美式期權(quán)定價

1、美式期權(quán)定價由于美式期權(quán)提前執(zhí)行的可能,使得解決最優(yōu)執(zhí)行決策成為美式期權(quán)定價和套期保值的關(guān)鍵.由第三章的內(nèi)容我們知道,如果標(biāo)的股票在期權(quán)的到期日之前不分紅,那么美式看漲期權(quán)不會提前執(zhí)行,由于在到期日之前執(zhí)行將損失執(zhí)行價格的利息.但是,如果標(biāo)的股票在期權(quán)到期日以前支付紅利,那么提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)可能是最優(yōu)的.提前執(zhí)行可以獲得股票支付的紅利,而紅利的收入超過利息損失.事實(shí)上,我們將證實(shí),投資者總是在股票分紅前執(zhí)行美式看漲期權(quán).對于美式看跌期權(quán)而言,問題變的更復(fù)雜.看跌期權(quán)的支付以執(zhí)行價格為上界,這限制了等待的價值,所以對于美式看跌期權(quán)而言,即使標(biāo)的股票不支付紅利,也可能提前執(zhí)行.提前執(zhí)行可以獲得

2、執(zhí)行價格的利息收入.許多金融證券都暗含著美式期權(quán)的特性,例如可回購債券(calledbond),可轉(zhuǎn)換債券(convertiblebond),假設(shè)：1 .市場無摩擦2 .無違約風(fēng)險3 .競爭的市場4 .無套利時機(jī)1 .帶息價格和除息價格每股股票在時間t支付紅利dt元.當(dāng)股票支付紅利后,我們假設(shè)股價將下降,下降的規(guī)模為紅利的大小.可以證實(shí),當(dāng)市場無套利且在資本收益和紅利收入之間沒有稅收差別時,這個假設(shè)是成立的.SctSetdt這里Sct表示股票在時間t的帶息價格,Set表示股票在時間t的除息價格.這個假設(shè)的證實(shí)是非常直接的.如果上述關(guān)系不成立,即SctSetdt,那么存在套利時機(jī).首先,如果Sc

3、tSetdt,那么以帶息價格賣出股票,在股票分紅后馬上以除息價格買回股票.由于我們賣空股票,所以紅利由賣空者支付,從而這個策略的利潤為SctSetdt.由于紅利是確定知道的,所以只要varSctSet=0,那么利潤是沒有風(fēng)險的.其次,如果SctSetdt,那么以帶息價格買入股票,獲得紅利后以除息價格賣出,獲得利潤為SetdtScto2 .美式看漲期權(quán)在這一節(jié),我們將證實(shí),如果標(biāo)的股票在美式期權(quán)到期日之前分紅,那么美式期權(quán)有可能提前執(zhí)行,而且,如果美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行,那么提前執(zhí)行只發(fā)生在分紅前瞬間.研究美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的關(guān)鍵是看漲期權(quán)的時間價值(timevalue)的概念.下面我們引入時間

4、價值的概念并分析時間價值的性質(zhì).符號：C0:美式期權(quán)在時間0的價格c0:歐式期權(quán)在時間0的價格S0:標(biāo)的股票在時間0的價格T:美式期權(quán)的到期日K:美式期權(quán)的執(zhí)行價格B0,T：面值為1的債券在時間0的價格PV0:括號內(nèi)現(xiàn)金流在時間0的現(xiàn)值考慮美式看漲期權(quán)這樣的執(zhí)行策略：在到期日,不管股票價格是否大于執(zhí)行價格,我們都執(zhí)行期權(quán).(如果股票價格在到期日是虛值時,這個策略顯然不是最優(yōu)的,但在這個策略下美式看漲期權(quán)的現(xiàn)值是容易計算的)在這樣一個執(zhí)行策略下,美式期權(quán)等價于執(zhí)行價格為K的遠(yuǎn)期合約,所以為美式看漲期權(quán)的目前值為PV0STK=S0KB0,T下面引入時間價值的概念.定義：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的

