河北衡水中學(xué)2021屆全國(guó)高三第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題(含答案和解析)(2020.09)

1、絕密啟用前河北衡水中學(xué)2021屆全國(guó)高三第一次聯(lián)合測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷4頁(yè).總分150分.測(cè)試時(shí)間120分鐘.考前須知：1 .答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在做題卡上2 .答復(fù)選擇題時(shí),選出每題答案后,用鉛箔把做題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).問(wèn)答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在做題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效3 .測(cè)試結(jié)束后,將本試卷和做題卡一并交回.一、選擇題:此題共8小題,每題5分,共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符題目要求的.1 .設(shè)集合,=x|x2-4x+3<0,8=«£2|1<%<5,那么08

2、=A.2B.3C.2,3D.1232 .假設(shè)復(fù)數(shù)z=l-i,那么|工卜1-zA.lB.V2C.2>/2D.43 .某班級(jí)要從6名男生、3名女生中選派6人參加社區(qū)宣傳活動(dòng),如果要求至少有2名女生參加,那么不同的選派方案種數(shù)為A.19B.38C.55D.654 .數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,稱為斐波那契數(shù)列,是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他撰寫(xiě)的?算盤(pán)全書(shū)?中提出的,該數(shù)列的特點(diǎn)是:從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和在該數(shù)列的前2021項(xiàng)中,偶數(shù)的個(gè)數(shù)為A.505B.673C.674D.10105 .非零向量.,力滿足|.|=|川,且|"+b|=|2

3、a-b|,那么.與b的夾角為A.-ttB.-C.-D.-32366.為加快新冠肺炎檢測(cè)效率,某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取合并檢測(cè)法,即將多人的拭子樣本合并檢測(cè),假設(shè)為陰性,那么可以確定所有樣本都是陰性的,假設(shè)為陽(yáng)性,那么還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測(cè).現(xiàn)對(duì)20名密切接觸者的拭子樣本進(jìn)行合并檢測(cè),每份樣本的檢測(cè)結(jié)果是陰性還是陽(yáng)性都是相1 /4互獨(dú)立的,每人檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為p,旦檢測(cè)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為20,那么p的值為1-L2011B.1-()21201±C.1-()202111D.1-()21217 .未成年男性的體理G(單位:kg)與身高(單位:cm)的關(guān)系可用指數(shù)模型G“常來(lái)描述,根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)

4、計(jì)計(jì)算得到"2.004,5=0.0197.現(xiàn)有一名未成年男性身高為110cm,體里為17.5kg,預(yù)測(cè)當(dāng)他體重為35kg時(shí),身高約為Qn2力.69)A. 155cmB. 150cmC. 145cmD. 135cm8 .正方體ABCD-4BCR的棱長(zhǎng)為2,M為CG的中點(diǎn),點(diǎn)N在側(cè)面ADDA內(nèi),假設(shè)14N.那么48N面積的最小值為A.B.C.1D.555二、選擇題:此題共4小題,每題5分,共20分.在每題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得.分,局部選對(duì)的得3分.9 .cos(a+二)=',貝!Jsin(2a,n)=24八12-12八24A.B.C.D.

5、2525252510 .拋物線C:/=4x,焦點(diǎn)為F,過(guò)焦點(diǎn)的直線/拋物線C相交于人為,乂),B(x2fy2)兩點(diǎn),那么以下說(shuō)法一定正確的選項(xiàng)是A.MB|的最小值為2B.線段四為直徑的圓與直線x=相切C.不聲為定值D.假設(shè)M(-1,0),11 ./(x)是定義在R上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱,那么A./(x+4)=/(x)B./(x)在區(qū)間(-2,0)上單調(diào)遞增C.f(x)有最大值D.x)=sin號(hào)是滿足條件的一個(gè)函數(shù)12 .假設(shè)存在實(shí)數(shù)匕對(duì)任意的(o,s,不等式(2x-V_41一_幻0恒成立,那么S的值可以為小-1V?+13-乖3+小A.B.C.D.2222三、填空題:此題共4小題,

6、每題5分,共20分.13 .£,外為雙曲線x?-=1的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上一點(diǎn),且|P用=21P6|那么尸耳鳥(niǎo)的面積為.14 .實(shí)數(shù)."ea+oo,且滿足工-與In2,那么*6,而的大小關(guān)系是cTba15 .數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題有ABCQ四個(gè)選項(xiàng),在給出選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分,局部選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的不得分.某道數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題正確答案為B,D,小明同學(xué)不會(huì)做這道題目,他隨機(jī)地填涂了至少一個(gè)選項(xiàng),那么他能得分的概率為.16 .在三棱維一彳8.中,PA=4,48=3,二面角P-48-C的大小為30.,在側(cè)面2PAB內(nèi)含邊界有一動(dòng)點(diǎn)M,滿足Af到PA的距離

