(dá)式中參數(shù)求法：根據(jù)定義域或其他的條件找到參數(shù)應(yīng)滿足的條件或表達(dá)式，從而求出相應(yīng)參數(shù)的取值范圍?！纠?】若函數(shù)y =廠1ax" 一 ax+ Va的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【練1】已知函& f(x) = yjkx2 6kx+(k4 8)的定義域?yàn)镽.求實(shí)數(shù)k的范闈復(fù)合函數(shù)1復(fù)合函數(shù)定義定義：設(shè)函數(shù)y= f(u), u = g(K),則我們稱y = f(g(x)是由外函數(shù)y= f(u)和內(nèi)函數(shù)u二g(X)復(fù)合而成的復(fù)介函數(shù)其

8、中x被稱為直接變量，u被稱為中間變量。復(fù)介函數(shù)中直接變最x的取值范用叫做復(fù)介函數(shù)的 定義域，中間變量u的取值范闈，即是g(x)的值域，是外函數(shù)丫= F(u)的定義域。設(shè) f(x)=2x-3. g(x)=x2+2,則稱 <g(x) =2(x2+2)-3=2x2+1 (或gf(x) =(2x-3)2+2=4x2-12x+11)為復(fù)合函數(shù)，這 樣把兩個(gè)函數(shù)，或者幾個(gè)函數(shù)套在一起，就稱為復(fù)合函數(shù).做復(fù)介函數(shù)的題目，一定要分清幾個(gè)函數(shù)疊套的關(guān)系，知道什么是真正的自變量.2 定義域問丿復(fù)介函數(shù)的定義域，就是復(fù)介函數(shù)y二f(g(x)中x的取值范|制。題型一、已知F(k)的定義域，求fg(x)的定義域。

9、例1己知函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?0. 1),求f (x2)的定義域.題型二、已知fg(x)«定義域，求f(x)的定義域。例2 f(2x+l)定義域?yàn)?,5求f(x)的定義域。題型三、已知一個(gè)復(fù)合函數(shù)求另一個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域例3己知兩數(shù)f (x+l)的定義域?yàn)橐?, 3,求f (2x2-2)的定義域.【配套練習(xí)】1.若f(x)的定義域?yàn)閤>2,則f(x+3)的定義域?yàn)?設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?, 1,則函數(shù)f(丘一2)的定義域?yàn)?. 已知函數(shù)y=f (x)的定義域?yàn)?, 1,求f (jr-1)的定義域.4. 已知函數(shù)y=f (x-1)的定義域?yàn)?, 1,求f (x)的定義域.

10、5.己知函數(shù)y=f (x-2)的定義域?yàn)?, 2,求y=f (x+3)的定義域函數(shù)的對應(yīng)法則： 對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征，y=f(x)的讓乂是：y就是x在關(guān)系f卜的對應(yīng)值，而f是“對應(yīng)“得以實(shí) 現(xiàn)的方法和途徑如f(X)=3x+4, f表示3倍的自變量加上4, f (8) =3x8+1=28 f(x)與f(a)的區(qū)別f(a)表示f(x)在滬a時(shí)的函數(shù)值，是常量：而f(x)是x的函數(shù)，通常是變量.f (町是f(x)的一個(gè)特殊值。如一 次函數(shù)f(X)=3xM,當(dāng)w8時(shí)，f (8) =3x8+4=28是一個(gè)常量?！纠?1】己知函數(shù) f(X)=3x3-5x+2,求 f(3), f(-V2 ), f

11、 (a+1).函數(shù)的值域：對Py= f(x), xgA,與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xg A)叫做函數(shù) y=f(x)的值域。題型2函數(shù)的值域1. 一次函數(shù)【例1求f（x）=-3x+2,xw-3）的值域2. 二次函數(shù)（配方法）特征：f<x>ax，+bx+c 對策： 先找二次函數(shù)的對稱軸， a、若對稱軸在定義域內(nèi)，y的兩個(gè)最值點(diǎn)分別出現(xiàn)在頂點(diǎn)處及距對稱軸較遠(yuǎn)處b、若對稱軸不在定義域內(nèi)，則將定義域兩端點(diǎn)代入函數(shù)，即得y的兩個(gè)最值點(diǎn) 【例1】求函數(shù)y=x3-2X+5的值域?！纠?2】f(x)=2x2 + 4x-l,XG-3,0)的值域【例 3】f(x)=-2x

