隨機過程第十一講平穩(wěn)

1、1 二階矩過程的定義和基本性質(zhì) 定義設(shè)有隨機過程設(shè)有隨機過程 ，若對每個，若對每個 的的均值和方差都存在，則稱為二階矩過程。均值和方差都存在，則稱為二階矩過程。由于二階矩過程的均值是存在的，即均值函數(shù)是一時間的確定性函數(shù)。如果從中減去得到另一隨機過程，則 的二階矩也是存在的，即也是二階矩過程。之間僅相差一個均值函數(shù)。的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)是相同的, 的自協(xié)方差函數(shù)即為 的自相關(guān)函數(shù).因此，今后為了討論簡便起見，一般都假定二階矩過程的均值都為零根據(jù)許瓦茲不等式可以證明二階矩過程的自協(xié)方差函數(shù)總是存在的 Ttt, Ttt, tTt, t ttE t t ttt ttE, 0t tt和t tt

2、121122ov,Ectttttt 22121122cov,ttttttE 222211EEtttt 2111EDttt 2222EDttt 12cov,tt 而故即二階矩過程的自協(xié)方差函數(shù)總是存在的，那么二階矩過程的自相關(guān)函數(shù)也總是存在的。 二階矩過程的自相關(guān)函數(shù)具有下列二個性質(zhì)： Ttt,定理一 設(shè)有二階矩過程),(21ttR為它的相關(guān)函數(shù)，則),(21ttR21,t tRTtt21,)(,(),(2121ttttRE證ttE22ttR12,ttRttR2112,即若 （t）是一實二階矩隨機過程，則ttRttR1221,即實二階矩隨機過程的自相關(guān)函數(shù)是對稱的。定理二 二階矩過程的自相關(guān)函數(shù)

3、 ttR21,具有非負定性，即對于任意有限個有，個復(fù)數(shù)和任意的nnnTtttt21321,nknmmkmkttR110,其中n為任意正整數(shù).證nknmmkmkttR11, nknmmkmkttE11 nknmmmkkttE11 nmmmnkkkttE11即nknmmkmkttR110,上述不等式可用矩陣形式表示之:n,21ttRttRttRttRttRttRttRttRttRnnnnnn,212221212111021n或0,2121nmknttR即0,ttRmkn，為一行矩陣21 2 平穩(wěn)隨機過程 所謂平穩(wěn)隨機過程,粗劣的說,指的是它的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而改變.它的嚴格定義如下:定義 設(shè)

4、有隨機過程 Ttt, 2 , 1,321niTtttttin若對于任意n和人已選定的 Rxxxn121,以及任意值且tttxxxFtttxxxFnnnn,;,;,21212121則稱該過程為嚴平穩(wěn)隨機過程.其中是n維分布函數(shù),n是任意的.該定義說明,當取樣點在時間軸上作任意平移時隨機過程的所有有限維分布函數(shù)是不變的。有 F或txtxFF;該定義說明,當取樣點在時間軸上作任意平移時隨機過程的所有有限維分布函數(shù)是不變的。 xtxFFt,由定義可知，嚴平穩(wěn)過程的所有一維分布函數(shù)是與t無關(guān)的，即ttxff;平穩(wěn)隨機過程的二維分布函數(shù)為ttxxFttxxF21212121,;,;,ttxxFttxxFt

5、txxF122121212121, 0 ;,;,;,本身的函數(shù)。和再是函數(shù)，而不維分布函數(shù)僅是時間差即嚴平穩(wěn)隨機過程的二tttt2112過程的定義相類似。平穩(wěn)其平穩(wěn)性的定義完全和對于隨機序列, 3 , 2 , 1;nnt1若在上式中令得一般說，當產(chǎn)生隨機現(xiàn)的一切主要條件看不隨時間的推移而改變時，我們常可以把這類過程看作為平穩(wěn)的。例如， 起電路中的噪聲電壓，由于產(chǎn)生這過程的主要條件不隨時間的推移而改變，這一隨機過程就是平穩(wěn)隨機過程。許多領(lǐng)域如通信，自動控制等方面所遇的過程有很多可以認為是平穩(wěn)隨機過程。 在電子中散彈效應(yīng) 引如果上述定義中的平穩(wěn)隨機條件不是全部滿足，即不是對任意n都滿足，而只是對k