7、與M到平面ABC的距離相等,那么的軌跡的長(zhǎng)度為.四、解做題:此題共6小題,共70分.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證實(shí)過(guò)程或演算步驟.10分在對(duì)任意1,滿足S川+Si=2+1,S川一2=S,+勺S=M用一心+1這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.問(wèn)題：己知數(shù)列4的前項(xiàng)和為S,詼=4,假設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列,求數(shù)列凡的通項(xiàng)公式;假設(shè)數(shù)列4不一定是等差數(shù)列,說(shuō)明理由.注:如果選擇多個(gè)條件分別作答,那么按第一個(gè)解答計(jì)分18. 12分振華大型電子廠為了解每位工人每天制造某種電子產(chǎn)品的件數(shù),記錄了某天所有工人每人的制造件數(shù),并對(duì)其進(jìn)行了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：制造電子產(chǎn)品的件數(shù)40,50)50,60)

8、60,70)70,80)80,90)90J00工人數(shù)1311X41假設(shè)去掉70,80內(nèi)的所有數(shù)據(jù),那么件數(shù)的平均數(shù)減少2到3即大于等于2,且小于3,試求樣本中制造電子產(chǎn)品的件數(shù)在70,80的人數(shù)x的取值范圍；同一區(qū)間數(shù)據(jù)用該組區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表假設(shè)電子廠共有工人1500人,且每位工人制造電子產(chǎn)品的件數(shù)XN70產(chǎn),試估計(jì)制造電子產(chǎn)品件數(shù)小于等于48件的工人的人數(shù).附:假設(shè)XNn,£,那么P一.xW+cr=0.681P-2.xW+2.=0.9619. 12分如圖,在四邊形ABCD中,力C與8£)相交于點(diǎn)0,OBsin"BD=ODsinZADB乙4BC,AB=3BC

9、=3.3求sinNZMC;2假設(shè)ZADC=y,求四邊形ABCD的面積.20. (12分)如圖,在四棱錐尸-中,底面ABCD為菱形,平面PAC,底面ABCD,PA=PC=AC.(1)證實(shí)：4C1PB.(2)假設(shè)PB與底面所成的角為45.,求二面角B-PC-A的余弦值.2L12分知橢圓C的焦點(diǎn)在五軸上,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),離心率為理(D求橢覬C的標(biāo)準(zhǔn)方程;動(dòng)直線/與圓.:丁+必=1相切于點(diǎn)“,與橢圓.相交于力,6兩點(diǎn),線段池的中點(diǎn)為D,求OWQ面積的最大值,并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo).22.(12分)函數(shù)/(x)=-xhixe(1)求函數(shù)y=/(x)在x=l處的切線方程證實(shí)：(i)/(x)<2；(

10、ii)意wN*,廣|<(2n-ln/)w.隅；專(zhuān)專(zhuān)詈案及解析河北衡水中學(xué)2021屆全國(guó)高三第一次聯(lián)合測(cè)試數(shù)學(xué)9.AD【解析】sinpa-1-sin(2a+-|-穴)11.AD【解析】由,工是定義在R上的奇函數(shù)得八工=一/一"3圖象關(guān)于直找X=1對(duì)稱可得/一工=/2+工所B/2+x=-/<x>/l+上=-/2+i=/J故A正確；無(wú)法判斷單訓(xùn)性故B.C錯(cuò)誤:/Cr=4n5是奇函數(shù)旦/2-工=/Q,故D正確.一、選擇題1. C【解析】由于A-i|小一41+340>14工?3.8=2,3,4,所以A=2,3.Ii2. B【解析】IIIt=l一i,得六=一=-l-i那么

11、1-CI=-,-i3. D【解析】至少有2名女生參加包括2名女生4名男生與3名女生3名51生兩種情況所以不同選派方案種數(shù)為C；C：+C：CJ=65.I.B【解析】山斐波那奧數(shù)列的特點(diǎn),可得此數(shù)列只有第3A«W、項(xiàng)為偶數(shù)所以前2020項(xiàng)中偶數(shù)的個(gè)效為673.5. C【解析】設(shè).與b的夾角為0由In+川=12.-bl將ab=所以cosJ=；'所以d=g/laIIpIL36. A【解析】假設(shè)合并檢測(cè)檢測(cè)次數(shù)取值為1,21,對(duì)應(yīng)的概率分別為.一.產(chǎn)1一?1一產(chǎn),較學(xué)期里為IX1-少產(chǎn)+21口一1一戶戶】由2O-1X1-1O+2111?1一?產(chǎn),解得戶=1-閡,.7. C【解析】將工1