12、2 + 4x-l,xe(2的值域?！揪?】函數(shù)f（x） = x+l,xe-1,1,2的值域是 （）A. 0,2,3B. 0 <y<3C. 0,23D. 03【練2】函數(shù)y二3-仮的值域是【練3】f（x） = x2 + 2x+l, xg-2,2的最大值是【練4】函數(shù)y二2- J_x，+4x的值域是（）A. -2,2 B. 1,2 C. 0,2 D. JI, JI【練5】若函數(shù)y=x2-3x-4的定義域?yàn)?,m,值域?yàn)?則m的取值范闈是(4A (0,4Bc |3D 嚴(yán))1 3【練6】若函數(shù)y =-x2-x + 的定義域和值域都是則實(shí)數(shù)b的值為 【練 7】已知函數(shù) f(x)= ax? +

13、 (b-8)x-a-ab,當(dāng)xg(-3,2)時(shí)，f(x)>0,當(dāng) xw(-s)U(2,+s)時(shí)，f(x)<0(1) 求f(X)&XGOj上的值域。(2) 當(dāng)c取何值時(shí)，aF + bx+c<0恒成立。帶參數(shù)的二次函數(shù)：函數(shù)中帶有參數(shù)或定義域里有參數(shù)，均已討論對稱軸在區(qū)間的位置為方向【例1】(1)求函數(shù)f (x) = x2 + ax-l,xe-2,2的值域:【例2】對于二次函數(shù)y =疋+ 4*+3,當(dāng)in<x<m+2時(shí)，求出函數(shù)的最小值?！揪?】已知函數(shù)f(x) = x2 + ax+3 ,當(dāng)xw-2刀時(shí)，f(x) > a恒成立，求a的最小值.【練2】設(shè)函

14、數(shù)f(x) = x2-4x+LxGtt+l,求f(x)的故小值g(t)的解析式.M反比例函數(shù)【例1】求尸2 j2在xw -JL上的值域一3x+43【練1】求y =32x+l在xw -,4上的值域。4.分離常數(shù)法【練】y詩2x+l x35打勾函數(shù)法【例 1 (1) y = x+ 丄.(2) y=x+2 + + 3xx+2【練1】己知x>2,求y=x+丄的最小值為X- 2【練2】求y=2x+ (x23)的值域。x-2【練3】當(dāng)x>-l時(shí)，求f(x)=X 3x + 1的最小值是X + 16.次根式函數(shù)換元法：f (x) = ax+ Vbx+c解題方法：換元法，取t =則將原函數(shù)改寫為二次

15、函數(shù)求值域，記得寫新定義域b【例1】求函數(shù)y =x+>/口的值域。【練1】求函數(shù)求兩數(shù)y =x+2后1的值域7.帶絕對值或分段函數(shù)【例】求函數(shù)y=|x+l| + |x-2|的值域.【練1】求函數(shù)f(x)=|x-2| + |3-x|的值域:【練2】求分段函數(shù)f(x)J"-x(°83)的值域 lx2 + 6x(-2 <x<0)函數(shù)的解析式K待定系數(shù)法【例】(1)己知二次函數(shù)f(x)滿足f(l) = l, f(-l) = 5，圖象過原點(diǎn)，求f(x)；【練1】已知yi= f (x)表示過(0,-2)點(diǎn)的一條直線，ypg(x)表示過(0,0)點(diǎn)的另一條直線，又f g

16、 (x)= gf (x)=3x2,求這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)?！揪?】己知f (/ (x) =2x1.求一次函數(shù)/ (x)【練3】設(shè)次函數(shù)f(©滿足f(x+2)= f(2-x)Jl f(x)=0的兩實(shí)根平方和為10,圖象過點(diǎn)(0,3),求f(x)的解析式。【練巾】 己知b為常數(shù)，若f(x) = X，+ 4x+3，f(x+b)=亍+ 10*+24 ,則b =【練5】已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,且不等式f(x)>-2x的解集為(1,3)。(1) 若方程f(x) + 6a=0有兩個(gè)相等的根，求f(x)的解析式；(2) 若f(x)的最人值為正數(shù)，求a的取值范幗。2、代入法【練 1

17、】己知 f(x) = 3x2+l. g(x) = 2x-l,求 fg(x)和gf(x).【例】己知f(x-b=x' + = ,求換數(shù)f(x)的解析式。 XX*3、配湊法【例】已知f(x+l) =云一2乳，求f(x).【練1】己知f(仮+1) = x+2仮.求f(x+1).【練2】已知f(x+l)=x3 +4換元法【例】己知f(®+l) = 3x,求f(x)的解析式。X【練 1】己知f (x+1) =x2+3x+4,求f (x)【練2】己知f ()=+1，求f(X)X5、構(gòu)造方程法：若己知抽象函數(shù)的表達(dá)式.則常用解方程組消參的方法求出f(x) 【例】己知f(x)滿足2f(x)+