5、美式看漲期權(quán)的時間價值為TV0C0S0KB0,T(1)直觀上來說,時間價值是由于等待以決定執(zhí)行期權(quán)而給期權(quán)合約帶來的價值增加值.由于在到期日,期權(quán)是虛值時可以不執(zhí)行,所以時間價值是非負(fù)的.由于C0c0Max0,S0KB0,T(2)所以(1)時間價值大于美歐式期權(quán)價格之差；(2)時間價值是非負(fù)的.下列圖說明了看漲期權(quán)的時間價值作為股票價格的函數(shù)的性質(zhì).下面我們我們考慮紅利的影響.為簡單起見,假設(shè)紅利的大小和支付時間都是的.我們先研究在期權(quán)的有效期之內(nèi),提前執(zhí)行可能發(fā)生的時間.性質(zhì)：給定正的利率,在兩次分紅之間或者到期日之前執(zhí)行美式看漲期權(quán)不是最優(yōu)的.證實(shí)：考慮下列圖0tTTodayEx-Divi

6、dendDateMaturityofOption首先證實(shí)在時間t之前不會執(zhí)行.考慮兩種交易策略：策略1:馬上執(zhí)行期權(quán).這個策略價值為S0K策略2：等到分紅前瞬間執(zhí)行,即使期權(quán)是虛值的.這個策略在時間t的價值為cStK,從而該策略在時間0的價值為S0KB0,t策略2的價值大于策略1的價值,所以應(yīng)該等待.其次證實(shí)在分紅后和到期日之前的任何時間也不會執(zhí)行.考慮兩種交易策略：策略1:在分紅后馬上執(zhí)行期權(quán).這個策略在時間t的價值為SetK,策略2：等到到期日執(zhí)行,即使期權(quán)是虛值的.這個策略在時間T的價值為SeTK,從而該策略在時間t的價值為SetKBt,T策略2的價值大于策略1的價值,所以應(yīng)該等待.如果

7、期權(quán)的執(zhí)行不是發(fā)生在分紅前的瞬間,那么會損失利息但不會有任何收入.提前執(zhí)行的唯一收入是獲取紅利,所以美式期權(quán)除了在分紅前的瞬間和到期日外,其余時間不會執(zhí)行.下面討論在什么條件下會在分紅前瞬間提前執(zhí)行美式看漲期權(quán).我們通過比擬分紅前瞬間執(zhí)行與不執(zhí)行美式看漲期權(quán)所獲得的收入來說明提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)的條件.如果在分紅前的瞬間提前執(zhí)行,那么期權(quán)的價值為SctKSetdtK如果不提前執(zhí)行,那么期權(quán)的價值為Ct.這個值是以股票的除息價為根底的._eCtStKBt,TTV(t)這里SetKBt,T是在到期日不管股票價格如何都執(zhí)行的期權(quán)這樣一個策略在時間t的價值,TV(t)是利用除息價Set來確定的.在分紅

8、前瞬間執(zhí)行期權(quán)當(dāng)且僅當(dāng)執(zhí)行的價值大于不執(zhí)行的價值,即SetdtK>SetKBt,TTV(t)即dt>K1Bt,TTV(t)(3)條件(3)說明,在時間t執(zhí)行期權(quán)當(dāng)且僅當(dāng)紅利大于執(zhí)行價格的利息損失K1Bt,T與以除息價為根底的時間價值TV(t)之和.由條件(3)(1)如果股票不分紅,那么美式期權(quán)不會提前執(zhí)行.(2)美式期權(quán)提前執(zhí)行是最優(yōu)的當(dāng)且僅當(dāng)紅利充分大,以足以抵消執(zhí)行價格的利息損失和期權(quán)的時間價值.如果紅利很小,而離到期的時間很長,那么不會提前執(zhí)行.3 .美式看跌期權(quán)美式看跌期權(quán)的提前執(zhí)行問題與美式看漲期權(quán)的提前執(zhí)行有很大區(qū)別.區(qū)別的原因在于,美式看跌期權(quán)的支付以執(zhí)行價格為上界,

