矩陣的秩與行列式的意義

1、這里首先討論一個長期以來困惑工科甚至物理系學(xué)生的一個數(shù)學(xué)問題，即，究竟什么是面積，以及面積的高維推廣（體積等）？1關(guān)于面積：一種映射大家會說，面積，不就是長乘以寬么，其實不然。我們首先明確，這里所討論的面積，是歐幾里得空間幾何面積的基本單位：平行四邊形的面積。平行四邊形面積的定義，幾何上說是相鄰兩邊邊長乘以他們之間的夾角的正弦。然而為了應(yīng)對更一般情形和更高維度的數(shù)理問題，我們有必要把面積的定義推廣開來。注意到以下事實：面積是一個標(biāo)量，它來自于（構(gòu)成其相鄰邊）兩個矢量。因此，我們可以將面積看成一個映射：中:關(guān)（M）X笑（M）T3（河）,vXV/其中V就是一個矢量，V*V代表兩個矢量的有序?qū)Γ籪就

2、是面積的值。下面我們將說明這個映射是一個線性映射。從最簡單的例子出發(fā)。如果第一個矢量是（1,0）,第二個矢量是（0,1）;也就是說，兩個矢量分別是X和丫軸上的單位正向量，那么由這兩個矢量張成的四邊形就是一個正方形，其面積根據(jù)定義，就是長乘以寬=1*1=1。(p(a,b)-11Ab因此有：以(1,0),(0,1)=1a倍；把第二個矢量縮放”b倍，面積也會成為ab倍。這表明，面積映射對于其兩個操作數(shù)如果我們把第一個矢量”縮放“a倍，面積將會相應(yīng)是原來的原來的b倍。如果同時縮放，很顯然，面積將會變成原面積的0),(0»1)=a(h0),(0,1)（矢量）的標(biāo)量積是各自線性的，如下：一勺(口

3、(10)，b(0,1)二以功(1,0)4。J)=最后，我們要說明，面積映射對于其操作數(shù)（矢量）的矢量加法也是線性的。因為矢量加法操作的本身是線性的，那么其面積映射理應(yīng)對此也是一個線性映射。這里我們打算從幾個實際的例子出發(fā)，說明映射的加法線性性的后果。顯然（兩個共線矢量所張成的平行四邊形還是一條線，因此面積為o:(p1a,b-=0=0假定面積映射是一個關(guān)于矢量加法的線性映射，那么我們有:注意計算過程中用到了上面的結(jié)論。這說明:夕(1,0),(0,1)=一儀(0,1),(1,0)也就是說，交換相互垂直操作數(shù)矢量的順序，面積映射取負(fù)。孰正孰負(fù)取決于認(rèn)為的定義。一般，我們把X軸單位矢量在前，丫軸單位矢

4、量在后，從X軸到Y(jié)軸張成的一個平行四邊形的面積，取做正號。右手定則由此我們引入右手定則。注意右手定則只在三維空間中有效。如果以X正方向為首，Y正方向為尾，右手定則告訴我們，紙面向外是面積的正方向；如果反過來，那么紙面向內(nèi)就是該面積的正方向，與規(guī)定的正方向相反，取負(fù)號。那么面積正負(fù)號的幾何意義就明顯了。由此，我們不難得到平面內(nèi)任意兩個矢量所張成的平行四邊形的面積(*):8(ab),(Gd)二3(磯1,0),磯0,1)+8佐(0,1),。(1,0)=。"一我們不難看到，所謂面積就是一個2X2矩陣的行列式:如下圖。(p(a.b)=-abb其中第一行就是我們的第一個行向量(a,b)；第二行就