6、滿足時，tttxxxFttttkkikkiT,;, 2 , 1,212121值有和任意的則對任意選擇的tttxxxFkk,;,2121而對于nk時其平穩(wěn)條件就不再滿足，則稱它為k級平穩(wěn)的隨機過程。那么當nk時都滿足平穩(wěn)的條件。 嚴平穩(wěn)過程或二級平穩(wěn)過程如果它又是二階矩過程，則該過程的均值函數(shù)為常數(shù)，而不是時間的函數(shù)，即 ttEtxxdF; 常數(shù)xxdtxxdFF;當然，如果過程為k級平穩(wěn)該過程的相關(guān)函數(shù)僅是時間差tt12的函數(shù)，而不再是本身的函數(shù)，和tt21 ttRttRttxxFxxd1212122121, 0 ;,其中即 ttxxFxxtttRdE2121212121,;,由于用分布函數(shù)研

7、究隨機過程往往比較復(fù)雜，所以一般只研究 過程的階矩、二階矩。所謂隨機過程的相關(guān)理論就是研究僅與過程的一階矩，二 和一個變量tt12二階矩是不能代替當然，僅研究一階矩、的函數(shù) .R階矩有關(guān)性質(zhì)的理論。在平穩(wěn)過程的相關(guān)理論中出現(xiàn)的特征數(shù)僅常數(shù) 性質(zhì)的研究的。對整個t 定義 設(shè)有一個二階矩隨機過程 Ttt,，它的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)tt12的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機過程或廣義平穩(wěn)隨機過程。對于嚴平穩(wěn)過程或二級平穩(wěn)過程而且又是二階矩過程已經(jīng)得到了上述兩個重要結(jié)論。但是僅僅有一個隨機過程的均值為常數(shù)、相關(guān)函數(shù)是 ，相關(guān)理論不能代替對于整個的性質(zhì)的研究，但相關(guān)理論也能解決許多應(yīng)用中的一些問題。對于其它平穩(wěn)

8、隨機過程 t t的函數(shù)還不能充分說明它符合平穩(wěn)的條件。為此引入另一種平穩(wěn)隨機過程的定義。tt12為了區(qū)別起見第一個定義所指的過程稱為嚴平穩(wěn)過程，第二個定義所指的過稱為寬平穩(wěn)過程。對于正態(tài)分布的平穩(wěn)過程，嚴平穩(wěn)就是寬平穩(wěn)，寬平穩(wěn)也就是嚴平穩(wěn)，這是因為正態(tài)分布的相關(guān)函數(shù)已經(jīng)充分說明了它的概率密度；另一方面正態(tài)分布過程的二階矩總是存在的。對于其它嚴平穩(wěn)隨機過程，只有當它的二階矩存在時才是平穩(wěn)的；而一個過程是寬平穩(wěn)時，還不能說明它是嚴平穩(wěn)的。今后講到平穩(wěn)過程時，總是指復(fù)寬平穩(wěn)隨機過程；而說到過程為嚴平穩(wěn)時，則將特別說明之。3 寬平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)和舉例寬平穩(wěn)隨機過程是一個二階矩過程，它具有下列性質(zhì)：對

9、于實寬平穩(wěn)過程 RR即自相關(guān)函數(shù)是的偶函數(shù)。性質(zhì)二 20 R為過程的數(shù)學(xué)期望值，即均值。性質(zhì)一 RRttRttR或2112tt12證 ttER0 2ttE 2tD 02tEtD而故 20 R性質(zhì)三 0RR 0CC證 根據(jù)許瓦茲不等式有 ttEttE22 ttEE22故 022RR 即 0RR同理可得 0CC它表明自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)的絕對值都在n處取最大值。這里并不排除在0處也可以取最大值。如隨機相位的正弦波過程cos22A，當 , 2, 1, 0,kk時相關(guān)函數(shù)的的相關(guān)函數(shù)為絕對值均取最大值。性質(zhì)四 相關(guān)函數(shù) R具有非負定性，即對于任意自然數(shù)n，任意n個復(fù)數(shù)n,21以及任意n 個實數(shù)tt