9、這限制了等待帶來的收益.相反,美式看漲期權(quán)的支付沒有上界.即使標(biāo)的股票不支付紅利,美式看跌期權(quán)的有界支付使得提前執(zhí)行變成最優(yōu)的(當(dāng)股票價格變的非常低時).提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)的收益是獲得支付的利息,而本錢是放棄任何可能的額外收益.當(dāng)這種額外收益非常小時,提前執(zhí)行的收益超過放棄的本錢.我們先定義美式看跌期權(quán)的時間價值.定義：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式看跌期權(quán)的時間價值為TV0P0KB0,TS0(4)這里P(0)是美式看跌期權(quán)在時間0的價值,KB0,TS0不是在到期日不管股票價格為多少都執(zhí)行期權(quán)這樣策略在時間0的價值.直觀上來說,時間價值是由于等待以決定執(zhí)行期權(quán)而給期權(quán)合約帶來的價值增加值.

10、由于在到期日,期權(quán)是虛值時可以不執(zhí)行,所以時間價值是非負(fù)的.由于P0p0Max0,KB0,TS0(5)這里p(0)是執(zhí)行價格、到期日均與美式期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)的價值,所以(1)時間價值大于美歐式期權(quán)價格之差；(2)時間價值是非負(fù)的.下列圖說明了看跌期權(quán)的時間價值作為股票價格的函數(shù)的性質(zhì).下面我們討論紅利對看跌期權(quán)提前執(zhí)行的影響.和前面一樣,我們假設(shè)在期權(quán)的有效期內(nèi),每股股票在時間t支付紅利dt.我們先拓展看跌期權(quán)時間價值的定義.在期權(quán)到期日不管股票價格如何都執(zhí)行期權(quán)這樣一個策略在時間0的價值為PV0KS(T)KB0,TS0dtB0,t它表示執(zhí)行價格的現(xiàn)值減去股票除息價格的現(xiàn)值.和無紅利股票

11、期權(quán)比擬起來,由于分紅導(dǎo)致的股價下降使得該策略增值.定義：以支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式看跌期權(quán)的時間價值為TV0P0KB0,TS0dtB0,t(6)(6)與(4)比擬起來,差異在于紅利現(xiàn)值導(dǎo)致的調(diào)整.下面我們考慮美式看跌期權(quán)的提前執(zhí)行問題.和前面一樣,我們通過比擬執(zhí)行與不執(zhí)行美式看漲期權(quán)所獲得的收入來說明提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)的條件.如果美式看跌期權(quán)在時間0執(zhí)行,它的值為KS0如果不提前執(zhí)行,它的價值是P(0).利用(6),我們可以寫成P0KB0,TS0dtB0,tTV0因此,在時間0提前執(zhí)行是最優(yōu)的當(dāng)且僅當(dāng)KS0KB0,TS0dtB0,tTV0即K1B0,TdtB0,tTV0(7)換句話說,

12、提前執(zhí)行是最優(yōu)的當(dāng)且僅當(dāng),在執(zhí)行價格上獲得的利息超過損失紅利的現(xiàn)值與看跌期權(quán)時間價值的和.從(7),我們得到性質(zhì)：即使標(biāo)的股票不分紅,美式看跌期權(quán)也可能提前執(zhí)行.這個性質(zhì)說明了美式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)之間的主要差異.給定標(biāo)的股票不分紅,美式看漲期權(quán)不提前執(zhí)行,而美式看跌期權(quán)有可能提前執(zhí)行.性質(zhì)：(1)紅利將推遲美式看跌期權(quán)的提前執(zhí)行.(2)美式看跌期權(quán)不會在分紅前瞬間提前執(zhí)行.證實(shí)：(1)當(dāng)紅利增加時,(7)左邊超過右邊的可能性減少.(2) 考慮下面兩個可能的執(zhí)行策略：策1:在分紅前瞬間執(zhí)行看跌期權(quán),期權(quán)的價值為KSe(t)dt策2:在分紅后馬上執(zhí)行,期權(quán)的價值為KSe(t)期權(quán)在策略2下價