18、f(Z) = 3x,求f(x).X【練1】己知f(x)滿足3f(x)-f(-x) = 2x-l,求f(x)的解析式。【練 2】己知2f(-x) + f(x) = 3x-l,求 f(x) o【配套練習(xí)】1.己知函數(shù) f (x) =4x+3» g(x)=x3 9 求 f f (x) f g (x) > gf (x), gg (x) o2.設(shè)函數(shù) f (x) = 2x+ 3,g(x) = 3x-5 ,求 f (g(x),g(f (x).3己知 f (2x+l) =x2 + x-2 ,求 f(x)的解析式.4已知 f (jr-1) =,-3x+4,求 f (2x-3)的解析式。5.已知

19、 f(2x+l) = x2-2x,求 f(2jl + l)和 f(2V2+3).6. 已知r (卍)"+夕,求f 3的解析式7. 己知函數(shù)f(x)滿足2f(x)+ f(-x)=x2+2x,貝ijf(x)的解析式8已知函數(shù)f(X)是一次函數(shù).且滿足關(guān)系式3/(x+l) 2f (x1) =2才+17,求f(x)的解析式.相同函數(shù)的判定:只有為對應(yīng)法則、定義域、值域.這三要素完全相同時(shí)兩個(gè)函數(shù)才能稱為同一函數(shù). 卜列函數(shù)屮哪個(gè)與函數(shù)y =xJ同一個(gè)函數(shù)？【例 1 】(l)y=(妖；(2)y = V?： (3)y= V?【練1】卜列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()A. f(x) = >/?

20、 , g(x) = (>/x)2C f(x)= V? , g(x) = (/x)2B f(x)=l, g(x) = x°D.f(x) = x+l , g(x) =x2-!x-1【練2】下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()(A) y =| x|,y = V?(B) y = y/x-2 x/x + 2,y = >/x2 -4(D) y=i x|,y = (Vx)2作業(yè)1.求卜列函數(shù)的值域:(2) y - a/-2 - 6x- 52.判斷題：（1）函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)都有定義域中的數(shù)與之對應(yīng)（）（2）函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合；（）（3）定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也

21、就確定；（）（4）若函數(shù)的定義域只有一個(gè)元素，則值域也只有一個(gè)元素：（）（5）對于不同的x, y的值也不同：（）（6）f （a）表示當(dāng)x二a時(shí)，函數(shù)f （x）的值，是一個(gè)常量。（）2. 給出如下 3 個(gè)等式：f(x+y)= f(x)+f(y) ,f(x)+F(y) , f(取)=f(x) f(y)，則函數(shù) f(x)= x2 f(x)=3xf(x)=if(x)=O 都滿足上述3個(gè)等式的是DXA f(x)= x3B f(x)= 3xC f(x)= D f(x) = 06-若函數(shù) y = f (x )的定義域是x| 0 < x < 1則函數(shù) F (x) = f (x+n) + f ( 2

22、 x 4- a ) ( 0 < a < I ) 的定 義域是( A)a1 _ aa1 aA. x|- <x< B. x|-<x<l-a C . x|-a <x<l-a) D. x|-a <x<)2 2 2 23. 函數(shù)f(x) = x2-2x + 3在0,m的最人值為3,瑕小值為2,則實(shí)數(shù)m的取值范開是10.函數(shù)f (x) = -x2 + 4x在>m)的值域是-5,4,貝ijn+m的最大值為7 .4. 坷,冷是關(guān)于x的一元二次方程x2-2(m-l)x+m+l = 0的兩個(gè)實(shí)根，又y =彳+襯，求=f(m)的 解析式及此因數(shù)的定義

23、域5.對于任悲實(shí)數(shù)K,函數(shù)f（x） = （5-a）x-6x4-a4-5恒為正值，求a的取值范國6 己知怖數(shù)f(x) = axr-2ax+3-b(a >0)在1、3有最大值5和最小值2 求a、b的值7設(shè)一個(gè)矩形周長為80.其中一邊長為/求它的面積關(guān)于x的慚數(shù)的解析式并寫出定義域8己知怖數(shù)f (x) = x2 + ax+3 >當(dāng)xg-2,2時(shí).f (x) > a恒成立.求a的最小值.9若函數(shù)f(x)的定義域是0, 1,求fQ-2x)的定義域;10.若f(2x-l)的定義域是-b 1,求函數(shù)f(x)的定義域:11. 己知f(x+3)定義域是-4J),求f(2x-3)定義域.12. 己知f(x) = x2+l,求f(x-l)的解析式13. 己知 f(x-l) = (x+l)2+l> 求 f(x)的解析式14. 己知f(x-l) = x+Z ,求f(x)的解析式X15. 已知 f(x-i) = x2 +求 f(x+l)的解析式XX-16 .己知a、b為常數(shù).若 f(x) = x2 + 4x+3, f(ax+b) = x2+10x+24,則求5a -b 的值17.若二次函數(shù)的圖彖與x軸交于A(-2,0),B(4