10、tn,21有ninkkikinnnnnnnnttRttRttRttRttRttRttRttRttRttR1121212221212111210,性質(zhì)一、四是從1中定理一、定理二獲得的。例一 熱噪聲的取樣觀察值為 nnn, 2, 1, 0,是一隨機序列， n相互獨立； （2） 分布。是2, 0Nn求它的均值和相關(guān)函數(shù)。解 0nEn 2nD 0nmnE0m 2nmnE(m=0) 它具有下列性質(zhì)：（1）故 0002mmmR該例中相關(guān)函數(shù)只和m有關(guān)而與n無關(guān)，且均值為常數(shù)，故它是一平穩(wěn)隨機序列，而且是嚴平穩(wěn)序列。例二 第一章所討論的正弦波隨機過程為平穩(wěn)隨機過程。例三 第一章所討論的隨機電報信號中均值為

11、 常數(shù)21tE相關(guān)函數(shù)為 eR2141其中 tt12協(xié)方差函數(shù)為 eC241故它是平穩(wěn)隨機過程，而且實的平穩(wěn)過程。相關(guān)函數(shù)在0為最大， R是偶函數(shù)。例四 滑動平均設(shè) , 2, 1, 0;nn是標準不相關(guān)序列，即 0nE 01mnmnmnE則 snnnnaaas110也是平穩(wěn)序列。其中 aaas,20是復(fù)數(shù)序列。解 sksikinkmnEnmnEa00 siskikinkmnEaa00smkskmkkaa00因此的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)僅與m有關(guān)而與n無關(guān)，故 n也是平穩(wěn)隨即序列。 n 例五 設(shè), 2 , 1,kk為隨機變量， ,0, 0kiEEkik若有, 2 , 1,kk是兩兩不相等的實數(shù)串，

12、 iktikkektkE則,12為一平穩(wěn)隨機過程，且是具有離 解 0kE02bkkkkEE且散譜的過程。 0tE 11kijiikeeikEttE11kitjtjikeeikE111kjkjtjkiikebeekikE故相關(guān)函數(shù)為時間差的函數(shù) 1kjkebRk 10kkbR而因此 t是一平穩(wěn)隨機過程。其中bk代表諧波分量etjkk的功率的平均值例六 設(shè)有一脈沖串，其脈寬為1，脈沖可為正脈沖也可為負脈沖，幅值可取+1也可取-1，取+1或的概率相等 ；各脈沖取+1或-1是 相互統(tǒng)計獨立的；脈沖的起始時間均勻分布與于單位時間間隔內(nèi)。求此隨機過程的相關(guān)函數(shù)。解 此過程的樣本函數(shù)見圖4-1。因該過程在任

13、何時間可取值+1或-1，且t1 tt1t2t圖 2111tP 2111tP 02112111tE它的相關(guān)函數(shù)為 ttE12 1, 1111, 1111, 111212121tttttPPP故 1, 11121ttP現(xiàn)求 11/11, 1,.1, 1112211221tttttttttPPPP則設(shè)設(shè)t1是所在的脈沖的起始時刻，根據(jù)題意是均勻分布于單位tt111，是均勻分布于內(nèi)的隨tttt12121可能和時，處于同一脈沖內(nèi)也 可能處于不同的脈沖內(nèi)。時間內(nèi)的隨機變量，故可以認為 機變量（見圖4-2）。當)(f11tt11t1t2t圖 12111/12212ttttPPP上式中右邊第一項代表tt21,

14、處于同一脈沖內(nèi)的概率，第二項中tttP2121、代表處于不同脈沖 內(nèi)的概率，當tt21、不在同一 2112的概率為取t脈沖內(nèi)時tttttttdPPP1211222111111211012ttttttPP1222111012tt故當 1012tt時 ttttttttP1212122121121211211, 1而當 211/11121212ttttttP，則永遠處于不同的脈沖內(nèi)和時，此時 4121211, 121ttP同理 ttttP1221211211, 11012tt 411, 121ttP) 1(12tt 1/111, 112121tttttPPPttttttPP1212224121211211021