12、10,6175代人.2004/川f!117.5-2.OOlenoIMx,l°,將G-35代人62.00,Wmi得35-2.OOieowfM.由/得2即0.0197x-110=In2.Wf!8. B【解析】如圖.取DDi的中點(diǎn)為M'易加AM'BM點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),那么在正方形AA.DiD中,A/1AM',CPAiAlBM.所以,點(diǎn)N的軌跡為線段AJ,.易知A8N為直向三角形.當(dāng)NALAd時(shí).n/c-NA取最小值為爭(zhēng)此時(shí)AABN面積最小最小值O二選擇題-2sin(a+/)cw(q+(").由于CO5以§in(a+5).±卷所以*in(

13、2ak)士得.10.BCD【解析】拋物紋C：/=4,的焦點(diǎn)坐標(biāo)為1.0,麻線方程為I=一】過(guò)焦點(diǎn)的弦中通往最短所以1八8|最小值為2戶=4故A不正確,如圖,設(shè)線段AB中點(diǎn)為D過(guò)點(diǎn).作準(zhǔn)紋的垂線垂足分別為Ai,Bi,Di,由拋物線定義可知IAAiI-IAFMBB.IIBFL所映|DDJ?所以以線段AB為真徑的網(wǎng)與真線,=-1相切故B正確：設(shè)AB所在四線的方程為工=+1,由/工=+1消去工,得y'一4"y-4=0,所以yi=一4皿八=,刀*一1故C正確,乂yi=4y扎»5+1)+%5+1)+A"7TH+J7+1=-5+D5+D-Ji(nyt+2)+%(,Ui+

14、2)2/iyyt+2(i+*)一,一-0,(xi4"l)Crt+l)(xi+IXX2+I)D正確.】2.ABC【解析】不等式2I一工一,1-II&0可化為1一,一工一1?1一八一工,0,同您轉(zhuǎn)化為,存在實(shí)數(shù),使得在區(qū)間0“上函數(shù)3=/一1戶與函數(shù)了=工的圖象恒在直線y=l一,的兩他如圖畫(huà)出函數(shù)y=1一1尸與函數(shù)3=1的圖象.y=l,與y=工一1圖象的右邊交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為耳匚.故在區(qū)間0.上3上.函數(shù)y=Cr-l與函效,="的圖象M在直線3=1-,的兩解,所以實(shí)數(shù)§的取值范用為0,誓1即選項(xiàng)ABC符合M意.三、埴空題13.4【解析】由題意相|PF"=

15、2|FJ又IPF.I-1.瑪|-2.所聯(lián)|尸巴|-4/修|-2.又|刊入|275Jr以IPEP+IPF,P=IF,F?P,所以NHPFL方所以Ser/IPF.IIPFJ=4.H.aVabb【解析】由/一/必£得g+Ina點(diǎn)+ln6設(shè)/工+,那么,'工21一2了=-一.當(dāng)6笈.+8時(shí)./'0./*在區(qū)間存+8上年調(diào)遞增故.所以a依a15. j【解析】隨機(jī)地域涂了至少一個(gè)選項(xiàng)共有C：+0C+C；+C=15種涂法.得分的涂法為3種.故他能得分的概率為4.16. 當(dāng)【斛折】如圖.過(guò)M作MNJ_PA于NMO_L平而ABC于O過(guò)O作QQ_LA3于Q連接A7Q那么NMQO為二面角P

16、AH-C的平面"I,由N.MQO30,得MQ=2MO.又MO=MN.所以MQ=2MN,在PA3中.以AB所在直線為“WI.AP所在直線為3,軸建立平面直角坐標(biāo)系,那么宜線AM的i程為y=2x.fi.tiPB的方程為41+3,-12=0所以出紋AM與PH的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以M的軌跡四、解做題17.解：選擇條件：閃為對(duì)任意,】5W、.滿足Sh+S.t=2S+1.所以S.|-S.=S-St+2.4分所以*一“二2.6分由于無(wú)法瑜定力的值.所以八一批不一定等于2.所以數(shù)列不一定是等差數(shù)列.10分選擇條件,illS“|-2=S.+a得S.1-S.-%=2即a“i=2.£N'.6分