13、值更高.(1)說明,紅利趨向于推遲美式看跌期權(quán)的提前執(zhí)行,由于將來的紅利將導(dǎo)致股票價格在分紅日下降,等待這個下降將增加美式看跌期權(quán)價值.(2)說明進(jìn)一步說明這個性質(zhì).它說明應(yīng)該在分紅后而不是分紅前提前執(zhí)行.4 .定價前面討論了美式期權(quán)提前執(zhí)行的一般性質(zhì).為了確定美式期權(quán)更明確的價格,我們應(yīng)該給出標(biāo)的股票價格運(yùn)動分布的進(jìn)一步假設(shè).本節(jié)我們在二項樹模型中討論美式期權(quán)的定價.美式看漲期權(quán)標(biāo)的股票不分紅時,美式看漲期權(quán)的價格等于歐式看漲期權(quán)的價格.標(biāo)的股票分紅時,我們看下面的例子.例子：美式看漲期權(quán)定價考慮一個美式看漲期權(quán),到期日為1年.標(biāo)的股票現(xiàn)在的價格為100元,股票在6個月時將支付紅利5元.支付

14、紅利的時間和大小都是確定的.期權(quán)的執(zhí)行價格為90元.美式看跌期權(quán)我們在前面已經(jīng)證實(shí),對于美式看跌期權(quán)而言,即使標(biāo)的股票不分紅,美式看跌期權(quán)也可能提前執(zhí)行.而分紅推遲提前執(zhí)行的時間.我們通過例子來說明.例子：美式看跌期權(quán)ThefactthatitmaybeoptimaltoprematurelyexerciseanAmericanputoption,eveniftheunderlyingstockpaysnodividends,impliesthatateachnodeinthelatticewemustchecktoseeiftheoptionshouldbeexercised.Thiscal

15、culationincreasestheamountofcomputingtimenecessarytovaluetheAmericaputoption.代數(shù)表示Inthelimitasttendstozero,anexactvaluefortheAmericanputisobtained.Inpractice,N=30usuallygivesreasonableresults.5 .利用二項樹模型給指標(biāo)期權(quán)、外匯期權(quán)定價期權(quán)定價的二項樹模型可以拓展到標(biāo)的股票提供以q為比率的連續(xù)紅利流的美、歐式看漲和看跌期權(quán)的定價.由于紅利提供的回報率為q,所以股票價格本身提供的回報率為rq.這時有等價鞅測度

16、p滿足SerqtpSu(1p)SderqXud)ude2rqt2t所以由于我們可以把股票指標(biāo)、外匯視為支付連續(xù)紅利收益率的股票,所以上面二項樹模型可以以來給指標(biāo)期權(quán)、外匯期權(quán)定價.這時,股票指標(biāo)的紅利率是組成指標(biāo)的證券組合的紅利率,外匯的紅利率是外國的利率.例子：股票指標(biāo)期權(quán)定價例子：外匯期權(quán)定價考慮一年到期的以英鎊為標(biāo)的物的美式看跌期權(quán).現(xiàn)在的匯率是1.6100美元,執(zhí)行價格是1.6000美元.每個國內(nèi)的利率是8%,而英國國內(nèi)利率是9%,匯率的波幅為12%.求該期權(quán)的價格.6 .計算的復(fù)雜性當(dāng)標(biāo)的股票支付紅利后,二項樹模型中股票的價格不再重合.這增加了價格分枝的數(shù)量,從而增加了計算的復(fù)雜性.

17、Thisincreaseinthenumberoflatticescausescomputingtimetoincreaseexponentiallyasthenumberofdividendstobepaidovertheoption'lifeincreases.Forthisreason,efficientcomputationalproceduresforcomputingAmericanoptionvaluesisanactiveareaofcurrentresearch.紅利收益率(dividendyield)假設(shè)只有一次紅利支付,紅利收益率.如下列圖如果it是分紅以前的時間,在這個時間股票價格為S°ujdijj0,1,i如果it是分紅以后的時間,在這個時間股票價格為S01ujdijj0,1,i這里是紅利率.