5、是第二個行向量(c,d)o或者第一列是第一個列向量(a,b)AT,第二列是第二個列向量(c,d)AT。這取決于我們把矢量寫成行向量(前者)還是列向量(后者)的形式。行列式的計算性質(zhì)由此我們很容易能發(fā)現(xiàn)，行列式的值與把矢量寫成列向量橫排還是行向量豎排的方式是無關(guān)的。這也就是為什么說，在計算行列式時，行和列的地位是對等的。并且注意到，由上述分析，交換矢量的順序，面積的值取負(fù)號，這也就是為什么行列式中，交換列向量或者行向量一次，就要取一次負(fù)號的原因。另外，行列式的其他計算性質(zhì)，都一一反映在面積映射的線性性之中。由此我們可見，行列式就是關(guān)于面積”的推廣。他就是在給定一組基下，N個向量張成的一個N維廣義

6、四邊形的體積。這就是行列式的本質(zhì)含義。2,行列式的推廣由上，我們可以輕松推廣到三維體積的計算:注意到，行列式的定義，是每一行各取一個不同列的元素的乘積并且符號和所謂的逆序性有關(guān)（PARITY）。所謂逆序性，其幾何意義就是在規(guī)定了一個正方向之后（比如從1,2,3,4,5.N這個順序定義為正號），交換任意一對數(shù)都取一次負(fù)號。這樣的性質(zhì)我們在上述的面積函數(shù)中已經(jīng)有所看到，實際上體積，更高維度的廣義體積，也有正方向之說，只不過已經(jīng)難以用右手法則（以及叉乘）來形象說明罷了。右手定則的局限性也是將高維面積推廣成行列式表達(dá)的一個動機之一。對于這種交換任何一對指標(biāo)（操作數(shù)）就改變符號的性質(zhì)，我們叫做：反對稱（

7、ANTISYMMETRIC）性。之所以要取不同行不同列元素的乘積，是因為如果有任意兩個元素是同行（列）的，那么交換他們的列指標(biāo)，乘積不變但符號要相反，這乘積必須是0,也就是在行列式的值中不予體現(xiàn)。行列式的定義之所以這么冗雜，就是來自于面積映射的反對稱性。實際上面積映射是一個2-FORM,把2-FORM拓展到任意的R-FORM,我們能看到R-FORM的形式和一個R乘R矩陣的行列式是完全一致的。由上我們已經(jīng)可以看到，2-FORM代表的是平面內(nèi)的面積；3-FORM自然而然就是3維空間內(nèi)的體積；4-FORM是4維空間里的超體積。以此類推。而實際上，由上我們已經(jīng)看到，將這些矢量在給定的基坐標(biāo)下寫成矩陣（

8、必定是方陣），矩陣的行列式就是對應(yīng)的面積（體積）。這個推廣的證明各位應(yīng)該能在任何一本線性代數(shù)的專門教材中看到（如果沒有的話可以自證）。3,線性無關(guān)的幾何意義記空間的維度為N,給定一組矢量，什么是他們線性無關(guān)性？我們下面將說明，一組矢量的線性相關(guān)性本質(zhì)上，是描述他們所張成的廣義平行四邊形體積是否為NULL（零）。我們?nèi)匀粡淖詈唵蔚?維空間出發(fā)。如果兩個2維空間的向量是線性相關(guān)的，那么就是說，其中一個與另外一個共線，也就是說，他們所張成的四邊形，面積是零。反之，如果線性無關(guān)，則不共線，則面積不為O同理，如果三個三維空間的向量是線性無關(guān)的，那么他們?nèi)呔筒还裁妗Ｒ虼怂麄兯鶑埑傻钠叫辛骟w，體積不是零

9、。更進(jìn)一步地，我們知道，二維空間如果給定三個向量，他們必定共面（二維空間內(nèi)不可能存在一個體積”），因此他們必定線性相關(guān)。推而廣之，我們不難理解，為什么一個維度為N的空間內(nèi)，任意一組M個向量（M>N）必定線性相關(guān)了：因為維度大于空間維度的超平形四邊體不存在。由此我們得到一個一一對應(yīng)的關(guān)系：N個向量線性無關(guān)=他們所弓成的N維體體積不為零反之，如果N個向量線性相關(guān)，那么他們所張成N維體，體積為零。例如，一對共線矢量張成的平行四邊形，退化成一個線，其面積顯然是0;一組共面的三個矢量張成的平行六面體，退化成一個面，其體積顯然是0。因為我們已經(jīng)知道行列式與面積的關(guān)系，因此我們有結(jié)論：線性無關(guān)矢量組成