17、乂火為心=4所以町=2.所以數(shù)列%是等差數(shù)列其公差為2.8分因此數(shù)列腐.的通項(xiàng)公式為.=2.10分選界條件,閃為St=a.|一勿+13所以Sw-i=-la.一一92分兩式相減得mi.一一】a.一2即a.j6=2儲(chǔ),2.6分又S1=.2-29即uT-d=2»所以a.1-a.=2WN,乂.2=4,.一=2所以2.所以數(shù)列是以2為百項(xiàng).2為公心的等洋數(shù)列,8分所以.=2+2“-1=2.10分18 .解：1由密理,當(dāng)=0時(shí)計(jì)算其他數(shù)據(jù)的平均數(shù)為-X45XI+55X7+65X11+85X9+95X2-70,故原平均數(shù)應(yīng)滿足71W弋乎iV72.3分30十工用得7.5<x<20.xZ.

18、所以件數(shù)在70.80的人數(shù)的取值范畫(huà)為84IV20.xEZ.6分2由于件數(shù)XN7010'.所以PX50<1-0.96Xy=0.02>9分所以估計(jì)I500人中每天制造產(chǎn)品件數(shù)小于等于50的人數(shù)為0.02X1500-30.112分19 .解：1在ZXABC中NABC=gA3=3,BC=l,由余弦定理得AC1=Alf:+HC2-2AHXIiCXcosZ4/iC-3:4-l2-2X3XlXy-7,所以AC=b.2分由正弦定理得;囪1 /ns«CsinZABC2歷二八、sinZBAC-it；-n-.4分AC"14在AOR中,由正弦定理得一寸=七號(hào)而.5inHACs

19、inNAI即Oli3inZ4BD-O/MNBAC,同叫在/£"中.ODsinZADB=OA$hNDAC.又由于OBsinZzlBD=ODMnZrlDB.所以O(shè)AsinZBAC-O4sinZDAC.所以sin/DAC=sii】NHAC=-77.6分2在ADC中,由正弦定理得白3寸=,»nZ.DACsinZ/A/X即所以CD=L8分721叵TFT.人八.AD2+CD'-AC2又由余弦定理得cokNADC=2ADCD,即一;.嗎:A二7.解得AD=2.10分Sn心也3P.Sax+S»ncXADXACXsinZDAC+yABXACXsinZBAC=yAC

20、XsinNDACXAD+AB-T-12分420 .1證實(shí)：連接小,交AC于O,由于底面八BCD為菱形.所以ALBD.I分內(nèi)為PA=C,O為AC的中點(diǎn),所以人CJ.P52分又川nPO=O,3DU平面PBD.POU平面PHD.所以AUL平面PHD.4分乂P3U平面PHD.所以AC±Pli.5分2斛：由于PA=PCO為AC的中點(diǎn).所以POLAC.乂平胤,八C1底前ABC",平而PACD底向AllCDAC.POU平面PAC.所以ABCD.所以出.OC.OP兩兩垂憶6分以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)分別以O(shè)B.OCOP所在直線為“y軸,建立如下圖空間直角坐標(biāo)系.-5/,與底而所成的角即為NPBO-4

21、5.所以O(shè)B=OP.諛OP=V3MX：=1.OH=73,所以B73.O.O,CO,1.O.PO,O.V3.AO>-KO,7JF=->/3,0.73.BC=-V3.1.0.7分設(shè)平面山,C的一個(gè)法向fit為那么,俞=0；1一".+癢=0.|/>/3?-0.-TTn+jO,令11得nl行,139分乂平面APC的一個(gè)法向員為m=Ga00?10分ftjp./內(nèi)內(nèi)7375所以cos<mn>-1rr=一一二丁.ImHnl75XV35又由于二面角aPCA為我角.所以二面角iP&A的余弦值為咯.12分O21 .解：1沒(méi)擁陰C的標(biāo)準(zhǔn)方程為彳+冬=1a>>0ab由題意得,6-1,工當(dāng).閃為/=所+/.(2分)所以所以膈1時(shí)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(十力=1.(4分)(2)設(shè)動(dòng)直線I的方程為I=<y+(加#0).由直線,與陰.相切得-J4J=1即M=,M+】.(5分)x-9ny+illrl得("1+4)y'+2r,<y+,產(chǎn)-4=0,+y:=1其中4(/+4)04)16(