考試成績分布的數(shù)學模型

1、考試成績分布的數(shù)學模型吳瀟輝摘要：一門課程考完之后我們在分析成績的時候會發(fā)現(xiàn)，一個班的成績根據(jù)我們的經驗往往是分布在0, 100之間的任意一段可設以10分為一段，并且考得特別 低的很少，例如：0分、10分，考得特別高的也很少，例如：100分，但大多數(shù)人 考的不是特別高也不是特別低，例如：7090之間?，F(xiàn)在，我們要建立一個數(shù)學模型來研究分數(shù)的分布情況。我們主要通過運用概率論中隨機變量的概率分布規(guī)律的討論，運用MATLA軟件對題目中的數(shù)據(jù)進行擬合的 方法，并且把兩種結果進行比擬，最終得出學生成績的分布服從三大隨機變量概率 分布中的正態(tài)分布。關鍵詞:數(shù)據(jù)擬合概率分布函數(shù)概率密度函數(shù)MATLABMAT

2、HMATIC一、問題的提出：大學生學完一門課程，要進行考試，考試之后就有了成績。通過這個成績可 以說明學生的學習情況也可以說明老師出題的合理性。有人說一個班級的老師成 績應付從正態(tài)分布可，那么，這種說法是否正確呢？例如下面的表格給出了某班 某門課的考試成績：序號1234567891011成績8185914662875173766271序號1213141516171819202122成績9286848189857887818366序號2324252627282930313233成績6987848267786455973474序號3435363738394041成績4489827881817324

3、F面我們要解決的問題是：1、通過上面的表格分析這個班的成績是否服從正態(tài)分布2、結合表格中的成績給出成績服從正態(tài)分布的判別方法和標準，以說明成績分布的合理性。二、模型假設：1次門課程出題的難易程度相對于學生的學習程度來說適中，也就是說這次成績具有合理性，可以把它當作衡量其他出題是否合理的標準。2、為了下面分析的方便我們姑且認為成績的分布具有連續(xù)性。三. 符號說明y：在某一段分數(shù)上的人數(shù)；N :班級總人數(shù)；p:在某一段分數(shù)上的人數(shù)所占的比例；p(A):試驗結果A的概率；F(x):概率分布函數(shù)；p(x):概率密度函數(shù)；,:常數(shù)。2四、模型建立與求解：從上面的表格中我們可以看出：成績分布在7090分之

4、間的人數(shù)最多，在050分以及90100分的人數(shù)很少，5069分之間的人數(shù)也比擬少。因此我們可以近似認為學生成績與分布在某一段成績的人數(shù)之間關系可近似用下面的草圖來表示：由于p - 工，也就是說對上面圖中所有的縱坐標同除以41,因此應當不N 41改變圖形的形狀，所以每一段分數(shù)上分布概率與分數(shù)段之間的關系如以下圖:分數(shù)為隨機變量，右上圖可以觀察出，分布在 7089分斷的概率最大，同時我們可以粗略的計算出：這個班這門課程的平均成績大約為：74.4分，它也就在這段分數(shù)中。下面我們來說明成績大致服從正態(tài)分布：1、 隨機變量的概率分布有三大分布，即：二項分布、泊松分布和正態(tài)分布， 二項分布和泊松分布是用來

5、討論離散型隨機變量，而我們在假設的時候已經把分 數(shù)的分布近似的認為是連續(xù)型隨機變量。2、二項分布和泊松分布是建立在n重貝努里實驗的根底之上的，貝努里實驗只3 有兩個實驗結果A及A，并且P(A) p,P(A) 1 p q其中0 p 1 :,而成績 的出現(xiàn)不可能只出現(xiàn)兩種結果，它不可能服從二項分布和泊松分布。3、理論說明，一個變量如果收到大量微小的、獨立的隨機因素的影響，那么 這個變量一般是正態(tài)隨機變量。我們現(xiàn)在討論的成績正好滿足這一點，影響成績 的因素很多，例如：出題的難易、學生學習的程度、平時成績的影響、學生的臨 場發(fā)揮、老師改試卷時的誤差等等。并且這些因素也是相互獨立的，它們之間并 不從在特