10、的矩陣的行列式不為零；線性相關(guān)矢量組成的矩陣的行列式必為零。4,行列式與矩陣的逆我們知道，行列式為0的矩陣，不可逆；行列式不為零的矩陣，可逆。注意我們?yōu)楹啽闫鹨?，只討論方陣的行列式。因此我們不禁要問，代表面積的行列式，是如何和線性變換的可逆性聯(lián)系在一起的呢？當(dāng)我們理解了線性變換的幾何意義之后，就不難解答了。我們現(xiàn)陳述如下：記線性變換的矩陣為Ao如果我們把空間中一組線性無關(guān)的矢量都寫成列向量的形式，那么他們所張成的N維體體積不為零，根據(jù)上面的分析，其值由行列式給出。向量經(jīng)過線性變換A變換之后，得到的新向量形式如下：記=AX孱i1)n注意到A是一個N*N的矩陣，向量是列向量。變換前，N維體的體積是

11、：V=I過2ctn變換之后，N維體的體積是(注意到，第二個等式實際上說明了幾何意義是如何定義矩陣乘法的，也就是N*N矩陣A和另外一個N個列向量組成的N*N矩陣的乘法)：禹宓司|=A.(%波=|川|過1也一.'A的行列式如果不為零，則代表這個變換后，N維體的體積不是NULLo又結(jié)合線性無關(guān)與體積的性質(zhì)，我們可以說：如果A的行列式不為零，那么A可以把一組線性無關(guān)的矢量，映射成一組新的，線性無關(guān)的矢量；A是可逆的（一對一的映射，保真映射，KERNEL是0）如果A的行列式為零，那么A就會把一組線性無關(guān)的矢量，映射成一組線性相關(guān)的矢量；A就不是可逆的（非保真映射，KERNEL不是0。我們可以研究

12、他的陪集）如果A的行列式為負(fù)數(shù)，那么A將會改變原N維體體積的朝向。從線性無關(guān)到線性相關(guān)，其中丟失了部分信息，因此這個變換顯然就是不可逆的。線性是否無關(guān)和所張成N維體的體積有直接關(guān)系，這個體積值又與A的行列式有關(guān)。因此我們就建立了A的行列式與其是否可逆的幾何關(guān)系。舉例說明，我們假設(shè)A是一個3維的矩陣。如果映射前，有一組三個線性無關(guān)的矢量，我們知道它們張成的體積不是0;經(jīng)過映射后，他們對應(yīng)的新矢量也能張成一個平行六面體，那么這個平行六面體的體積就是原體積乘以A的行列式。顯然，如果A的行列式是0,那么變換后的新平行六面體”的體積將不可避免的也是0。根據(jù)上文的結(jié)論，我們有：變換后的這一組新矢量線性相關(guān)

13、。結(jié)論：線性變換A的行列式是否為零，就代表了其映射的保真性，也即，能不能把一組線性無關(guān)的矢量變換成另一組保持無關(guān)性的矢量。5,秩有時候，雖然A并不能保持把空間一組最大數(shù)目矢量的線性無關(guān)性，但它能保證一組更少數(shù)目矢量的線性無關(guān)性。這個數(shù)目往往少于A的維度（或者說，線性空間的維度），這個數(shù)目就叫做線性變換A的秩。例如，一個秩為2的三乘三矩陣Ao因為秩小于3,那么任何一個3維六面體經(jīng)過他的變換后，體積都為零（退化一個面）；但存在一個面積不為零的面，在變換之后還可以是一個非零面積的面。所謂一個線性變換的秩，無非就是變換后，還能保持非零體積的幾何形狀的最大維度。理解了秩，行列式和可逆性的幾何意義，我們就能隨意構(gòu)造一些線性變換A,