6、殊關系。綜合所述，成績的分布應當服從正態(tài)分布。以下給出一個判別成績服從正態(tài)分布的方法和標準：首先對給出的數(shù)據(jù)進行分析：把0 100每隔5分，分為20段，進行統(tǒng)計，統(tǒng)計出分數(shù)分布在每一段上的人數(shù)和 在每一段上的人數(shù)所占的比例。如下表：分數(shù)人數(shù)人數(shù)/總人數(shù)分數(shù)人數(shù)人數(shù)/總人數(shù)0-50051-5526-100056-600011-150061-65316-200066-70321-25171-75426-300076-80431-35181-851236-400086-90641-45191-95246-50196-1001對分析得出的數(shù)據(jù)做出如以下圖:52O-05O.O+口-IJ203041150

7、數(shù)分&CI從圖中可以看出這些點近似服從正態(tài)分布的圖像,現(xiàn)在再利用matlab軟件對這些數(shù)據(jù)進行擬合正態(tài)分布函數(shù)為F x1ye_dy，假設y而某一段分數(shù)分布的概率為Xix 5F X2F(xJ 0.5* e 2 e 2而每一段的概率可根據(jù)上面的表格得出,所以可用matlab軟件來擬合一個正態(tài)分布概率密度函數(shù)，假設正態(tài)分布函數(shù)為x x 5y 0.5* e 2 e 2，可用表格中數(shù)據(jù)擬合可得出:80,79，見附錄1:根據(jù)這兩個值，我們就可得出正態(tài)分布概率密度函數(shù)1(x 80)2p(x) 1* e E，所以現(xiàn)在做出它的圖像進行分析便可判定成績是否服 7*79從正態(tài)分布。圖像如下：為了便于分析成績的分布情

8、況，我們可做出以下兩個區(qū)間的圖像，因為成績雖然 只在0,100這個區(qū)間上，但概率密度函數(shù)區(qū)間太小看出成績分布的整體趨勢, 所以可對稱的放在區(qū)間，但這不影響在 0,100這個區(qū)間上的分布情況plot2 *79* Exp2(x 80),x,160,2402*7921plot* ExpV2 *79(x 80)22*79,x,160,320從以上兩個圖也可以看出如果只取 0,100，不可能準確分析成績分布圖，所以 以上兩種取法是合理的。從圖中可得出成績分布符合正態(tài)分布密度函數(shù)圖像的一 般規(guī)律，概率密度圖像是關于 x80對稱的，且在這一點處概率密度取得最大值，這是正態(tài)分布的一大重要性質，由此可得出成績分

9、布服從正態(tài)分布。6對這些數(shù)據(jù)進行分析并進行擬合，然后對密度函數(shù)圖像分析，這就為分析成績服 從正態(tài)分布找到了一種方法。而擬合出的密度函數(shù)圖像與正態(tài)分布圖像比照， 就 是說明成績服從正態(tài)分布的最好憑證。也就是說正態(tài)分布圖像就是一個判定成績 服從正態(tài)分布的一個比擬好的標準。五. 模型說明分數(shù)本不是連續(xù)性的，但可以把它認為是連續(xù)性的，這為問題的分析提供了方便。先是對成績分布從適用范圍作了分析，它是服從正態(tài)分布。是對問題的一 個定性分析。接著又根據(jù)所給數(shù)據(jù)進行具體分析， 運用了擬合的方法，對成績的 分布進行了定量的分析，對圖的比照這是本模型的最大特點， 因此，這個成績分 布圖可以作為檢驗老師出題的水平和

10、學生學習的程度的一個標準。六. 模型推廣本模型還可適用于其它方面，如對不同年齡人的腰圍， 金屬切削過程的產品 結果等一維正態(tài)分布，還可以推廣到多維正態(tài)分布的驗證， 這為各種工作的指導 起了很重要的作用。附錄1:fun ctio n yhat二volum(beta,x);yhat=0.5*(2.7.A(beta(2)-x)./(2A0.5*beta(1)-2.7A(beta(2)-x-5)./(2A0.5*beta(1);x=0:5:95;y=0 0 0 0 0.0243902 0.0243902 0 0 0.0243902 0.0243902 0.0487805 0 0.0731707 0.0721707 0.0975beta0=0.1 81;beta,r,J=nli nfit(x,y,volum,beta0);betax=0:5:95;y=0 0 0 0 0.0243902 0 0.0243902